高中数学 第二章 概率 6 正态分布学案 北师大版选修23

§6 正态分布
1．连续型随机变量 在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X 的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X 的分布密度函数，记为f (x )．
正态分布的密度函数为f (x )＝1σ2πe －(x －μ)
2
2σ2
，－∞＜x ＜＋∞.它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2
(σ＞0)，通常用X ～N (μ，σ2
)表示X 服从参数为μ和σ2
的正态
分布．
预习交流1
正态分布的密度函数曲线，当μ一定时，σ变化与曲线的影响怎样？
提示：曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．正态分布密度函数的性质
(1)函数图像关于直线x ＝μ对称；
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；
(3)P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.3%，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.4%，P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ
)
＝99.7%.
预习交流
2
若X ～N (μ，σ2
)，则P (μ－a ＜X ＜μ＋a )的几何意义是什么？
提示：表示X 取值的概率和正态曲线与X ＝μ－a ，X ＝μ＋a 以及X 轴所围成的图形的面积．
一、正态分布密度函数
下列函数中哪个是正态分布密度函数( )． A ．f (x )＝
12πσ
22
()2e
x μσ--
，μ和σ(σ＞0)都是实数 B ．f (x )＝
2π
2π
22
e x -
C ．f (x )＝1
22π
2
(1)4
e x --
D ．f (x )＝
12π
22
e
x -
思路分析：根据正态分布密度函数
f (x )＝
1
σ2π22
()2e
x μσ--
进行判断．
答案：B
解析：选项A 是错误的，错在系数部分中的σ应在分母的根号外． 选项B 是正确的，它是正态分布密度函数N (0,1)．
选项C 是错误的，从系数方面看σ＝2，可从指数部分看σ
，不统一． 选项D 是错误的，指数部分缺少一个负号．
给出下列函数： ①f (x )＝12πσ22
()2e
x μσ+-；
②f (x )＝12π
2
()4
e
x μ--
；
③f (x )＝
1
2·2π24
e
x -
；
④f (x )＝1π
e －(x －μ)2
.
其中μ∈(－∞，＋∞)，σ＞0，则可以作为正态分布密度函数的是_____________． 答案：①③④
解析：按照正态分布密度函数的解析式一一对比，进行判断． 对于①，f (x )＝
12πσ
22
()2e
x μσ+-
＝
12πσ
2
2
[()]2e
x μσ---
，由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－
μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若σ＝1，则f (x )＝
12π
2
()2
e
x μ--
；若σ＝2，则f (x )＝
12π·2
2
()4
e
x μ--
，均与已知函数不相符，故它不能作为
正态分布密度函数；对于③，当σ＝2，μ＝0时，符合函数形式；对于④，它是当σ
＝22
时的正态分布密度函数．
对于正态分布密度函数f (x )＝
1
2πσ
2
2
()2e
x μσ--，
x ∈(－∞，＋∞)，
不但要熟记它的解析式；而且要知道其中字母是变量还是常量，还要注意指数上的σ和系数的分母上σ是一致的，且指数部分是一个负数．
二、正态分布密度函数的性质
在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2
)(σ＞0)，若X 在(0,1)内的取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为______．
思路分析：根据正态分布密度函数的性质知，图像关于x ＝1对称． 答案：0.8
解析：由X ～N(1，σ2)可知，密度函数关于x=1对称．
∵X ～N(1，σ2)
，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图，
∴X 落在
(0,2)内的概率为P(0＜x ＜1)+P(1＜x ＜2)=0.4+0.4=0.8.
设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 等于( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B
解析：∵ξ～N (2,9)，∴P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜3－c )． 又P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)， ∴3－c ＝c －1，∴c ＝2.
解答此类题目的关键在于充分利用正态分布曲线的对称性，把待求区间的概率向已知区间内的概率进行转化．
三、正态分布的应用
在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N (90,100)． (1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人？ 思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和方差σ就可以求出，根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．
解：∵X ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X 位于区间(70,100)内的概率为0.954.
(2)由μ＝90，σ＝10得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683， 所以考试成绩X 位于区间(80,100)内的概率为0.683.
一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有 2 000×0.683＝1 366(人)．
某厂生产的圆柱形零件的外径X ～N (4,0.25)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7.试问该厂生产的这批零件是否合格？
解：由于圆柱形零件的外径X ～N (4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N (4,0.25)在区间(4－3×0.5，4＋3×0.5)即(2.5,5.5)之外的取值概率只有0.003，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据小概率事件原理，认为该厂的这批产品是不合格的．
解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间．
1．正态分布曲线f (x )＝12πσ
e －(x －μ)
2
2σ2
，x ∈R ，其中μ＜0的图像是( )．
答案：C
解析：∵μ＜0，∴正态分布曲线的对称轴应在y 轴左侧，且曲线在x 轴上方． 2．已知X ～N (0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率为( )．
A ．0.954
B ．0.046
C ．0.977
D ．0.023 答案：D
解析：因为X ～N (0,1)，所以X 在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)内取值的概率相等．
又知X 在(－2,2)内取值的概率是0.954，所以X 在(－∞，－2)内取值的概率为
1－0.954
2
＝0.023.
3．若随机变量X 的概率分布密度函数是f (x )＝
12π·2
2
(2)8
e
x +-
，x ∈R ，则E (2X ＋1)
＝( )．
A ．－3
B ．4
C ．－4
D ．－5
答案：A
解析：由正态分布密度函数知，X ～N (－2,4)，于是EX ＝－2， 所以E (2X ＋1)＝2·EX ＋1＝2×(－2)＋1＝－3.
4．从正态分布曲线f (x )＝
1
32π
2
(8)18
e x --，x ∈R 的图像可知，曲线在______上方，关于______对称，当______时，
f (x )达到最大值，最大值为______．
答案：x 轴 直线x ＝8 x ＝8 1
32π
5．设X ～N (1,22
)，试求：(1)P (－1＜X ＜3)；(2)P (3＜X ＜5)；(3)P (X ＞5)．
解：∵X ～N (1,22
)，∴μ＝1，σ＝2.
(1)P (－1＜X ＜3)＝P (1－2＜X ＜1＋2)＝P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.683. (2)∵P (3＜X ＜5)＝P (－3＜X ＜－1)，
∴P (3＜X ＜5)＝1
2
[P (－3＜X ＜5)－P (－1＜X ＜3)]
＝1
2[P (1－4＜X ＜1＋4)－P (1－2＜X ＜1＋2)] ＝1
2[P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)] ＝1
2
(0.954－0.683)＝0.135 5. (3)∵P (X ＞5)＝P (X ＜－3)，
∴P (X ＞5)＝1
2
[1－P (－3＜X ＜5)]
＝1
2[1－P (1－4＜X ＜1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)]＝1
2(1－0.954)＝0.023.。