广东省湛江2023_2024高三数学上学期10月调研测试试题

广东省湛江2023-2024高三上学期调研测试
数学
注意事项：
l．答题前，考生务必将自己的姓名、考生门、考场炒、座位1/}川＇／j仆符吆I、I
2.回答选择题时，选出匈小题答案后，川铅笔把答题I、L．对应胞11的符栥仇＇少徐
黑。

如需改动，用橡皮擦十净后，再选涂其他答案标号。

问咎I I选扦丿也叫，将符案'I f在
答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交lul。

4．本试卷主要考试内容：寐考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.已知复数z=-1+
A.迈
1-i
1—! 2，则lzl=
B.—
C. 2
D.l
2.已知集合A={xENl-2�x�l},B＝位EZI l xl�2}，则AnB的真子梨的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4.
3.已知向量a=（—1,3),b=(-1,2),c=(Z,m)，若b//(Za-c八则m=
A.-1
B.-2
C.l
D.2
4.已知函数f(x)=as i n 2x+cos 2x+2(a>O)的最小值为0，则a=
A 1 B. 2· C. 3D．岛
5．已知双曲线C::—汾＝1的一条渐近线方程是y＝迈x,F1，凡分别为双曲线C的左、右焦点过点贮且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan乙MF1F产
A. 欢
B.
迈` D f 6．某企业面试环节准备编号为1,2,3,4的四道试题，编号为1,2,3,4的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的清况共有
A 9种 B.10种 C.11种 D.12种
7.已知函数f(x)的定义域为(—=,O)UCo，十＝），且xf(x)= (y+ 1) f(y+l)，则
A. f(x)�o
B. f(l) =l
C. f(x)是偶函数
D.J位）没有极值点8．已知抛物线C:x2=4y的焦点为B,C的准线与y轴交于点A,P是C上的动点，则片箫』的取值范围为
A.[1,2]
B. [1，十oo)
C.[1，迈］
［高三数学第1页（共4页）］
迈D.［—,1]
2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小
题给出的选项中，有多项符合题目要
求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．某商店的某款商品近5个月的月销售砒y（单位：于瓶）如下表：
第～14个月
1
2
3
4
u ,
3
月悄售员y
1
2.
5 1
3 2
1
4 1
4 8 1
5.5
若变量`y和耸l 之间具有线性相关关系，用最小二乘法建立的经验回归方程为沪＝0.7缸十如
则下列说法正确的是
A.点（3,4)一定在经验回归直线沪＝0.7阮＋d 上
B.a =1. 72
C．相关系数r<O
D．预计该款商品第6个月的销售量为7800瓶
10.已知大气压强p(Pa)随高度h(m)的变化满足关系式ln p。

-l n p =kh,p。

是海平面大气压
强，k =l0-4．我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
平均海拔／m
第一级阶梯多4000第二级阶梯1000�2000 第三级阶梯
200�1000
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为P1,P2,p 3,则
p 。

A.p1<－
eo. 4
B.p。

<：p 3
C . P z�P 3
D.p 3<e 0 18P 2
11.已知函数f (x)＝—-ln x —x，下列结论正确的是
A.f (x)有且只有一个零点
B.3 n E N, f C n ) >O
C.3mE R，直线y =-x +m与f(x)的图象相切
D.f 宁＋f 宁＋f 宁＋f 分）十八D+f(2)+ J C3)+ /C4)十八5)=0
12．如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为a ．现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说
法中正确的是
A．过棱AC的截面中，截面面积的最小值为迈a 2
4
1
B．若过棱AC的截面与棱B D（不含端点）交于点P，则一<cos 乙A P C 3
A叉�--------t_--一一夕D c
1
<－
2
C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为勹D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个
B
［高三数学第2页（共4页）］
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若J 位）＝沪是增函数则«的取值范围为
�
14．如图，一个圆柱内接千圆锥·且圆柱的底面圆半径是圆锥底面圆半径的一
半侧该圆柱与圆锥的体积的比们为
主
15．已知直线l:x+y-2=0关于y=a的对称扛线与圆(x-1)仁
＋y 2= 1存在
公共点厕a的取值范围为_A_.
16．已知正项数列{a,，｝满足
忒＋1Cl,，十l
2a,.-l 心023
=
＇
✓1＋汀干二，则a 1
=_A_.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分）
,
11,
-－ -－
.-
－-
·
-－­仁｀－－
t
11r 如图，在h,ABC中，点D在边AC 上，且AB.l_BD .已知cos A =2sin *sin �,AB A 乙ABC+C
2 2 ＝匠．(1)求A;
1
(2)若丛BCD 的面积为—，求BC.
2
A�c
18.(12分）
函数y =2sin 义:-1在(0.+＝)上的零点从小到大排列后构成数列{a ll }.(1)求{a,,｝的通项公式；(2)设b,.=a 汕一1+a211，求数列{b,1}的前n项和S,1·
19.(12分）
如图，在直三棱柱ABC -A1B 心中，AC_LCB，点N在棱BC上，点M在棱AA 1上，AC =l.B C =2,A A 1 =3,AM =l.(1)若M N _LAB 1，求C N;
(2)若CN =-，求二面角N-AB 1-C1的余弦值．2
\｀｀2
,
I I I ,'I I '`｀,.I -
`｀``I \｀C A
［高三数学
第3页（共4页）］
20.(12分）
甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若
2
甲发球，则本回合甲赢的概率为—，若乙发球，则本回合甲赢的概率为一，每回合比赛的结果
3 3
相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球
(1)求前4个回合甲发球两次的概率；
(2)求第4个回合甲发球的概率；
(3)设前4个回合中，甲发球的次数为X，求X的分布列及期望．
21.(12分）
4万岛已知点F(O，岛）和直线l:y=�3 ，动点T到点F的距离与到直线l的距离之比为一．2
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)过点A(l,2)的直线交C于P,Q两点，若点B的坐标为(1,0)直线BP,BQ与y轴的交
点分别是M,N，证明：线段MN的中点为定点．
22.(12分）
(1)证明：函数f(x)=-cos x+ 1
(x+l) 2在(-1,1
2 ）上单调递减
(2)已知函数h(x)=cos a x+x-ln(x+l)，若x=O是h(x)的极小值点，求实数a的取值
范围
［高三数学第4页（共4页）］
1.A
2.C
3.B
4.D 高三调研测试数学参考答案
z =-l ＋归＝—1+
巳三千压
I `
因为A ={O,l},B =｛—2,—1,0,1,2}，所以AnB ={O,l}，共有4个子集，3个真子集．2a-c =（—4,6—m )，因为b//(2a —c )，所以—8—(m —6)=0，解得m =—2.f(x)＝�sin(2x+<p )＋2（其中tan
<p
＝¾),f(x)
m i n =—
五言丁＋2=0，且a>O，解
得a ＝点．
5.D b 因为该双曲线的一条渐近线方程是y ＝迈x，则：＝及，结合c 2=a 2 +b气可得产＝
Jt.
b 2
炉l b b l 又M (c,—)，所以ta n 乙M F 1凡＝—＝—·—·—=—X 迈X — — a 2ac 2 a c 2
/＝岛3 3· 6.A 每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的清况共有9种．
7.D 令函数g(x)=xf(x)，则g(y +l)= (y +l)f(y +l)，所以g(x)=g(y +l),g（心为常函
k
数令g(x)=k ，则f(x）＝—，f(x)没有极值点，D正确
8.C 作PN _j_准线（图略），则PN =BP,sm乙PAN =IPNI_IPBI
IPAI IPA尸
当IPAI
IPBI 取最大值时，s i n乙PAN 取得最小值，当且仅当PA 与抛物线相切于点P 时，等号成
立当PA 与抛物线相切时，设直线PA 的方程为y =kx —
l，代入x 2=4y，可得x 2-4kx+4 =O.由.6=16k 2-16=0，解得k ＝土1．不妨设点P 在第
一象限，则P(2,l),IPNI =2, I PAI 迈IPA||PAI
=
✓PN 2+AN 2=2及，sin乙PAN =—，所以的最大值为迈．故
的取值范围为2 |PB| |PB|
[l，凇］．
9.A B 1 1 x =-z X C l +2+3+4+5) =3,y =-z X (2. 5+3. 2+4+4. 8+5. 5) =4，样本点中心(3,5 5 4)一定在经验回归直线上，即4=0.76X3+a ，则妒＝1.72,A ,B正确．变量x 与y成正相关，相关系数r>O,C 错误当x =6时，y =O.76X 6+1. 72=6. 28，预计该款商品第6个月的销售量为6280瓶，D错误
10.AC D 设在第一
级阶梯某处的海拔为h !，则ln p 。

-ln P 1 = 10-4九，即h 1=104 ln
胚．
P 1
因为h彦4000，所以104ln
胚
�4000，解得p三生，A 正确
P 1
e · 由ln p 。

-ln p =kh，得e kl '＝胚．当h>O时，e kl '＝胚＞l，即p 。

>p，所以p 。

>p 3,B错误．
p p
设在第二级阶梯某处的海拔为h 2，在第三级阶梯某处的海拔为h 3,
则＼ln p 。

—ln p 2=l O -4如，两式
相
减可得I n 色＝10-•(h 2-h 立ln
p 。

—lnp 3=10-4从，Pz 因为如E[1000, 2000]中E[200, 1000]，所以h z -h 3E [O, 1800]，则o <ln 也<10-4X 1800
P z
=0.18，即1<心<e o .1s,
故Pz <P 3<e 0·18 Pz ,C
,D 均正确．
P 2
1 1 11. AD
因为／（x）＝—勹———
l<O，所以f(x)在(O,+oo）上单调递减，f(l)=O,A正确．孔
·x
当xE(O,l)时，f(x)>O，当xE(1,＋oo)时，f(x)<O,B错误．
1 1
J'(x)＝—勹———l<—l,f(x)不可能存在斜率为—1的切线，C 错误．
x x
l l
因为f(a)+f(—)＝（--ln a-a)+Ca+ln a ——)＝0，所以J(—)＋J(—
)＋J(—
)＋a a a
4 3 吐）＋八D+JC 2)+ f(3)+
J C 4)+ J C5)=0,D 正确．12. ACD设截面与棱BD 的交点为P ，如图1，过棱AC 的截面为h.A CP ，当P 为棱BD 的中
屈a 2
点时，h,ACP 的面积取得最小值，最小值为——
,A 正确．4
瓦a a 2岛设AP =CP =t,tE[�,a),� E C l ,-］．在h.ACP中，cos乙APC =
A P 2+C P 2—A C 22 t 3
2AP. CP = 2t 2 -a 2 1 2t
2
=1-－歹，所以一
::(cos乙APC<—,B错误2t 3 2 如图2，当截面EFNM为平行四边形时，EF II NM,EMII FN .由ADJ_BC ，知EM J_MN ,从而平行四边形EFNM为长方形设EM =x ，则MN =a-x ，所以长方形EFNM 的面积S
=x(a —x )<—，当且仅当E
M =x ＝气中等号成立，C正确2
与该木块各个顶点的距离都相等的截面分为两类．第一类：平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个．第二类：平行于正四面体的两条对棱，且到两条
棱距离相等，这样的截面有3个．故与该木块各个顶点的距离都相等的截面共有7个，D 正确
c
A
女起立一--t --\
;)-D
c
B
B
图1
图2
13.(0，十oo)
函数y =2·'是增函数，若要f(x )是增函数，则函数y =a x 是增函数，a>O.
3 14.— 设该圆柱的底面圆半径为r ，高为儿则该圆柱的体积为1C 产h .8
圆锥的底面圆半径为2r ，高为2h ，则该圆锥的体积为．
81C 产h
3
故该圆柱与圆锥的体积的比值为＝—． 穴产h 3
8王产h 8 3
15.[ 1—迈1＋迈2' 2
J 直线l 关于y =a 的对称直线为x —y +2a —2=0,16. 所以
l1+2a —21
—
�1
，解得1迈1＋迈�a� 污＋1
2
2 2. 1 a ;＋1 1 因为a,,+1>0，所以2a,,—
l >O ,即a ／＞—,故a,,+1=＝歹[(a,,——1 2 2a/l -l 2 5
/
5
）＋ 4 l
l
4
t
1万＋1万＋1
l ]＋了气t
•
2 I
(a ,,—— 1 ).a ll —
了
{ 2
a ，叶
2
2
十，当且仅当a,／＝时，等号成立2 污＋1
设a2023=1n =./r=F"n；，可得而＝l +m (m>O)，解得a2023=1n = ，故{a ,,｝是常数列，每2 一项都是瓦＋1
2.
A.乙A B C+C A 六
—
A A A 17.解：（D cos
A =2si n —si n � = 2 s n —sm � = 2si n —cos —=si n A ,2 2 2 2 2 2
...... 2分
smA 所以ta n A =�=
l. cos A .............................................................................. 4分因为A E (0,动，所以A =卫．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4. 5分(2)作BE_l_AC，垂足为E.
在L::.A BD中，A ＝互，A B_l_BD ，所以L::.A BD 为等腰直角三角形．
4 A
厂(.,
因为A B ＝及，所以B D ＝及，AD =2,BE =l.··················································· 7分1
1 由6.BCD 的面积为—
BE•C D =—，解得C D =l,AC = A D+CD = 3.…………………8分2 2 故B C =✓A B 2+AC 2-2A B .AC • cosA ＝厉．18．解：（1）函数y =2si n x —
1的最小正周期为2冗......．．．..．..．．.．．..............．．．．....．..．．.．..．..．.．.....．．．.．．......．．．.．...．...．...．..．
l : :六57(函数
y =2si n
x -1在(0,21e)上的零点分别为—,—6'6
.数列{a 纺－1｝是以t
为首项，纭为公差的等差数列，
.......................................... 2分即当n 为奇数时，a，,＝穴十n —l, 5穴一�一—
-d =n 穴——
6 2 6....................................................... 4分数列{a 2,,}是以扫
为首项，纭为公差的等差数列，
6 即当n 为偶数时，a l l =扫+
n
—
27穴
6 2
d =
n 穴一—.
6
................................................... 6分
，
兀兀
3 数数奇偶－D 为为穴＿111 n 1 2 n
4 （ 1 ＇
，＿ 2
＿ 扫67-611a +n ＿＿ ） 亢
穴n n I I ， -b 11 ,
Y 、
=az +2 ll l a =b （ 11 ，
b _＿ I 上）综Cz s ,..................................................................... 7分..................................................................... 10分... · · · · · · · · · · · · ·.... · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·.. · · · · · ·.. ·... ·.. ·..... 12分y l 厂」
心分分分l 35 。

．．． （ 1··· ．．． ．．．
．．．
B .. ， ． ． ． 1 、丿3“入＿�3 ，． j �-a � ．．
1.，导．(．2/1. A �L 解�J .， ．．.-0. ． 贝,．(＿. 系�＿＿3�． ． 标二Bl 广�坐．A 2角�）十�直�4们�.a 贝．，． ， 间”．．
o .l .－＿� 空”(· l 的＂示一二AB �... 所图正�如�"-MN �
立�心以�建�0所�.(＇. ， ．．
l .B . 占�N I
原红则A .为55上L ,N _＿M N Cl 1＿ (N 拟浏C 为C 解6设因故． 9 1(2)由CN =½，得N （0才，3），环＝（1，飞，0），百冗＝（0,2,0).设平面NA凡的法向量是n 1= (x 1，功，矿，
n1 ·环＝0，X
厂片＝o,气．顽＝0
三＿X
］：
2y ]－3z ]=0,
取y 1=2，得n 1=(1, 2, 1). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分设平面C 1A凡的法向量是n 2= C x 2,Y2，句，
则厂．立＝0,即｛纽＝0，
n 2 ·冗＝o,�.. l
-x 2+2y 2－妇＝o,取z 2=1，得n 2=（—3,0,1)..．．．．．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．．．．．．9分
（〉—3+1旱
co s n !，n 2 =
＝— 屈X 顶
15............................................................... 11分
因为二面角N-AB 1-c 1的平面角为锐角，所以二面角N-AB 1—G 的余弦值为．
15 ...................................................................................................... 12分
20．解：（1）前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：
2 1 第一种情况，甲第1,2回合发球，乙第3,4回合发球，其概率为—X —X —=—2 4
3 3 3 2 7.l l 第二种情况，甲第1,3回合发球，乙第2,4回合发球，其概率为—
X —X —
=—1 1 33 3 2 7.1 第三种情况，甲第1,4回合发球，乙第2,3回合发球，其概率为一X-X-
＝-2 1 2
3 3 3 2 7.
4 故前4个回合甲发球两次的概率为＋ ＋ ＝ 1, 2 7 ..........................................27'27'27 2T
4分2
(2)第2回合甲发球的概率为一，乙发球的概率为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 3
5分2 第3回合甲发球的概率为X 2,1"1 5 X 乙发球的概率为X 2 l 1 2 4
3 3 3 3 9' ——+—X —=— 3 3 3 3 9
......................................................................................................... 7分
第4个回合甲发球的概率为5x 2
4
+ X 1
14 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
9 3 9 3
2 7
.
8分(3)X 可以取1,Z,3,4.
l 2 2 当X
=l时，P 1=-;;-X -;';-X —=-·4 3
3
3
27'
2 8
当X =4时，p ，1=（—)3=—·3
27'由(1)得，当X =Z时，P 2=—·
7
27
'当X =3时，P 3=l —P 厂凡—E =—
8 2 7. ......................................................... 10分X的分布列为
X
1
2
3
4
p
4-27
7-27
8-27
8-27
4
7 8 EC X )=l X —+2X -＋3X -＋4X -－8 7427 27 27 27 27
................................................ 12分
21.(1)解：设M (x,y)，由题意得仁＋（y —
岛二五I 4岛
2'y ——
3 I
.......................................... 2分2
整理得4x
2
+y 2=4,即f +x z =l ,..................................................................
4
3分
2
故动点T的轨迹C的方程为丛＋x 2=
1.4
......................................................... 4分
(2)证明：设直线P Q 的方程为y =kx —k+2Ck>O).
立十五＝1,
联立{4
得(4十妒）正十(4k —2妒）x ＋妒—
4k�O.y =k x —k+2,
由.1>0，得（4k-2k了－4(4＋妒）（妒
—
4k)>O，整理得k>O.2妒—
4k —设P (x 口Y 1),Q(x z ,y正则x 1+x 2=，X 心2=妒4k 4+k2
4+k 2............................... 5分.............................. 6分.............................. 7分直线B P 的方程为立＝X —1
X]—l 冷x ＝趴得M(O,�)．同理N(0,Y 2 )．YI
1-x l l-x 2............ 8分Y l + Y 2(K X]—K+2)（1—x 2)＋（kx 2—k+2)(1—`
— l —X 1'1—x.2(1—X 1) (1—x 2)
(2k-2)(x1
+x z )—2kx 心2-2k+41—(x1+x 2)+x 心2
2K 2-4k k 2—4k (2k —
2).—2k •—
2k+4 4+k 2'-·"'· 4+k 21 —2妒—
4K 妒—4K ＋
4十妒4+k 2
=
4, ............................................. 10分所以凸功Y 22 1-x ] 1-x 2
＋ ＝2，所以线段MN的中点坐标为(0,2),·.. · · · · · ·.. ·... ·.. ·.... · 11分
故线段MN 的中点为定点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22.(1)证明：J '(x )=smx —2(x十1)
炉
令函数g (x)=J'(x) 6 x),g'(x) =cos x +�. ················································ (x十1)4.当xE(—1,—
)时，矿（x)>O,所以g位）在(-12 '2 ）上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分2分因为g（向）＝sin ½
骨<sin飞誓＜0,所以当xE(
—
1，告）时，g(x)= f'(x)<O恒成
立，故f(x )在（—1,—)上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
2 (2)解：矿(x)=-a sm a x +l －一
x +r
令函数u(x )=h'(x) x),u'(x)=-a 气os a x+1(x +1)沪
当u'(0)＝—矿＋l<O，即a >l或a <—1时，
..........................................5分
存在x l >0，使得当立三(—X 1,X 1)时，u'（心＜0，即u(x)=h'(x)在(—X 1,X 1)上单调递减．因为h'(O)=O，所以当xE(-x 1,0)时，矿（x)>O，当xE(O,x 1)时，矿（心<0,
则h(x)在(-X 1,0)上单调递增，在(O,x 1)上单调递减，x =O是h(x)的极大值点，不符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．｀．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当u'(O)=-a产l>O，即—l<a<l 时，
存在x 2>0，使得当xE(—x 2,x 2)时，u'(x)>O，即u(x)=h'(x)在(-x 2,x 2)上单调递增．因为h'(0)=O，所以当一xz<x<O 时，片（心＜0，当O<x<xz 时，矿(x)>O,
则h(x)在(—x 2,o)上单调递减，在(O,x 2)上单调递增，x =O 是h(x)的极小值点，符合题意．............................................................................................................ 9分当u'(O)=-a气l =O，即a ＝士1时，u ，位）＝－cos孔·十(x+l)
沪
结合(1)可得u'(x)在（—1,—
)上单调递减，
2 所以当—l <x<O 时，u'(x)>O，当O<x<½时，u'(x)<O,1 则u(x)=h气x)在(—1,0)上单调递增，在(0,—
)上单调递减
2 因为xE(—1分），矿(x)霆(O)=O,所以h(x)在(-1—
'2 ）上单调递减，不符合题
意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分
综上，实数a 的取值范围为(—1,1)............................................................. 12分。