第四章衍射光栅
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b 缝间不透明部分宽度： d 相邻狭缝中心点距离： a b
d ：光栅常数
每毫米光栅的狭缝数目： 数百条～两千左右条。
2）多缝夫琅禾费衍射图样
3）衍射图样的特征
（1）有一系列主极强、次极强和极小值。
（2）主极强的位置与缝数N无关， 宽度随N增加减小（更细锐）。
（3）相邻主极强间有 (N 1)条暗纹（极小）
I
0
(
sin
)2
（1）单缝的调制作用
（2）缺级
a sin m m 1,2, 由d sin k k 0,1,2,
，
缺级级次： k m d
a
，
m 1,2,
§2 光栅光谱仪
1、光栅的分光原理
由光栅方程
d sin k
可知： 光栅衍射的零级光谱 是白色的，其余各个 级次均为彩色光谱。
eNi ei
E
a0
sin
sin N sin
eikr0
其中：r0 r01 [(N 1)d sin ]/ 2
，
是整个光栅中心到观察点P的光程。
，
a0IaCI~0，(sina) 2si(nssinin，N
d
)2
sin
4．缝间干涉因子的特点
(sin )2：衍射因子
(sin N )2：干涉因子 sin
和 (N 2)个次极强。
（4）外部轮廓呈单缝衍射的曲线包络
3．多缝夫琅禾费衍射的复振幅和光强分布
1）不同单缝衍射的差异
n （1）第 个单缝的复振幅分布：
E
n(
E
P)
rn
n (P)
i E(Q)eikrd C
r0
r －x (0 ) 0n
sin
aC
sin
exp(ikr0n
)
a/2
a/2 exp(ikrn
令： (sin )2 1（取极大值时）
I
sin N I0 ( sin
)2
1）主极强峰值的位置、强度和数目
（1）位置 由： dI
0 ，d 2I
0
d
d 2
得： k（k 0,1. 2,）时
sin N 0，sin 0
在d sin k的位置出现主极大
主极大的位置与缝数N无关
（2）光强：
是两谱线刚能分辨的瑞利判据。
2）色分辨本领的定义：
波长与在其附近刚可被分辨的
两条谱线的最小波长间隔 之比
由 有： k Nd cos d cos
得：R kN
3）讨论：R与 kN成正比，与 d无关。
4）例题：
一 求个 在宽551050cmA0 的的光一级栅光，谱每附毫近米刚内能有分12辨00的条最狭小缝，
（2）自由光谱范围值：
d sin kM (k 1)m m M k /(k 1)
k 1时：m M / 2
自由光谱范围：
M m M / 2 m
5．闪耀光栅
1）闪耀光栅的结构和光路
nb：：闪槽耀面角法线方向
a
N
：槽面宽度 ：光栅平面法线方向
d ：槽面间隔
且有：d a
两种入射方式：
令: k 1 , 2d sin b 1b 满足这个条件的波长 附近的一级光谱被闪耀
5）平行光垂直光栅平面入射时
在单元衍射零级极强方向上满足
缝间干涉极大的光程差条件
此时单元衍射零级极大方向
沿与入射光夹角
的反射方向
0
2 b
相邻槽面间的入反射光线
，
沿此方向的光程差为：
L d sin 2b kkb
第四章 衍射光栅
§1 多缝夫琅禾费衍射
1．光栅及其种类
1）定义： 具有周期性的空间结构或光学 性能（如折射率、透射率）的 衍射屏统称为光栅。
2）光栅的种类：
透射式光栅、反射式光栅。
平面光栅、凹面光栅。
黑白光栅、正弦光栅。 一维光栅、二维光栅、 三维光栅。
2．实验装置和衍射图样
1）实验装置
a 狭缝宽度：
E(P) i
N
E(Q)eikrd C eikrdx En (P)
r0 (0 )
n1Βιβλιοθήκη r r0（n1） r0n d sin
，
2d sin 2
r0n r01 (n 1)d sin
En (P) Ca sina0esxipn(ikre0nx)p(ikr01) exp(2i(n 1) )
（2） D
k d cos k
1.7 104 rad
0
0.57' / A
0
5.9 A
D 0.57'5.9 3.4'
（3）Nd 15cm
5.55 106 rad 0.019' Nd cos
第四章 衍射光栅
§2 光栅光谱仪
3．光栅的 色分辨本领
1）瑞利判据：
色散本领只能反映谱线中心分离的程度， 不能说明两条谱线重叠得是否可以分辨，
a sin
)dx
（2）第 n 个单缝的光强度：
I
n
(P)
I
0
(
sin
)2
（3）结论
（a）每个单缝单独产生的光强分布完全相同
（b）复振幅分布中仅仅光程r0n 不同
2）利用矢量图解法求光强分布
a
a0
sin
, L d sin
2d sin 2
_____
OC
a
2sin
_____
2．光栅的色散本领
1）定义：
两条谱线中心的波长间隔与被分开的
角距离 或在屏幕上被分开的线距离 l
之比分别称为角色散本领和线色散本领。
，
D
，Dl
l
l f Dl fD
2）角色散本领和线色散本领公式
cos k
k
d
3）讨论
D Dl
k
d
cos
kf
k
d cosk
d （1） D与 成反比，与 k成正比。 （2） Dl与 d成反比，与k和 f 成正比
平行光线以垂直槽面或
垂直光栅平面方式入射。
2）透射光栅的缺点
无色散的零级干涉主极强占有光能的 很大一部分 原因：单元衍射零级极强与缝间干涉零级 主极强重叠 3）闪耀光栅的特点
（1）单元衍射零级极强与某一个非零级 干涉主极强重叠。
（2）除与单元零级衍射极强重叠的干涉主极强 外，其余缝间干涉主极强均缺级。
E nN1aa0Csinsinexepx(pik(irk01r)0nnN)1 exp(2i(n 1) )
Sn
首项
1－（公比）n 1－公比
E a eikr01 (1 e2i e4i e2(N1)i )
a
eikr01
1 e2Ni 1 e2i
a ei[kr01( N 1) ]
e Ni ei
波长差为多少？
解：d (1/1200)mm
，
N 15cm 1200 / mm 18104
R kN 18104
得：
/
R
0
0.03 A
4．量程与自由光谱范围
1）量程 （1）量程的定义：最大待测波长
（2）最大待测波长值：
d sin k
2）自由光谱范围
M
d k
d
（1）自由光谱范围定义： 光谱区之间不重叠的光谱范围
_____
，OBN 2 OC sin( N )
sin N A a sin
合振幅的矢量图
A
a0
sin
sin N sin
I
a02
(
sin
)2
(
sin N sin
)
2
a sin ，
d
sin ，I 0
a02
I
sin I0(
)2 (sin N sin
)2
3）利用复振幅积分法求光强分布
1
(k m / N)
在 d sin (k m ) 位置出现极小值。
N
（2）次极强数目
由：m 1,2, , N 1可知
相邻主极强间有 N 1个极小值（暗线） 因此，相邻主极强间共有 N 2个次极强。
（3）主极强的半角宽度
由 d sin (k 1 )
sin
k
sin( k
k )
N
(k
1 N
)
d
cos k sin k cos k (k
1 N
)
d
k
sin k
Nd cos
k
k cos k (k 1/ N
,中 的央半角主宽极度强： k
)
d
Nd
讨论：Nd 越大， 越小，条纹越细锐。
5．单缝衍射因子的作用
令：(sin N )2 N（2 取极大值时）
sin
I
N
2
令: k 1 , d sin 2b 1b 满足这个条件的波长 附近的一级光谱被闪耀
6）例题：
分析红外波段10m附近的一级光谱，决定 选用闪耀角为 30 0的光栅，问当平行光以垂
直槽面方向入射时光栅的刻槽密度应为多少？
解： 1b 10m
1 2sin b 10条0 /mm
d
1b
I N 2I0
（3）数目：
sin 1时，
k d / ，k 0,1,2,
2）极小值位置、次极强的数目和
主极强的半角宽度 （1）极小值位置：sin N 0 ，sin 0时
N m'，m'：整数
(m' / N ) , (m' / N ) ：非整数。
m' (k m )
N
N
mk
0,1,2, 1,2, , N
因为：d a
缺级公式变成：
k m d m m 0
a
能量几乎全部集中到一个 非零级彩色干涉主极强上
形成了强烈的 彩色闪耀光谱
4）平行光垂直槽面入射时
在单元衍射零级极强方向上满足 缝间干涉极大的光程差条件
此时单元衍射零级极大方向 沿垂直槽面方向
相邻槽面间的入反射光线沿 此方向的光程差为：
L 2d sin b kkb
（3） D 和Dl均与N无关
4）例题：
0
0
钠黄光包括 5890 A和 ' 5895.9 A
两条谱线，使用15cm、每毫米内有1200
条缝的光栅，求：一级光谱中两条谱线的
位置、角间隔和半角宽各是多少？
解：
（1） d
1
mm
1200
1 arcsin d
arcsin( 0.7068) 44058.5'
d ：光栅常数
每毫米光栅的狭缝数目： 数百条～两千左右条。
2）多缝夫琅禾费衍射图样
3）衍射图样的特征
（1）有一系列主极强、次极强和极小值。
（2）主极强的位置与缝数N无关， 宽度随N增加减小（更细锐）。
（3）相邻主极强间有 (N 1)条暗纹（极小）
I
0
(
sin
)2
（1）单缝的调制作用
（2）缺级
a sin m m 1,2, 由d sin k k 0,1,2,
，
缺级级次： k m d
a
，
m 1,2,
§2 光栅光谱仪
1、光栅的分光原理
由光栅方程
d sin k
可知： 光栅衍射的零级光谱 是白色的，其余各个 级次均为彩色光谱。
eNi ei
E
a0
sin
sin N sin
eikr0
其中：r0 r01 [(N 1)d sin ]/ 2
，
是整个光栅中心到观察点P的光程。
，
a0IaCI~0，(sina) 2si(nssinin，N
d
)2
sin
4．缝间干涉因子的特点
(sin )2：衍射因子
(sin N )2：干涉因子 sin
和 (N 2)个次极强。
（4）外部轮廓呈单缝衍射的曲线包络
3．多缝夫琅禾费衍射的复振幅和光强分布
1）不同单缝衍射的差异
n （1）第 个单缝的复振幅分布：
E
n(
E
P)
rn
n (P)
i E(Q)eikrd C
r0
r －x (0 ) 0n
sin
aC
sin
exp(ikr0n
)
a/2
a/2 exp(ikrn
令： (sin )2 1（取极大值时）
I
sin N I0 ( sin
)2
1）主极强峰值的位置、强度和数目
（1）位置 由： dI
0 ，d 2I
0
d
d 2
得： k（k 0,1. 2,）时
sin N 0，sin 0
在d sin k的位置出现主极大
主极大的位置与缝数N无关
（2）光强：
是两谱线刚能分辨的瑞利判据。
2）色分辨本领的定义：
波长与在其附近刚可被分辨的
两条谱线的最小波长间隔 之比
由 有： k Nd cos d cos
得：R kN
3）讨论：R与 kN成正比，与 d无关。
4）例题：
一 求个 在宽551050cmA0 的的光一级栅光，谱每附毫近米刚内能有分12辨00的条最狭小缝，
（2）自由光谱范围值：
d sin kM (k 1)m m M k /(k 1)
k 1时：m M / 2
自由光谱范围：
M m M / 2 m
5．闪耀光栅
1）闪耀光栅的结构和光路
nb：：闪槽耀面角法线方向
a
N
：槽面宽度 ：光栅平面法线方向
d ：槽面间隔
且有：d a
两种入射方式：
令: k 1 , 2d sin b 1b 满足这个条件的波长 附近的一级光谱被闪耀
5）平行光垂直光栅平面入射时
在单元衍射零级极强方向上满足
缝间干涉极大的光程差条件
此时单元衍射零级极大方向
沿与入射光夹角
的反射方向
0
2 b
相邻槽面间的入反射光线
，
沿此方向的光程差为：
L d sin 2b kkb
第四章 衍射光栅
§1 多缝夫琅禾费衍射
1．光栅及其种类
1）定义： 具有周期性的空间结构或光学 性能（如折射率、透射率）的 衍射屏统称为光栅。
2）光栅的种类：
透射式光栅、反射式光栅。
平面光栅、凹面光栅。
黑白光栅、正弦光栅。 一维光栅、二维光栅、 三维光栅。
2．实验装置和衍射图样
1）实验装置
a 狭缝宽度：
E(P) i
N
E(Q)eikrd C eikrdx En (P)
r0 (0 )
n1Βιβλιοθήκη r r0（n1） r0n d sin
，
2d sin 2
r0n r01 (n 1)d sin
En (P) Ca sina0esxipn(ikre0nx)p(ikr01) exp(2i(n 1) )
（2） D
k d cos k
1.7 104 rad
0
0.57' / A
0
5.9 A
D 0.57'5.9 3.4'
（3）Nd 15cm
5.55 106 rad 0.019' Nd cos
第四章 衍射光栅
§2 光栅光谱仪
3．光栅的 色分辨本领
1）瑞利判据：
色散本领只能反映谱线中心分离的程度， 不能说明两条谱线重叠得是否可以分辨，
a sin
)dx
（2）第 n 个单缝的光强度：
I
n
(P)
I
0
(
sin
)2
（3）结论
（a）每个单缝单独产生的光强分布完全相同
（b）复振幅分布中仅仅光程r0n 不同
2）利用矢量图解法求光强分布
a
a0
sin
, L d sin
2d sin 2
_____
OC
a
2sin
_____
2．光栅的色散本领
1）定义：
两条谱线中心的波长间隔与被分开的
角距离 或在屏幕上被分开的线距离 l
之比分别称为角色散本领和线色散本领。
，
D
，Dl
l
l f Dl fD
2）角色散本领和线色散本领公式
cos k
k
d
3）讨论
D Dl
k
d
cos
kf
k
d cosk
d （1） D与 成反比，与 k成正比。 （2） Dl与 d成反比，与k和 f 成正比
平行光线以垂直槽面或
垂直光栅平面方式入射。
2）透射光栅的缺点
无色散的零级干涉主极强占有光能的 很大一部分 原因：单元衍射零级极强与缝间干涉零级 主极强重叠 3）闪耀光栅的特点
（1）单元衍射零级极强与某一个非零级 干涉主极强重叠。
（2）除与单元零级衍射极强重叠的干涉主极强 外，其余缝间干涉主极强均缺级。
E nN1aa0Csinsinexepx(pik(irk01r)0nnN)1 exp(2i(n 1) )
Sn
首项
1－（公比）n 1－公比
E a eikr01 (1 e2i e4i e2(N1)i )
a
eikr01
1 e2Ni 1 e2i
a ei[kr01( N 1) ]
e Ni ei
波长差为多少？
解：d (1/1200)mm
，
N 15cm 1200 / mm 18104
R kN 18104
得：
/
R
0
0.03 A
4．量程与自由光谱范围
1）量程 （1）量程的定义：最大待测波长
（2）最大待测波长值：
d sin k
2）自由光谱范围
M
d k
d
（1）自由光谱范围定义： 光谱区之间不重叠的光谱范围
_____
，OBN 2 OC sin( N )
sin N A a sin
合振幅的矢量图
A
a0
sin
sin N sin
I
a02
(
sin
)2
(
sin N sin
)
2
a sin ，
d
sin ，I 0
a02
I
sin I0(
)2 (sin N sin
)2
3）利用复振幅积分法求光强分布
1
(k m / N)
在 d sin (k m ) 位置出现极小值。
N
（2）次极强数目
由：m 1,2, , N 1可知
相邻主极强间有 N 1个极小值（暗线） 因此，相邻主极强间共有 N 2个次极强。
（3）主极强的半角宽度
由 d sin (k 1 )
sin
k
sin( k
k )
N
(k
1 N
)
d
cos k sin k cos k (k
1 N
)
d
k
sin k
Nd cos
k
k cos k (k 1/ N
,中 的央半角主宽极度强： k
)
d
Nd
讨论：Nd 越大， 越小，条纹越细锐。
5．单缝衍射因子的作用
令：(sin N )2 N（2 取极大值时）
sin
I
N
2
令: k 1 , d sin 2b 1b 满足这个条件的波长 附近的一级光谱被闪耀
6）例题：
分析红外波段10m附近的一级光谱，决定 选用闪耀角为 30 0的光栅，问当平行光以垂
直槽面方向入射时光栅的刻槽密度应为多少？
解： 1b 10m
1 2sin b 10条0 /mm
d
1b
I N 2I0
（3）数目：
sin 1时，
k d / ，k 0,1,2,
2）极小值位置、次极强的数目和
主极强的半角宽度 （1）极小值位置：sin N 0 ，sin 0时
N m'，m'：整数
(m' / N ) , (m' / N ) ：非整数。
m' (k m )
N
N
mk
0,1,2, 1,2, , N
因为：d a
缺级公式变成：
k m d m m 0
a
能量几乎全部集中到一个 非零级彩色干涉主极强上
形成了强烈的 彩色闪耀光谱
4）平行光垂直槽面入射时
在单元衍射零级极强方向上满足 缝间干涉极大的光程差条件
此时单元衍射零级极大方向 沿垂直槽面方向
相邻槽面间的入反射光线沿 此方向的光程差为：
L 2d sin b kkb
（3） D 和Dl均与N无关
4）例题：
0
0
钠黄光包括 5890 A和 ' 5895.9 A
两条谱线，使用15cm、每毫米内有1200
条缝的光栅，求：一级光谱中两条谱线的
位置、角间隔和半角宽各是多少？
解：
（1） d
1
mm
1200
1 arcsin d
arcsin( 0.7068) 44058.5'