第十七讲 长方形和正方形2--四年级数学思维拓展 教师版

第17讲长方形和正方形2
方形和正方形，从而用相关的公式进行计算。

这一讲将继续讨论一些更为复杂的图形的解题技巧。

例1 有一块长方形的土地，长是宽的2倍，中间有一座雕塑，雕塑的底面是一个正方形，周围是草坪(如右图),草坪的面积是多少平方米(单位：米)? 解 20×(20÷2)-1×1=20×10-1×1=200-1
=199(平方米)
答：草坪的面积是199平方米。

【思路点拨】草坪的面积就是长方形土地的面积减去正方形雕塑的底面积。

求长方形的面积要知道长和宽，现在已知长是20米，是宽的2倍，可以先求出宽，再求出长方形土地的面积。

像这样的图形的面积可以用减法，它们的面积差就是我们要求的空白部分的面积。

例2 如右图，是由6个相同的等腰直角三角形拼成的图形，求这个图形的面积(单位：分米)。

解 4×4÷4×6=16÷4×6=4×6=24(平方分米)
答：这个图形的面积是24平方分米。

【思路点拨】 这个图形既不是长方形，也不是正方形，像这样不规则的图形，一般是把它分解成我们学过的图形来思考和计算。

中间的正方形是由4个相同的三角形组成的，所以每个三角形的面积就只要用正方形的面积除以4即可。

中间的正方形的面积是4×4=16(平方分米);那 么一个三角形的面积就是16÷4=4(平方分米)。

由于图形是由6个相同的三角形拼成的，所以可以用一个三角形的面积乘6求出来。

例3 如右图，已知大正方形的边长比小正方形多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘米。

求：大正方形和小正方形的面积各是多少
?
解 (1)小正方形的边长：
(96-4×4)÷2÷4=8O÷2÷4=10(厘米)
(2)小正方形的面积是：
10×10=100(平方厘米)
(3)大正方形的面积是：
(10+4)×(10+4)=14×14=196(平方厘米)或
100+96=196(平方厘米)
答：小正方形的面积是100平方厘米，大正方形的面积是196平方厘米。

【思路点拨】已知大正方形的边长比小正方形的边长多4厘米，并且面积多96平方厘米。

应该从这里入手来解决问题。

如左下图，96平方厘米是由a 、b 、c 三部分组成的。

a 和c 的面积是相等的，b 是一个正方形，b 图形是一个边长为4厘米的正方形，它的面积就是16平方厘米，这三个图形的面积总和是96平方厘米，这样就可以知道 a 和c 图形的面积总和是96-16=80(平方厘米)。

a 和c 这两个长方形的面积和是80平方厘米，每个长方形的面积就是40平方厘米，而每个长方形的宽是4厘米，这样每个长方形的长就可以求出来了。

这个长方形的长就是小正方形的边长，大正方形的边长也就很容易知道了。

例4 如下图，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是15厘米，长方形的四个顶点，恰好分别把正方形四条边都分成两段，其中长的一段都是短的2倍。

这个长方形的面积是多少?
解 (1)小正方形的边长是：
15÷(2+1)=15÷3=5(厘米)
(2)大正方形的边长是：
15-5=10(厘米)
(3)长方形的面积是：
15×15-5×5-10×10=225-25-100=100(平方厘米)
答：这个长方形的面积是100平方厘米。

【思路点拨】用正方形的面积减去四个三角形的面积就可以求出长方形的面积。

我们可以使用移动、合并的方法把两个大三角形拼成一个大正方形，把两个小三角形拼成一个小正方形。

根据“长的一段是短的2倍”,可以求出每个拼成的正方形的边长。

把原来的正方形的边长分成三份，较小的正方形的边长就是15÷(2+1)=5(厘米),较大的正方形的边长就是15-5=10(厘米)。

例5 一张边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少张长4厘米，宽1厘米的纸条?请画图说明。

解 7×7=49(平方厘米)
4×1=4(平方厘米)
49÷4=12(个)……1(平方厘米)
(裁法如右图所示，阴影部分无法利用)
答：最多能裁出12张长4厘米，宽1厘米的纸条。

【思路点拨】可以先求出正方形纸片的面积，再求出每张纸条的面积。

正方形纸片的面积中包含多少个小长方形纸条的面积，小纸条的面积和不可能比正方形的面积大，经过计算就可以知道正方形纸片中最多有几张小纸条。

有时候包含的个数不是整数该怎么办?通常遇到这类问题还要画示意图，因为有时候计算出来的结果和实际的结果之间存在一些差异。

1.用48厘米长的一根铁丝围成一个正方形，它的面积是多少?如果用这根铁丝围成一个长15厘米的长方形，它的面积是多少?
【答案】144平方厘米，135平方厘米 2.有一个长方形的市民广场，长100米，宽80米。

广场中间留了宽4米的人行80道，把广场平均分成四块(如右图),每一块的面积是多少?
同步精练
【答案】1824平方米
3.右图是由12个相同的等腰直角三角形拼成的，这个图形的面积是多少(单位：厘米)?
【答案】24平方厘米
4.如图，已知大正方形的面积比小正方形的面积多52平方分米，大正方形的边长比小正方形多2分米。

小正方形和大正方形的面积各是多少?
【答案】144平方分米，196平方分米
5.上图是由9个小长方形组成的，按图中编号，第1、2、3、4、5号的面积分别是1平方米、2平方米、3平方米、4平方米、5平方米。

那么,第6号长方形的面积是多少呢?
【答案】7.5平方米
6.把一块长6分米，宽5分米的长方形钢板，截成长3分米，宽2分米的小长方形钢板，最多能截成几块?请画图说明。

【答案】6.5块，截法如右图
7.如图，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边长是20分米，长方形的四个顶点恰好把正方形四条边都分成两段，其中长的一段都是短的4倍。

阴影部分的面积是多少?
【答案】272平方分米
8.求下图中阴影部分的面积(单位：米)。

【答案】28平方米
1.用36厘米长的一根铁丝围成一个正方形，它的面积是多少?用这根铁丝围成一个长15厘米的长方形，它的面积是多少?
【答案】正方形的面积是81平方厘米；长方形的面积是45平方厘米。

提示：铁丝的长度就是正方形的周长，已知周长是36厘米，那么边长就是36÷4=9(厘米),正方形的面积为9×9=81(平方厘米)。

已知周长是36厘米，长是15 厘米，那么宽为36÷2-15=3(厘米),长方形的面积为15×3=45(平方厘米)。

2.右面是由6个相等的三角形拼成的图形，求这个图形的面积。

【答案】这个图形的面积是24平方分米。

提示：把这个图形分成三部分，中间一个正方形，是由4个三角形组成，左、右各有1个三角形。

中间正方形的边长为4分米，面积是4×4=16(平方分米);因为中间是由4个相等的三角形组成的，所以每个三角形的面积是16÷4=4(平方分米);原来的图形是由6个相等的三角形拼成的，面积是4×6=24(平方分米)。

3. 花园小学有一个长方形的操场，长24米，宽10米。

操场中间留了宽2米的绿化带，把操
场平均分成四块(如图),每一块的面积是多少
?
课后作业
【答案】每一块的面积为44平方米。

提示：已知这块操场的长和宽，就能求出这块操场的总面积(大长方形),再减去绿化带的面积，就等于四小块操场的面积；也可以直接求出每小块操场的长和宽，从而求出每一小块操场的面积。

方法一。

小操场的宽为(10-2)÷2=4(米);小操场的长为(24-2)÷2=11 (米);小操场的面积为11×4=44(平方米)。

方法二。

用大操场面积减绿化带面积。

在计算绿化带的时候，要注意中间有一个重合部分，不要重复计算。

2×24+2×10-2×2=64(平方米);24×10-64=176(平方米);176÷4=44(平方米)。

方法三。

可以用平移的办法(面积不变),将绿化带平行移动集中到操场的边沿，这样可以先求出四个小长方形组成的大长方形的面积，再除以4求出其中一个小长方形面积。

(24-2)x(10-2)÷4=22×8÷4=44(平方米)。

4. 在一个正方形的小花园周围，环绕着宽5米的小水池，水池面积为300平方米，小花园的面积是多少平方米?
【答案】小花园的面积为100平方米。

提示：要想求出小花园的面积，必须知道小正方形的边长或大正方形的面积，因此解题的关键就在于根据水池的面积求出小正方形边长或大正方形的面积(或边长)。

方法一。

水池中的四个角上小正方形面积的和为：5×5×4=100(平方米),因此水池中的四个长方形面积的和为：300-100=200(平方米)。

一个长方形的面积为：200÷4=50(平方米)。

长方形的长即小花园的边长，50÷5=10(米),小花园的面积是：10x10=100 (平方米)。

方法二。

将小花园四周的水池按照下面的方式切割成为四个面积一样的小长方形，长方形的宽是5米，长等于小花园的边长加5米。

一个长方形的面积是：300÷4=75(平方米)。

小长方形的长为：75÷5=15(米);
小花园的边长为：15-5=10(米);
小花园的面积是：10x10=100(平方米)。

5.一个正方形，如果边长增加2厘米，它的面积增加16平方厘米，求原来正方形的面积。

【答案】原来正方形的面积为9平方厘米。

提示：增加的部分可以看作三个部分，如右图。

阴影部分也是一个小正方形，它的面积是2×2=4(平方厘米)。

16-4=12(平方厘米),就是两个面积一样的长方形的面积，每个长方形的面积就是12÷2=6(平方厘米),长方形的宽是2厘米，6÷2=3(厘米)就是长方形的长。

所以，原来正方形的边长就是3厘米，面积就是3×3=9(平方厘米)。

6. 如图，大正方形的边长比小正方形的边长多3厘米，大正方形的面积比小正方形多39平方厘米。

大正方形和小正方形的面积各是多少?
【答案】小正方形面积为25平方厘米，大正方形面积为64平方厘米。

提示：如图，把大正方形面积比小正方形面积多的39平方厘米分为a、b、c三个部分，其中b是正方形，面积是3×3=9(平方厘米),a和c面积相等，它们的面积和为39-9=30(平方厘米),所以a和c的面积各是30÷2=15 (平方厘米)。

因为大正方形的边长比小正方形的边长多3厘米，所以长方形a的宽为3厘米，长为15÷3=5(厘米),也就是小正方形的边长为5厘米，大正方形的边长为5+3=8(厘米)。

小正方形的面积：5×5=25(平方厘米)。

大正方形的面积：(5+3)x(5+3)=8×8=64(平方厘米)。

7.如图，两个正方形的边长都是6厘米，重叠部分是一个边长为3厘米的小正方形。

求图中阴影部分的面积。

【答案】阴影部分的面积是54平方厘米。

提示：根据正方形的边长是6厘米，可以先求出正方形的面积为6x6=36(平方厘米),重叠部分(即空白部分)的面积为3×3=9(平方厘米)。

阴影部分的面积为(36-9)×2=54(平方厘米)。

8. 如图，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是20厘米，长方形的四个角的顶点，恰好分别把正方形四条边都分成两段，其中长的一段是短的3倍，这个长方形的面积是多少?
【答案】长方形的面积是150平方厘米。

提示：直接求长方形的面积很难，可以换个角度去思考，用正方形的面积减去四个小三角形的面积就等于长方形的面积。

仔细观察，发现两个大三角形通过移动、合并，可以拼成一个正方形，同样的道理，两个小三角形也可以拼成一个正方形，这样只要求出两个拼成的正方形的面积就可以求出长方形的面积了。

根据“长的一段是短的一段的3倍”,可以知道小正方形的边长是 20÷(3+1)=20÷4=5(厘米),大正方形的边长是20-5=15(厘米)。

长方形的面积是：20×20-15×15-5×5=400-225-25=150(平方厘米)。

9.右图是由9个小长方形组成的，按图中编号，第1,2,3,4,5号的面积分别是1平方米，2平方米，3平方米，4平方米，5平方米，那么,第6号长方形的面积是多少呢?
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【答案】 6号图形的面积是7.5平方厘米。

提示：2号图形的面积是1号图形面积的2倍，2号图形和1号图形有共同边，那么2号图形的另外一条边的长度就是1号图形的2倍；3号图形面积是1号图形面积的3倍，它们的宽相等，所以3号图形的长是1号图形的3倍；由此可知，3号。

和6号之间的这个长方形的面积就是1号图形的6倍，也就是6平方厘米。

5号图形的面积是4号图形面积的1.25倍，所以5号图形的长是4号图形长的1.25 倍，因为6号图形和它上面的长方形有一条边是相同的，6号图形的另外一条边的长度也是上面的图形的1.25倍，所以6号图形面积就是它的1.25倍，也就是6×1.25=7.5(平方厘米)。

10.把一块长6分米、宽5分米的长方形钢板，截成长3分米、宽2分米的小长方形钢板，最多能截成几块?请画图说明。

【答案】可以截成5块，截法如右图。

提示：在截取过程中不仅要考虑到长和宽是分别截取图形的几倍，更要考虑实际操作时的利用值。