(通用版)(新课标)高考数学二轮复习作业手册 专题限时集 第18讲 函数与方程思想、数形结合思想 文

专题限时集训(十八)
[第18讲 函数与方程思想、数形结合思想]
(时间：45分钟)
1．若i(x ＋yi)＝3＋4i ，x ，y ∈R ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
2．直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－1
2
x ＋ln x 相切，则b 的值为( )
A ．－2
B ．1
C ．－1
2
D ．－1
3．F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y
2b
2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C
的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB|∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率是( )
A.13
B.15 C ．2 D. 3
4．已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x≥1，
x ＋y≤3，y ≥a （x －3）.
若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )
A.14
B.1
2
C ．1
D ．2 5．函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2
－4x ＋4的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
6．若点P 是曲线y ＝x 2
－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为________．
7．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2
－4x ＋1＝0，则x
的最大值为( )
A ．1
B ．－ 3 C. 3 D ．2 8．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，f(－4)＝－1，f(x)的导函数f′(x)的图像如图X18
－1所示．若两正数a ，b 满足f(a ＋2b)<1，则a ＋2
b ＋2
的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，2 B ．(－∞，－1) C ．(－1，0) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3 9．已知函数f(x)＝3x ＋sin x －2cos x 的图像在点A(x 0，f(x 0))处的切线斜率为3，则
tan x 0的值是________．
10．若曲线y ＝x －12在点(m ，m －1
2
)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝
________．
11．函数y ＝2－sin x
3－cos x
的值域是________．
12．已知函数f(x)＝2x
＋x ，g(x)＝x －log 12
x ，h(x)＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，
则x 1，x 2，x 3的大小关系是______________．
13．设函数f(x)＝x 2
＋aln(x ＋1)有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2. (1)求实数a 的取值范围；
(2)当a ＝38时，判断方程f(x)＝－1
4
的实数根的个数，并说明理由．
14．已知函数f(x)＝e x
，x ∈R .
(1)若直线y ＝kx ＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k 的值；
(2)设x>0，讨论曲线y ＝f(x)与曲线y ＝mx 2
(m>0)公共点的个数．
15．设f(x)＝ln(x 2
＋1)，g(x)＝12x 2－12
.
(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间，并证明对[－1，1]上的任意x 1，x 2，x 3，都有F(x 1)＋F(x 2)>F(x 3)；
(2)将y ＝f(x)的图像向下平移a(a>0)个单位，同时将y ＝g(x)的图像向上平移b(b>0)个
单位，使它们恰有四个交点，求a ＋1
b ＋1
的取值范围．
专题限时集训(十八)
1．D [解析] i(x ＋yi)＝－y ＋xi ＝3＋4i ，根据两复数相等的充要条件得x ＝4，y ＝－
3.故|x ＋yi|＝x 2＋y 2＝（－3）2＋42
＝5.
2．D [解析] 由y ＝－12x ＋ln x 得y′＝－12＋1x .又因为y′＝－12＋1x ＝1
2
，解得x ＝1.
把x ＝1代入曲线方程y ＝－12x ＋ln x 得y ＝－12，所以切点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫1，－12，代入直线方程y ＝1
2
x ＋b 得b ＝－1. 3．A [解析] 由|AB|∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，令|AB|＝3t ，|BF 2|＝4t ，|AF 2|＝5t ，则由⎩
⎪⎨⎪⎧|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，得|AF 1|＝3t ，t ＝a.由|AB|∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5知，△ABF 2为直
角三角形，即∠ABF 2＝90°，则|F 1B|2＋|F 2B|2＝|F 1F 2|2，所以(6a)2＋(4a)2＝(2c)2
，解得c ＝13
a ，故e ＝c
a
＝13.
4．B [解析] 由于直线y ＝A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直线y ＝－2x ，经过平移易知直线过A 点时，直线在y 轴上
的截距最小，即2＋(－2a)＝1，解得a ＝1
2
.故答案为B.
5．C [解析] 4x ＋4的图像如图所示，则两个函数图像的交点个数为2，故选C.
方法二，构造函数φ(x)＝ln x －x 2
＋4x －4，则φ′(x)＝1x －2x ＋4＝－2x 2
－4x －1x
.又
因为方程2x 2
－4x －1＝0的大于零的根的是x 0＝4＋244＝2＋62
，且在(0，x 0)上φ′(x)>0，
在(x 0，＋∞)上φ′(x)<0，所以函数φ(x)至多有两个零点．由于φ(1)＝－1<0，φ(2)＝ln 2>0，φ(4)＝ln 4－4<0，则函数φ(x)有两个不同的零点．故函数f(x)＝ln x 的图像与
函数g(x)＝x 2
－4x ＋4
6. 2 [解析] y′＝2x －1x ，令y′＝1，得方程2x 2
－x －1＝0，解得x ＝－12
(舍去)或x
＝1，故与直线y ＝x －2平行且与曲线y ＝x 2
－ln x 相切的直线的切点坐标为(1，1)，该点到直线y ＝x －2的距离d ＝2即为所求．
7．C [解析] 由题意得(x －2)2＋y 2
＝3，即方程表示以(2，0)为圆心，r ＝3为半径的圆．设k ＝y x ，则y ＝kx ，即kx －y ＝0，当直线kx －y ＝0与圆相切时k 取得最值，即|2k|
k 2＋1＝3，解得k ＝±3，所以k 的最大值为3，故y
x
的最大值为 3.
8．D [解析] 因为f(x)是定义域为R 的奇函数，f(－4)＝－1，所以f(4)＝1.又因为
f′(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增．若两正数a ，b 满足f(a ＋2b)<1，则⎩⎪⎨⎪
⎧a>0，
b>0，
a ＋2b<4.
把b 看作横坐标，a 看作纵坐标，则线性约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧a>0，b>0，a ＋2b<4
的可行域是以点(0，0)，(2，0)，
(0，4)为顶点的三角形.a ＋2
b ＋2
的几何意义为过点(－2，－2)和(b ，a)的直线的斜率，由可行域
知，当(b ，a)为点(2，0)时，a ＋2b ＋2取最小值，其最小值为0＋22＋2＝1
2
；当(b ，a)为点(0，4)时，
a ＋2
b ＋2取最大值，其最大值为4＋20＋2＝3.故a ＋2b ＋2的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3. 9．－1
2 [解析] f′(x)＝3＋cos x ＋2sin x ，根据已知3＋cos x 0＋2sin x 0＝3，由此可
得tan x 0＝－1
2
.
10．64 [解析] 由题意知m>0，因为y ＝x －12，所以y′＝－12x －32，则y ′|x ＝m ＝－1
2
m －
32.故切线方程为y －m －12＝－12m －32(x －m)，即y ＝－12m －32x ＋32m －12.令x ＝0，则y ＝32m －12
，令y ＝0，则x ＝3m.因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，所以12·3m ·32m －1
2
＝18，解
得m ＝64.
11.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
3－34
，3＋34 [解析] 函数y ＝2－sin x 3－cos x 的几何意义是指坐标平面上定点A(3，
2)与动点M(cos x ，sin x)连线的斜率．又因为动点M 的两坐标的平方和为1，所以动点M 是由
坐标平面内单位圆上的点组成的．故问题等价于求定点A 和单位圆上的动点连线的斜率的取
值范围．如图所示，函数y ＝2－sin x
3－cos x
的值域的两个端点，就是过点A 的单位圆的两条切线
AM ，AN 的斜率．设切线方程为y －2＝k(x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0.由题意知，d ＝|－3k ＋2|
1＋k 2
＝1，解得k ＝3±34，故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
3－34
，3＋34.
12．x 3>x 2>x 1 [解析] 由f(x)＝2x
＋x ＝0，g(x)＝x －log 12
x ＝0，h(x)＝log 2x －x ＝0得
2x ＝－x ，x ＝log 12
x ，log 2x ＝x.在平面直角坐标系中分别作出y ＝2x
与y ＝－x ，y ＝x 与y ＝
log 12
x ，y ＝log 2x 与y ＝x 的图像，如图所示，由图像可知－1<x 1<0，0<x 2<1，x 3>1，所以x 3>x 2>x 1.
13．解：(1)由f(x)＝x 2
＋aln(x ＋1)，可得f′(x)＝2x ＋x ＋1＝＋a x ＋1(x>－1)．
令g(x)＝2x 2
＋2x ＋a(x>－1)，则其对称轴为x ＝－12.由题意可知x 1，x 2是方程g(x)＝0
的两个均大于－1的不相等的实数根，其充要条件为⎩
⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a>0，g （－1）＝a>0，解得0<a<1
2.
(2)由a ＝38可知x 1＝－34，x 2＝－14，从而易知函数y ＝f(x)在⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－34上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞上单调递增． ①由y ＝f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－34上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋38·ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋1＝916－34
ln
2>
－14，以及f ⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋1e 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1e 42＋38·ln 1e 4＝－12－2e 4＋1e 8<－14，故方程f(x)＝－14在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－34有且只有一个实根；
②由于y ＝f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞上单调递增，因此f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞上的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－142
＋38·ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14＋1＝116＋38ln 34>－14
，故方程f(x)＝－14在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，＋∞上没有实数根． 综上可知，方程f(x)＝－1
4
有且只有一个实数根．
14．解：(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.
设直线y ＝kx ＋1与g(x)＝ln x 的图像在P(x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k
＝g′(x 0)＝1
x 0
，
解得x 0＝e 2
，k ＝1e
2.
(2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2
的公共点个数等于曲线y ＝e x x
2与直线y ＝m 的公共点个数．
令φ(x)＝e x x 2，则φ′(x)＝e x （x －2）
x
3
，∴φ′(2)＝0. 当x∈(0，2)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0，2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增．
∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝e
24
.
综上所述，当x>0时，大致图像如图所示，
若0<m<e 2
4，曲线y ＝f(x)与y ＝mx 2
没有公共点；
若m ＝e 24，曲线y ＝f(x)与y ＝mx 2
有一个公共点；
若m>e 24
，曲线y ＝f(x)与y ＝mx 2
有两个公共点．
15．解：(1)F(x)＝ln(x 2
＋1)－12x 2＋12
，
F ′(x)＝2x x 2＋1－x ＝－x （x ＋1）（x －1）
x 2
＋1
. F ′(x)，F(x)的值随x 值的变化如下表：
[－
1，1]上F(x)的最小值F(x)min ＝F(0)＝1
2
.
F(x)的最大值F(x)max ＝F(1)＝F(－1)＝ln 2. 因此F(x 1)＋F(x 2)≥2F(x)min ＝1， 而F(x 3)≤F(x)max ＝ln 2， 故F(x 1)＋F(x 2)>F(x 3)．
(2)由题意可知y ＝ln(x 2
＋1)－a 与y ＝12x 2－12
＋b 的图像恰有四个交点．
由ln(x 2
＋1)－a ＝12x 2－12＋b ，
则a ＋b ＝ln(x 2
＋1)－12x 2＋12.
令F(x)＝ln(x 2
＋1)－12x 2＋12
，
由(1)可知F(x)极小值＝F(0)＝1
2
，F(x)极大值＝F(1)＝ln 2.又F(4)＝F(－4)<0<F(0)，所以F(x)
的大致图像如图所示，要使y ＝a ＋b 与y ＝F(x)恰有四个交点，则1
2
<a ＋b<ln 2.
由⎩⎪⎨⎪⎧1
2<a ＋b<ln 2，a>0，
b>0，
得到(b ，a)的可行域为如图(2)所示的阴影部分． 又a ＋1b ＋1可视为点P(－1，－1)与可行域内的点连线的斜率， 故11＋ln 2<a ＋1b ＋1
<1＋
ln 2. (1)
(2)。