北航4系弹性力学作业答案闫晓军胡殿印

σ y = c21ε x + c22ε y + c23ε z σ z = c31ε x + c32ε y + c33ε z
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1 1 (ε x − ε )l + 2 γ xy m + 2 γ zx n = 0, 参照课本P21， 1 1 γ xy l + (ε y − ε )m + γ zy n = 0, 公式2－25 2 2 1 γ xz l + 1 γ yz m + (ε z − ε )n = 0。 2 2
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第一次作业
2 2 2 li= l = l = 1 i2 i3 1
li1l = li 2l = li1l = 0 i2 i3 i3 I1 = I1'
利用lij的关系
∴σ x + σ y + σ z = σ x′ + σ y ′ + σ z ′
证毕
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第一次作业（习题三）
2-4. 已知下列应力状态
l1 l2 l 3
m1 m2 m3
n1 0 0 1 n2 = 0.526 − 0.851 0 0.851 0.526 0 n2
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第一次作业（习题五）
（3）由公式（不要忽略切应变）
1 ε 8 = (ε 1 + ε 2 + ε 3 ) 3 2 (ε 1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε 1 ) 2 γ8 = 3
ε = ε= ε= 0 i11 A 1A 1 i 22 A2 A2 i 33 A3 A3
ε i12 A1 A2 + ε i 21 A2 A1 = 0ε i13 A1 A3 + ε i 31 A3 A1 = 0 ε i 23 A2 A3 + ε i 32 A3 A2 = 0 ∴ ε ijk Aj Ak = 0
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第一次作业
习题2-1 已知一点处的应力状态为：
12 6 0 6 10 0 ×103 Pa 0 0 0
试求该点处的最大主应力和主方向。
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第一次作业
解法一：由题知：
12 ×103 Pa, σ y = 10 ×103 Pa,τ xy = 6 ×103 Pa σx =
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第一次作业（习题六）
∂ ∂ε yz ∂ε zx ∂ε xy ∂ 2ε x − + + , = 2Cy ≠ 4Cy = 2 2 ∂y ∂z ∂y∂z ∂x ∂x 2 ε ε εy ∂ ∂ ∂ ∂ε zx ∂ xy yz , − + + = 2Cx ≠ 4Cx = 2 2 ∂z ∂x ∂z∂x ∂y ∂y ∂ ∂ε xy ∂ε yz ∂ε zx ∂ 2ε z − + + =0=2 2 ∂x ∂y ∂x∂y ∂z ∂z
(
)
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第一次作业（习题六）
3-4.试说明下列应变状态是否可能：
（1）
C ( x 2 + y 2 ) Cxy 0 2 εij = Cxy Cy 0 0 0 0
（2）
C ( x 2 + y 2 ) z Cxyz 0 2 εij = Cxyz Cy z 0 0 0 0
最大主应力：
σ= 1
主方向
σx +σ y
2
+ (
σ x −σ y
2
) 2 + τ xy = 17.083 ×103
计算出错
2τ xy 1 θ = arctan 40o16′ = 2 σ x −σ y
解法二：利用课本P21页公式（2－27）
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第一次作业
2-3：试证坐标变换时，I1为一不变量
证明：
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第一次作业（习题六）
（2） 这个问题属于空间问题（应变沿z方向是变 化的！），应当考虑六个相容条件：
∂ 2 ε y ∂ 2 ε z ∂ 2 γ yz ∂ 2ε x ∂ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy = − + + =2 , , 2 + 2 ∂y∂z ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y∂x ∂y ∂z 2 2 2 ∂ 2ε y ∂ ∂γ zx ∂γ xy ∂γ yz ∂ ε z ∂ ε x ∂ γ zx = − + + =2 , , 2 + 2 ∂z∂x ∂y ∂y ∂z ∂x ∂z∂x ∂z ∂x 2 2 2 2 ε γ γ γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ε γ ∂ εz ∂ ∂ y xy xy yz x zx + = − + + , 2 = 2 ∂z ∂y 2 x y z x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂x∂y x ∂
ε ijk Aj Ak = ∑∑ ε ijk Aj Ak
= j 1= k 1
3
3
= ε i11 A1 A1 + ε i12 A1 A2 + ε i13 A1 A3 +ε i 21 A2 A1 + ε i 22 A2 A2 + ε i 23 A2 A3 +
ε i 31 A3 A1 + ε i 32 A3 A2 + ε i 33 A3 A3
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第一次作业（习题六）
解：基本思路：
应变张量必须要满足剪切应变互等定律和应 变相容原则。 剪切应变互等定律要求应变矩阵必须为对称形， 显然（1）和（2）都是满足的。现在我们来考虑 应变相容的原则，
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第一次作业（习题六）
（1） 因为这个问题都是平面应变问题，所以相容 方程只有一个，可以写作：
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第一次作业（习题五）
解法2 ：按平面问题处理 由公式：
γ xy tan 2α 0 = − εx −εy
− 0.002 × 2 tan 2α 0 = − = −2 − 0.006 + 0.004
得到
可以解得 α 0
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第一次作业（习题五）
则α0和α0+π/2就是应变平面内的两个主应变方向， 另一主应变方向是应变平面的法向。 所以三个主应变方向是（格式）
（1）解法1：求解行列式方程
− 0.006 − ε − 0.002 0
解得：
− 0.002 − 0.004 − ε 0
0 0 =0 0−ε
ε 1 = 0 −3 ε 2 . 764 10 = − × 2 ε = −7.236 × 10 −3 3
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第一次作业（习题五）
解法2：由已知可以看出，此问题为平面应变问题，肯 定有一个主应变为零，其余两个主应变可以ε y ± = ε min 2
εx −εy 2 2 + γ xy
2
解得，
ε 1 = 0 −3 ε 2 . 764 10 = − × 2 ε = −7.236 × 10 −3 3
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第一次作业（习题五）
（2）解法1（不要忽略方向的求解） 分别将三个主应力的值代入方程组
所以相容条件不是全部符合，应变状态不可能存在。
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第三次作业
习题四 4-1：广义胡克定律的常数是怎么从36个减至2 个的？
答：首先证明在弹性状态下主应力方向与主应变方向 重合，然后令坐标轴Ox,Oy,Oz与主应力方向一致。于 是得到：
σ x = c11ε x + c12ε y + c13ε z
第一次作业
1：证明 (a):δij δij=3
(a):证明：
(b):εijk Aj Ak=0
δ ijδ ij =δ11δ11 + δ 22δ 22 + δ 33δ 33
+2(δ12δ12 + δ 23δ 23 + δ 31δ 31 ) = 1 + 1 + 1 = 3
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第一次作业
(b):证明：
1 5 = I = × Pa 5 . 33 10 σ 8 1 3 ⇒ τ = 1 2 I 2 − 6 I = 8.65 × 105 Pa 8 1 2 3
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第一次作业（习题三）
[注]：常用的八面体应力公式：
1 1 1 σ 8 = (σ x + σ y + σ z ) = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = I1 3 3 3 τ = 1 (σ − σ )2 + (σ − σ )2 + (σ − σ )2 = 1 2 I 2 − 6 I 8 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3
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第一次作业（习题六）
带入应变分量后，得到
∂ 2ε y ∂ 2ε z 2∂ 2 ε yz , =0= 2 + 2 ∂y∂z ∂y ∂z 2 2 ∂ 2 ε zx ∂ ε z ∂ ε x , =0= 2 + 2 ∂z∂x ∂z ∂x ∂ 2ε x ∂ 2ε y 2∂ 2 ε xy , = 2Cz = 2 + 2 ∂x∂y ∂x ∂y
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第一次作业（习题五）
并且考虑到
l + m + n = 1,
2 2 2
就可以解出三个主应变的方向为：
l1 l 2 l3
m1 m2 m3
n1 0 0 1 0.526 − 0.851 0 n2 = n2 0.851 0.526 0
∂ ε x ∂ ε y ∂ γ xy 2∂ ε xy + = = , 2 2 ∂x∂y ∂x∂y ∂y ∂x
2 2 2 2
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第一次作业（习题六）
因为
2∂ ε xy ∂ εx ∂ εy + = 2C = , 2 2 ∂x∂y ∂y ∂x
2 2 2
所以相容条件满足，应变状态可能存在。
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第一次作业（习题五）
习题三： 3-3 已知应变张量
− 0.006 − 0.002 0 εij = − 0.002 − 0.004 0 0 0 0
试求：（1）主应变； （2）主应变方向； （3）八面体应变；（4）应变不变量。
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第一次作业（习题五）
注意：坐标变换关系式的表达
I1 = σ x + σ y + σ z
σ i′j′ = lii′l jj′σ ij σ x′ = σ x l112 + σ y l12 2 + σ z l132 + 2 (τ xy l11l12 + τ yz l12l13 + τ zx l13l11 ) σ y′ = σ x l212 + σ y l22 2 + σ z l232 + 2 (τ xy l21l22 + τ yz l22l23 + τ zx l23l21 ) σ z′ = σ x l312 + σ y l32 2 + σ z l332 + 2 (τ xy l31l32 + τ yz l32l33 + τ zx l33l31 )
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第一次作业（习题五）
此外应变不变量也可由已知的应变张量直接求得：
I1 = ε x + ε y + ε z = −10 −2 , 1 2 2 2 −5 I 2 = ε xε y + ε yε z + ε zε x − γ xy + γ yz + γ zx = 2 ×10 , 4 I 3 = ε ij = 0。
求出
ε 8 = −3.33 ×10 −3 , γ 8 = 5.96 ×10 −3
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第一次作业（习题五）
（4）
将 εE − ε ij = 0 展开得到 ε 3 + 10− 2 ε 2 + 2 ´ 10−5 ε＝0
故三个应变不变量为：
I1 = −10 −2 −5 2 10 I = × 2 I 3 = 0
5 3 8 5 σ ij = 3 0 3 ×10 Pa 8 3 11
试求八面体正应力与切应力。
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第一次作业（习题三）
解：首先求出应力不变量为：
此题错误多出在计算上
I1 = σ x + σ y + σ z = 16 ×105 Pa
2 2 2 I 2 = σ yσ z + σ zσ x + σ xσ y − τ yz − τ zx − τ xy = −27 ×105 Pa 2 2 2 I 3 = σ xσ yσ z − σ xτ yz − σ yτ zx − σ zτ xy + 2τ yzτ zxτ xy = 0