高中数学集合的运算(第一)教案新人教B版必修

1.2.2 集合的运算（第一课时）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.
（2）能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用。

（3）掌握的关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算。

2．过程与方法
通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力.
3．情感、态度与价值观
通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值.
（二）教学重点与难点
重点：交集、并集运算的含义，识记与运用.
难点：弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系
（三）教学方法
在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在独立钻研和探究中提升思维能力，尝试实践与交流相结合.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
提出问题引入新知思考：观察下列各组集合，联想实数加
法运算，探究集合能否进行类似“加法”
运算.
（1）A = {1，3，5}，B = {2，4，6}，
C = {1，2，3，4，5，6}
（2）A = {x | x是有理数}，
B = {x | x是无理数}，
C = {x | x是实数}.
师：两数存在大小关系，两集合
存在包含、相等关系；实数能进
行加减运算，探究集合是否有相
应运算.
生：集合A与B的元素合并构成
C.
师：由集合A、B元素组合为C，
这种形式的组合就是为集合的并
集运算.
生疑析疑，
导入新知
形成概念思考：并集运算.
集合C是由所有属于集合A或属于集合
B的元素组成的，称C为A和B的并集.
定义：由所有属于集合A或集合B的元
素组成的集合. 称为集合A与B的并集；
记作：A∪B；读作A并B，即A∪B= {x
| x∈A，或x∈B}，Venn图表示为：
师：请同学们将上述两组实例的
共同规律用数学语言表达出来.
学生合作交流：归纳→回答→补
充或修正→完善→得出并集的定
义.
在老师指导
下，学生通
过合作交
流，探究问
题共性，感
知并集概
念，从而初
步理解并集
的含义.
应用举例
例1 设A= {4，5，6，8}，B= {3，
5，7，8}，求A∪B.
例1解：A∪B = {4, 5, 6, 8}
∪{3, 5, 7, 8} = {3, 4, 5,
6, 7, 8}.
学生尝试求
解，老师适
时适当指
A B
例2 设集合A = {x | –1＜x ＜2}，集合B = {x | 1＜x ＜3}，求A ∪B .
例2解：A ∪B = {x |–1＜x ＜2}∪{x |1＜x ＜3} = {x = –1＜x ＜3}.
师：求并集时，两集合的相同元
素如何在并集中表示. 生：遵循集合元素的互异性. 师：涉及不等式型集合问题.
注意利用数轴，运用数形结合思想求解.
生：在数轴上画出两集合，然后
合并所有区间. 同时注意集合元素的互异性.
导，评析. 固化概念 提升能力
探究
性质
①A ∪A = A ， ②A ∪∅= A ， ③A ∪B = B ∪A ， ④A A ⊆∪B ，B A ⊆∪B .
老师要求学生对性质进行合理解
释.
培养学生数
学思维能
力.
形成概念 自学提要：
①由两集合的所有元素合并可得两集合的并集，而由两集合的公共元素组成的
集合又会是两集合的一种怎样的运算？
②交集运算具有的运算性质呢
交集的定义. 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集；记作
A ∩
B ，读作A 交B .
即A ∩B = {x | x ∈A 且x ∈B }
Venn 图表示
老师给出自学提要，学生在老师
的引导下自我学习交集知识，自我体会交集运算的含义. 并总结交集的性质. 生：①A ∩A = A ； ②A ∩∅=∅； ③A ∩B = B ∩A ； ④A ∩B A ⊆，A ∩B B ⊆ 师：适当阐述上述性质.
自学辅导，合作交流，
探究交集运
算. 培养学
生的自学能
力，为终身
发展培养基
本素质.
应用举例 例1 （1）A = {2，4，6，8，10}，
B = {3，5，8，12}，
C = {8}.
（2）新华中学开运动会，
A = {x | x 是新华中学高一年级参
加百米赛跑的同学}，
B = {x | x 是新华中学高一年级参
加跳高比赛的同学}，求A ∩B .
例2 设平面内直线l 1上点的集合
为L 1，直线l 2上点的集合为L 2，试用集
合的运算表示l 1，l 2的位置关系.
学生上台板演，老师点评、总结.
例1 解：（1）∵A ∩B = {8}，
∴A ∩B = C .
（2）A ∩B 就是新华中学高一年
级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合. 所以，A ∩B = {x | x 是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加
跳高比赛的同学}.
例2 解：平面内直线l 1，l 2可能
有三种位置关系，即相交于一点，
提升学生的
动手实践能
力.
–1 0 1 2 3
x
A
B
A ∩B
平行或重合.
（1）直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2 = {点P}；（2）直线l1，l2平行可表示为L1∩L2 =∅；
（3）直线l1，l2重合可表示为L1∩L2 = L1 = L2.
归纳总结并集：A∪B = {x | x∈A或x∈B}
交集：A∩B = {x | x∈A且x∈B}
性质：①A∩A = A，A∪A = A，
②A∩∅=∅，A∪∅= A，
③A∩B = B∩A，A∪B = B∪A.
学生合作交流：回顾→反思→总
理→小结
老师点评、阐述
归纳知识、
构建知识网
络
课后作业课后练习学生独立完成
巩固知识，
提升能力，
反思升华
备选例题
例1 已知集合A = {–1，a2 + 1，a2– 3}，B = {– 4，a– 1，a + 1}，且A∩B = {–2}，求a的值.
【解析】法一：∵A∩B = {–2}，∴–2∈B，
∴a– 1 = –2或a + 1 = –2，
解得a = –1或a = –3，
当a = –1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B = {–2}.
当a = –3时，A = {–1，10，6}，A不合要求，a = –3舍去
∴a = –1.
法二：∵A∩B = {–2}，∴–2∈A，
又∵a2 + 1≥1，∴a2– 3 = –2，
解得a =±1，
当a = 1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，0，2}，A∩B≠{–2}.
当a = –1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B ={–2}，∴a = –1.
例2 集合A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，
（1）若A∩B =∅，求a的取值范围；
（2）若A∪B = {x | x＜1}，求a的取值范围.
【解析】（1）如下图所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，且A∩B=∅，
∴数轴上点x = a在x = – 1左侧.
∴a≤–1.
（2）如右图所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x |
x＜a}且A∪B = {x | x＜1}，
∴数轴上点x = a在x = –1和x = 1之间.
∴–1＜a≤1.
例3 已知集合A = {x | x2–ax + a2– 19 = 0}，B = {x | x2– 5x + 6 = 0}，
⊂
≠
C = {x | x 2 + 2x – 8 = 0}，求a 取何实数时，A ∩B ∅与A ∩C =∅同时成立？
【解析】B = {x | x 2 – 5x + 6 = 0} = {2，3}，C = {x | x 2
+ 2x – 8 = 0} = {2，
– 4}.
由A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立可知，3是方程x 2 – ax + a 2 – 19 = 0的解. 将3代入方程得a 2
– 3a – 10 = 0，解得a = 5或a = –2.
当a = 5时，A = {x | x 2
– 5x + 6 = 0} = {2，3}，此时A ∩C = {2}，与题设A ∩C =∅相矛盾，故不适合.
当a = –2时，A = {x | x 2
+ 2x – 15 = 0} = {3，5}，此时A ∩B ∅与A ∩C =∅，同时成立，∴满足条件的实数a = –2.
例4 设集合A = {x 2
，2x – 1，– 4}，B = {x – 5，1 – x ，9}，若A ∩B = {9}，求A ∪B .
【解析】由9∈A ，可得x 2
= 9或2x – 1 = 9，解得x =±3或x = 5.
当x = 3时，A = {9，5，– 4}，B = {–2，–2，9}，B 中元素违背了互异性，舍去. 当x = –3时，A = {9，–7，– 4}，B = {–8，4，9}，A ∩B = {9}满足题意，故A ∪B = {–7，– 4，–8，4，9}.
当x = 5时，A = {25，9，– 4}，B = {0，– 4，9}，此时A ∩B = {– 4，9}与A ∩B = {9}矛盾，故舍去.
综上所述，x = –3且A ∪B = {–8，– 4，4，–7，9}.
⊂ ≠ ⊂ ≠。