江苏省徐州市高三第三次质量检测数学试题(解析版)

一、填空题：
1.已知集合{}
3,2a M =，{},N a b =．若{}4M N =I ，则=M N U ▲ ．
2.已知复数3i 1i
z -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ．
3.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ．
4.从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为▲．
5.执行如图所示算法的伪代码，则输出S的值为▲．
6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ▲ ．
7.已知点(1,0)P 到双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的距离为12
，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．
8.在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．设3n S 为该数列的前3n 项和，n T 为数列{}
3n a 的前n 项和．若3n n S tT =，则实数t 的值为 ▲ ．
9.已知实数x,y满足条件
0,
0,
1,
x y
x y
x
-
⎧
⎪
+
⎨
⎪
⎩
≥
≥
≤
则
1
()
2
x
y-的最大值为▲．
10.在平面直角坐标系xOy中，直线1
y=与函数
π
3sin(010)
2
y x x
=≤≤的图象所有交点的横坐标之和为▲．
11.已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3sin()45
θ+=，则1212x x y y +的值为 ▲ ．
12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲ ．
13.如图，在△ABC 中，已知π3
BAC ∠=，2AB =，3AC =，2DC BD =u u u r u u u r ，3AE ED =u u u r u u u r ，则BE =u u u r ▲ ．
14.已知函数1()()e x a f x a x
=
-∈R ．若存在实数m ，n ，使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题
15.（本小题满分14分）
在△ABC 中，已知π6
C =
，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ． （1）求A 的值； （2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =u u u r u u u r ，13AD =ABC 的面积．
16.（本小题满分14分）
如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，o 60BAD ∠=，2AB =，1DE EF ==．
（1）求证：//BC EF ；
（2）求三棱锥B DEF -的体积．
【解析】
BC EF．………………………………6分所以//
17.（本小题满分14分）
根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足
关系式
*
2
*
2
19,,
15
60
1020,
540
x x
x
p
x
x x
⎧
∈
⎪⎪-
=⎨
+
⎪∈
⎪⎩
N
N
, ≤≤
,　≤≤
(日产品废品率=
日废品量
日产量
×100％)．已知每生产一件正品可赢利
2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；
（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？
2
*3*24219,,
152(1)5 1020,.3180x x x x x y x p px x x x x ⎧-∈⎪⎪-=--=⎨⎪-∈⎪⎩N N ,　≤≤,　≤≤…………………………4分
（2）考虑函数2
324219,15()5 1020,3180x x x x f x x x x ⎧-⎪⎪-=⎨⎪-⎪⎩,　≤≤,　≤≤
18.（本小题满分16分） 如图，已知1A ，2A ，1B ，2B 分别是椭圆2222:
1(0)x y C a b a b
+=>>的四个顶点，△112A B B 是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M ．
（1）求椭圆C 及圆M 的方程；
（2）若点D 是圆M 劣弧¼12A B 上一动点（点D 异于端点1A ，2B ），直线1B D 分别交线段12A B ，椭圆C 于
点E ，G ，直线2B G 与11A B 交于点F ．
（i ）求11
GB EB 的最大值； （ii ）试问：E ，F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
3
1
y=-联立，解得点
3
(
3131
k
F
k k
--
，所以E、F
23
23
3131
k k
=-
--
19.（本小题满分16分）
已知数列{}n a ，{}n b 满足13a =，2n n a b =，12()1n n n n
b a b a +=-+，*n ∈N ．
（1）求证：数列1{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足25n n c a =-，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q ，r (p q r <<)，使得1p
c ，1q c ，1r
c 成等差数列？若存在，试用p 表示q ，r ；若不存在，说明理由．
所以分情况讨论，当1p =时，12,032q r q ≥=<-，1p c ，1q c ，1r
c 成等差数列不成立．当2p ≥时，
20.（本小题满分16分）
已知函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ．
（1）当0a >时，求函数()f x 的单调增区间；
（2）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2
上的最小值；
（3）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．
试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，分四步：第一步，求定义域，0x >
，第二步，求导，21121
2ln ln 2=x x x x x x ---+，不妨设12x x <，211x t x =>，则2(1)ln 1t t t -=+，下面研究函数2(1)ln 1t t t
-=+是否有大
21.A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
21.B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵
12
c d
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
A（c，d为实数）．若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分别为
2
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
1
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
求矩阵A的逆矩阵1-A．
21.C 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4,0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．
21.D 选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知x ，y ，z ∈R ，且2380x y z +++=．求证：222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥．
22.（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=．
（1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值；
（2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．
试题解析：
（1）因为111111
30cos ,1065CB BA CB BA CB BA ⋅===⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
23.（本小题满分10分）
在数列{}n a 中，已知120a =，230a =，113n n n a a a +-=-(*n ∈N ，2n ≥)．
（1）当2n =，3时，分别求211n n n a a a -+-的值，判断211(2)n n n a a a n -+-≥是否为定值，并给出证明； （2）求出所有的正整数n ，使得151n n a a ++为完全平方数．
将113k k k a a a -+=-代入上式，可得22113500k k k k a a a a ++-+=-．
则当1n k =+时，。