暑假补习班资料高中数学北师大版必修1 第4章 阶段复习课

第四课函数应用
[核心速填]
1．函数的零点
(1)我们把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零
点．
(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)
有零点．
(3)对于连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个
零点．反之，不一定成立．
2．二分法
(1)二分法的概念
每次取区间的中点，将区间一分为二，再经过比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
(2)用二分法求方程近似解的步骤：
给定精度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；
②求区间(a，b)的中点c；
③计算f(c)；
1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．
3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
④判断是否达到精度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
3．解决函数应用题的步骤
函数建模经历审题、建模、解模、还原四个过程．
[体系构建]
[题型探究]
(1)设函数y ＝x 2
与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12x －2
的图像的交点为(x 0，y 0)，
则x 0所在的区间是( ) 【导学号：60712395】
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4) (2)函数
f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
的零点个数为(
)
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[思路探究] (1)将其转化为函数的零点所在区间的判断． (2)利用零点存在性定理及函数的单调性求解．
[解] (1)由⎩⎨⎧
y ＝x 2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2
消去y 得x 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12x －2
令f (x )＝x 2
－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12x －2
，则x 0是函数y ＝f (x )的零点．
又f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，
由零点存在性定理知，x 0∈(1,2)．故选B.
(2)因为f (0)＝－1<0，f (1)＝1
2>0，所以y ＝f (x )至少有一个零点．
又因为y ＝f (x )是增函数， 所以，y ＝f (x )有唯一零点，故选B. [答案] (1)B (2)B
[规律方法] 确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断.
[跟踪训练]
1．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
2
x ，x ≥2，
(x －1)3，x ＜2
若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的
实根，则实数k 的取值范围是________．
(0,1)
[在同一坐标系中作出f (x )＝⎩⎨
⎧
2
x ，x ≥2，
(x －1)3，x ＜2
及y ＝k 的图像(如下图)．
可知，当0＜k ＜1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图像有两个交点，即方程f (x )＝k 有两个不同的实根．]
求3
2的一个近似值．(精度为0.01) 【导学号：60712396】 [思路探究] 利用转化与化归思想求解．
[解] 设x ＝32，∴x 3－2＝0，令f (x )＝x 3－2，则f (x )的零点即为3
2的近似
值，下面用二分法求解．
由f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，可以把初始区间定为[1,2]，用二分法逐次计算，列表如下：
由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5＜0.01，故区间[1.257 812 5,1.265
625]上的任一值皆可看做函数f(x)的零点的近似值，即3
2的一个近似值是1.265
625.
[规律方法] 1.看清题目的精度，它决定着二分的次数．
2．根据f(a0)·f(b0)＜0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间．
3．初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．
4．取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(a n，b n)中，a n与b n按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．
[跟踪训练]
2．用二分法求5的近似值．(精度为0.1)
[解]设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，
令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5.
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.
情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
【导学号：60712397】
[思路探究]理解
题意
―→
列出函数
关系式
―→
求出
最值
[解](1)由题意知：
当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
200a ＋b ＝0，
20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－13，
b ＝2003.
故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎨⎧
60， 0≤x <20，1
3(200－x )， 20≤x ≤200.
(2)依题意并由(1)可得
f (x )＝⎩⎨⎧
60x ， 0≤x <20，1
3x (200－x )， 20≤x ≤200.
当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，
故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，
f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003.
所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 000
3.
又1 200＜10 0003，所以当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 000
3
≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
[规律方法] 1.解函数应用题可归纳为四步： (1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．
其中“建模”是最关键的一步．建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型．
2．函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的
函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．
[跟踪训练]
3．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：
cm)满足关系：C(x)＝
k
3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8
万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解](1)由题设，每年能源消耗费用C(x)＝
k
3x＋5
，
再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝
40
3x＋5
.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×
40
3x＋5
＋6x＝
800
3x＋5
＋6x(0≤x≤10)．
(2)在f(x)＝
800
3x＋5
＋6x中，
令3x＋5＝t，则3x＝t－5，
∴g(t)＝800
t＋2t－10＝2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
t＋
400
t－10，
∵0≤x≤10，∴t∈[5,35]，由函数的单调性知，g(t)在t∈(0,20]上是减函数，在[20,35]上是增函数，∴g(t)在t＝20时有最小值．
∴当3x＋5＝20，即x＝5时，f(x)min＝70.
∴当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
设a ∈R ，lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的
个数. 【导学号：60712398】
[思路探究] 先将对数方程转化为二次方程，再将参数a 与未知数x 分离，进一步转化为两函数图像交点的个数问题．
[解] 原方程可化为 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1>0，3－x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
1<x <3，
a ＝－x 2
＋5x －3
画出函数y ＝－x
2＋5x －3，(1<x <3)，的图像，如下：
所以，当a <1，或a >13
4时，无解； 当a ＝13
4，或1≤a <3时，一解； 当3≤a <13
4时，两解．
[规律方法] 转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的.
[跟踪训练]
4．已知函数f (x )＝mx 2－x －1在区间(0,1)内有零点，求实数m 的取值范围．
[解] 令f (x )＝0，得mx 2－x －1＝0. 又x ∈(0,1)，
则m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2
＋1x
，
令t ＝1
x ，则t ∈(1，＋∞)，
∴m ＝t 2
＋t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋122
－1
4，
∴m >2.。