2025高考物理总复习带电粒子在立体空间的运动

(3)粒子第 2 次经过 yOz 平面时做半个圆周运动，则所用
时间为 t′＝2t＝2vπ0d 沿y轴负方向做匀加速运动，因在xOz平面上方和下方用 时相等，可知位置坐标y＝－3d 沿z轴坐标z＝2r2＝2r1＝4d 即粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标为(0，－3d，4d)。
教师备选用题
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(3)若两板间同时存在方向都沿 O1O2 方向的匀强电场和 匀强磁场，磁感应强度大小为 B，粒子源发射出速度大小
均为 v，方向垂直于 O1O2 连线的粒子，全部落在半径为 2qmBv的圆周上(2qmBv<R)，求电场强度的大小。
解析 设粒子在两板间运动时间为 t，在磁场中周期为 T，则应该满足
t＝n＋12T(n＝0，1，2，3，…)
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解得 r′＝taRn θ＝R2，T＝2qπBm0 设离子做圆周运动转过的圆心角为 α，如图所示，则 t＝2απT 解得 α＝2 rad 设该离子打在圆柱形底面的位置坐标为(x，y，0)，根据几 何关系可知 x＝－r′－r′cos (π－α)＝－R2(1－cos 2) y＝r′sin (π－α)＝R2sin 2 则坐标为－R2(1－cos 2)，R2sin 2，0。
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(3)在圆柱形区域内加磁场后，离子沿 z 轴负方向做与第(2)问相同的匀加速直线 运动，由(2)可知离子在圆柱形区域内运 动的时间 t＝qmB0tan θ＝q2Bm0 由磁场方向变化的周期为4qπBm0 可知，离子 在圆柱形区域内运动时，磁场方向一直沿 z 轴负方向
在垂直电场方向，即离子的运动在圆柱底面的投影运动为匀速圆周运动，该匀 速圆周运动的线速度大小 vy＝vcos θ，设该匀速圆周运动的轨迹半径为 r′，周期 为 T，则 qvyB0＝mvr′2y，T＝2vπyr′
第十章 磁 场
增分微点9 带电粒子在立体空间的运动
一、带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。 现在主要讨论两种情况： (1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂 直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向 的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 (2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下 就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂 直于磁场平面的匀速圆周运动。
根由据qvdB＝＝21matv2r，2、其T中＝2avπ＝r得qmE粒子做圆周运动的周期 T＝2qπBm
联立解得 E＝2n2＋qB122dπ2mn＝0，1，2，3，…。
答案
2n2＋qB122dπ2mn＝0，1，2，3，…
二、带电粒子在立体空间中的偏转 例 2 某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图 2 所示，z 轴正方向垂直于 xOy
粒子的初速度大小为 v0、方向沿 xOy 平面，与 x 轴正方向的夹角为 60°；经一段
时间后粒子恰好垂直于 y 轴进入 yOz 平面右侧，轨迹上离 yOz 平面最远的点恰
好落在 xOz 平面上，不计粒子的重力。求：
(1)在yOz平面左侧匀强磁场的磁感应强度B； (2)在yOz平面右侧匀强电场的电场强度E； (3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标。 答案 (1)m2qvd0 (2)2πm2qvd20 (3)(0，－3d，4d) 解析 (1)粒子在 yOz 平面做圆周运动的半径 r1＝sin36d0°＝2d 根据 qv0B＝mvr120 可得左侧匀强磁场的磁感应强度 B＝m2qvd0。
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大小为v2，不计离子重力，则( D )
A.静电力的瞬时功率为 qE v21＋v22
B.该离子受到的洛伦兹力大小为 qv1B
C.v2 与 v1 的比值不断变大
D.该离子的加速度大小不变
图1
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解析 根据功率的计算公式可知P＝Fvcos θ，则静电 力的瞬时功率为P＝qEv1，A错误；由于v1与磁感应 强度B平行，则根据洛伦兹力的计算公式知F洛＝qv2B， B错误；根据运动的合成与分解可知，离子在垂直于 磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做加速运动， 则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误； 离子受到的安培力不变，静电力不变，则该离子的加 速度大小不变，D正确。
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答案 (1)2mqBsi20nR22θ (2)Rtan θ＋mE2tqaBn202 θ (3)－R2(1－cos 2)，R2sin 2，0
解析 (1)设离子进入磁场的速度为 v，根据动能定理，有 qU＝12mv2 离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 qvB0＝mvr2 根据几何关系，有 sin θ＝Rr 解得 v＝mqsBin0Rθ，U＝2mqBsi20nR22θ。
(1)α粒子在Ⅰ区域内沿y轴方向的侧移量y1；
解析 α 粒子经过加速器过程，根据动能
定理可得 2eU＝12mv20
图2
解得 v0＝
4eU m
α 粒子在Ⅰ区域内做类平抛运动，则有
L＝v0t，y1＝21at2，a＝2meE
联立解得 y1＝E4LU2＝L2。
答案
L 2
(2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin；
(2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强
度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)
角的粒子速度大小v满足什么条件时能全部击中N板？
解析 粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子， 做螺旋线运动，垂直磁感应强度方向的分速度大小为vy＝vsin θ 根据洛伦兹力提供向心力 qvyB＝mrv2y 若粒子全部击中 N 板，则 r≤R2 解得 v≤2mqBsiRn θ。 答案 v≤2mqBsiRn θ
满足什么条件时能全部击中N板？
解析 速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N板，
则全部粒子击中N板。当速度方向与电场强度方向垂
直的粒子击中N板边缘时，有
R＝v0t，d＝12at2 其中 a＝qmE＝mqUd
解得 v0＝Rd
qU 2m
所以，速度大小应满足 v0≤Rd
答案 v0≤Rd
qU 2m
2qmU。
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2.(2024·山东潍坊高三联考)某离
子束实验装置的基本原理如图2
甲所示，在半径为R的圆柱形底
面建立空间直角坐标系，坐标原
点与圆柱底面圆心重合。圆柱形
区域内存在沿z轴负方向、电场
强度为E的匀强电场，圆柱形区
域正上方存在沿x轴负方向、磁
感应强度为B0的匀强磁场。如 图乙所示，从离子源不断飘出
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教师备选用题
(2)离子在圆柱形区域内的电场中沿y轴正 方向做匀速直线运动，沿z轴负方向做匀 加速直线运动，则 沿y轴正方向有R＝vyt＝vtcos θ 沿 z 轴负方向有 h＝vzt＋12at2 其中 a＝qmE，vz＝vsin θ 解得 h＝Rtan θ＋mE2tqaBn202 θ。
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1.(2022·重庆卷，5)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。
为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真
空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图1)，
电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和
磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量
平面向外。α 粒子在加速器内经电压 U 加速后，在 S(0，L，0)点沿 x 轴正方向 进入Ⅰ区域，该区域沿 x 轴方向的宽度为 L，区域内存在沿 y 轴正方向的匀强 电场，电场强度大小 E＝2LU。α 粒子经偏转后进入Ⅱ区域，该区域沿 x 轴方向 的宽度为 3L，内部某圆形区域存在沿 z 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小 为 B＝L1 Uem。α 粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转 90°，再进入Ⅲ区域， 该区域存在沿 x 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为 2B，α 粒子离开Ⅲ区 域时速度方向平行于 xOz 平面，且与 z 轴负方向成 45°角。已知 α 粒子的电荷 量为 2e、质量为 m，不计粒子重力。求：
(2)粒子第一次经过 y 轴后在 y 轴负方向上做匀加速运动，
同时在洛伦兹力作用下做圆周运动，因轨迹上离 yOz 平
面最远的点恰好落在 xOz 平面上，可知粒子到达 xOz 平 面上时恰好做14个圆周运动，则所用时间 t＝T4＝πvd0 竖直方向12r1＝12·qmEt2 解得 E＝2πm2qvd20。
的速度分解到＋x轴方向和－y方向，则有
vx＝v0＝
4eU m
vy′＝v0＝
4eU m
由于磁场方向沿x轴正方向，则α粒子沿x轴正方向以v0做匀速直线运动，同时α
粒子在yOz平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得
2evy′·2B＝mvry2′2
解得 r2＝12L 根据题意有α粒子离开Ⅲ区域时速度方向
α 粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转 90°，如图所示 当α粒子轨迹对应弦长等于圆形磁场直径时，圆形 磁场的面积最小，则有
R＝ 22r＝L Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积为 Smin＝πR2＝πL2。
答案 πL2
(3)Ⅲ区域沿x轴方向的可能宽度d。
解析 α粒子进入Ⅲ区域时速度方向与y轴
负方向成45°角，将α粒子进入Ⅲ区域时
解析 α 粒子离开Ⅰ区域时速度大小为 v， 与 x 轴正方向的夹角为 θ，则有 v＝ v20＋vy2，tan θ＝vv0y，vy＝at 联立解得 vy＝v0，v＝ 2v0＝ 8meU，θ＝45° α 粒子进入Ⅱ区域中圆形区域的匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得 2evB＝mvr2 解得 r＝2mevB＝ 2L
图2
电荷量为q、质量为m的正离子，经电场加速后从圆柱形边界正上方沿y轴负方
向进入磁场，恰好在圆柱顶面圆心处与y轴正方向成θ角斜向下射出磁场，进入
圆柱形区域内的电场中，最后落在圆柱底面上坐标为(0，R，0)的D点(图中未
画出)，不计离子重力。
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教师备选用题
(1)求加速装置的电压 U； (2)求圆柱形区域的高度 h； (3)在离子进入圆柱形区域时，在圆柱形区域内加一个磁感应强度大小为 B0、方 向沿 z 轴周期性变化的磁场，以 z 轴正方向为正方向，离子进入圆柱形区域的时 刻为计时起点，磁场的变化如图丙所示。已知磁场方向变化的周期为4qπBm0 ，tan θ ＝2，求该离子打在圆柱形底面的位置坐标。
平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角，
由于vx＝v0＝vy′ 则α粒子在yOz平面内做匀速圆周运动离开时速度方向刚好沿z轴负方向，α粒子
在Ⅲ区域中的运动时间为 t＝(n＋34)T＝(n＋43)·2vπyr′2＝(n＋v340)πL(n＝0，1，2，…) 则Ⅲ场区沿 x 轴方向的宽度为 d＝vxt＝v0t＝n＋34πL(n＝0，1，2，…)。 答案 n＋34πL(n＝0，1，2，…)
例1 某实验装置的基本原理如图1所示，平行正对放置
半径均为R、间距为d的圆形金属板，M、N的圆心
分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个 方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不
计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。
(1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方
图1
向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小v0
(2024·湖北武汉模拟)如图 3 所示，在空间直角
坐标系中，yOz 平面左侧存在沿 z 轴正方向的
匀强磁场，右侧存在沿 y 轴正方向的匀强磁
场，左、 平面右侧还有沿 y 轴负方向的匀强电场。
图3
现从空间中坐标为－ 3d，0，0的 M 点发射一质量为 m，电荷量为＋q 的粒子，