高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第6节 双曲线

A.1
√
B.17
C.1或17
D.8

解析:(2)对于 - =1 ,a2=16,b2=20,

所以c2=a2+b2=36,a=4,c=6,
又|PF1|=9<a+c,所以点P在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,
所以|PF2|=17,故选B.
)
考点二
双曲线的标准方程



| | +| | -
cos∠F1PF2=
| || |
= ,
整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①
根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,
则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②
解析:(1)由题意,双曲线 C1 的焦距 2c=4 ,又 C1 过点(3,1),

若 C1 的焦点在 x 轴上,设双曲线 C1 的方程为 -=1(a>0,b>0),

将点(3,1)代入 - =1(a>0,b>0),


得 - =1,①


2
2
2
又 a +b =c =8,②
)
解析:(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),

= - ,
+ = ,
则
解得

+ = ,
= ,

故双曲线的标准方程为 - =1.故选 B.

考点三
双曲线的简单几何性质
角度一
渐近线

[例4] 已知双曲线 C: -=1 (a>0,b>0)的一个焦点与虚轴的两个
端点构成等边三角形,则C的渐近线方程为(


A.y=± x
B.y=± x
C.y=± x
D.y=± x

√

)

解析:由已知及双曲线的对称性可得 tan 30°= ,所以 c= b.
所以 a=
- =

b,所以= ,

所以 C 的渐近线方程为 y=± x=± x.故选 C.
所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
故选B.
求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
寻找几何关系列出动点满足的关系式,结合是否满足双曲线的定义,
得出相应的方程.求解时要注意判断所求轨迹对应的是双曲线的一支
还是两支,同时要注意与椭圆定义的区别.
角度二
双曲线的焦点三角形
[例2] 双曲线
(1)(角度一)与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在
(
)
A.一个椭圆上
B.一个圆上
C.一条直线上
√
D.双曲线的一支上
解析:(1)由x2+y2-8x+12=0,
得(x-4)2+y2=4,
画出圆O:x2+y2=1与圆M:(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,
因为圆P与圆O和圆M都外切,
所以|PM|=r+2,|PO|=r+1,
则|PM|-|PO|=1<4,所以根据双曲线定义知点P在以O,M为焦点的双
曲线的左支上.
故选D.
(2)(角度二)(2024·福建福州模拟)设P是双曲线

=1
上一点,

F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于(


y=± x
y=± x


e=


,e∈(1,+∞)
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;
实虚轴 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系
c 2=
a2+b2
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为 y=±x ,
又 a2+b2=c2=8,④
联立③④两式得 a =9- ,b = -1,所以双曲线 C1 的标准方程为
2
2

综上所述,双曲线 C1 的标准方程为 - =1 或



-
-

=1.故选 C.
-

-
-

=1.
-
(2)在平面直角坐标系中,双曲线C过点P(1,1),且其两条渐近线的
线上,若|PF1|≥a+c,则点P可在双曲线的两支上,若|PF1|<a+c,则点
P只在双曲线的左支上.
(2) 在 “ 焦 点 三 角 形 ” 中 , 常 利 用 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 , 结 合
||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1||PF2|的联系.
[针对训练]
则点P的轨迹是(
A.椭圆
√
C.抛物线
D.圆
)
B.双曲线
解析:如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,
又O为F1F2的中点,
所以|MF2|=2|ON|=2.
因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,
由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,
所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,

2

2
联立①②两式得 a =6,b =2,所以双曲线 C1 的标准方程为 - =1.

若 C1 的焦点在 y 轴上,设双曲线 C1 的方程为 - =1(a>0,b>0),




将点(3,1)代入 -=1(a>0,b>0),得 -=1,③


过点 (- , ),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为
2

x - =1


.
解析:因为离心率 e= =2,则 c=2a,b= - = a,则双曲线 C 的方程为







-=1,将点(- , )代入双曲线 C 的方程,可得 -= =1,解得





所以 e= =
=
+

=
+

= .故选 C.

4.双曲线2y2-x2=1的渐近线方程是(

A.y=±x

C.y=± x
√

B.y=±2x
D.y=± x
解析:令2y2-x2=0得

y=± x .故选C.
)

5.(选择性必修第一册P127 T6改编)已知双曲线 C: - =1 (a>0,b>0)
[课程准要求]
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何
性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简
单应用.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.双曲线的定义
一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常
数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个 定点 叫做双曲线的


-=1 (a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 -=λ
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.
( ×)
(2)方程

(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
=1

2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形




- =1 (a>0,b>0)

- =1(a>0,b>0)

范围
对称性
性质
顶点
渐近线
离心率
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称轴: 坐标轴 ;对称中心: 原点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
离心率为 e= .
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为虚半轴长b.
2.若P是双曲线右支上一点,F 1 ,F 2 分别为双曲线的左、右焦点,
则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长

为
.

4.与双曲线
(λ≠0).


=1
的两焦点为F
,F
,点P在双曲线上,直线PF
,
1
2
1


PF2的倾斜角之差为 , 则△PF1F2的面积为(
A.16
B.32
C.32
D.42
√
)

解析:根据 F1,F2 为双曲线 -=1 的两焦点可得|F1F2|=2 + =10,


又直线 PF1,PF2 的倾斜角之差为,所以∠F1PF2=,根据余弦定理可得
焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 .其数学表达式 :集合
P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|,|F1F2|=2c, 其 中 a,c 为 常 数 ,
且c>a>0}.
若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>2c,则轨迹不存
在;若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
方程分别为2x+y=0和2x-y=0,则双曲线C的标准方程为(

A. -

=1

B.
√
- =1

C.

- =1 或 -

D.


- =1

=1
)
解析:(2)设双曲线方程为4x2-y2=λ(λ≠0),又其过点P(1,1),
所以λ=4×12-12=3,所以方程为4x2-y2=3,即


求双曲线 -=1(a>0,b>0)的渐近线








令 - =0,即得两渐近线方程 ± =0(y=± x).

角度二
离心率

[例5] (2024·山东烟台调研)已知F1,F2分别是双曲线 C: -=1
(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,
①-②得,|PF1||PF2|=64,则△PF1F2的面积为





△ = |PF1||PF2|sin∠F1PF2= ×64× =16 .故选 A.

(1)涉及双曲线上的点到焦点的距离问题的易错点:
若F1,F2分别是双曲线


-=1 (a>0,b>0)的左、右焦点,点P在双曲
故选B.


- =1 .
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,
从而求出a2,b2.
(2)待定系数法:求双曲线的标准方程时,先确定焦点在x轴还是y轴
上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,
如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为
或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.


-=λ(λ≠0)
[针对训练]
(1)过点(2,1)的等轴双曲线的标准方程为(


A. - =1
B. - =1


√
C. - =1
D. - =1
)
解析:(1)设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),
A.(5,+∞)
B.(4,+∞)
C.(4,5)
D.(-∞,4)∪(5,+∞)
解析:方程
m<4.
故选D.
)
√

-

- -
=1 表示双曲线,则(m-5)(2m-8)>0,解得m>5或
3.双曲线

A.


的离心率为(
=1

B.

C.


D.
√

)

解析:由题意得a2=16,b2=9,
(3)双曲线
(4)双曲线




- =1 与 - =1 (a>0,b>0)的渐近线相同.( × )






- =1 与 - =1(a>0,b>0)的形状相同,离心率相同.( √ )




2.若方程 ---=1 表示双曲线,则实数m的取值范围为(
a=1,故 b= ,因此双曲线 C 的方程为 x - =1.
2

提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
双曲线的定义及应用
角度一
根据定义判断曲线的形状
[例1] 已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,
点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,
2
[例3] (1)若双曲线C1与双曲线 C2: -y =1 有相同的焦距,且C1过点
(3,1),则双曲线C1的标准方程为(

A. - =1

B.
C. - =1 或
√

-
-

=1
-
)

-
-


=1
-
2

D. - =1 或 y - =1
代入点(2,1),得λ=3,故所求双曲线的方程为x2-y2=3,其标准方程

为 - =1 .


故选A.
(2)经过点P (-3,2 )和 Q(-6 ,-7) 的双曲线的标准方程是(

A.-=1

C.-=1

B.-=1
√

D.-=1