2018-2019学年河北省邢台市高一下学期第三次月考数学试题Word版含解析

2018-2019学年河北省邢台市高一下学期第三次月考数学试
题
一、单选题
1．过点(1,2)-，且斜率为2的直线方程是（ ） A ．240x y -+= B ．20x y += C ．250x y -+= D ．230x y +-=
【答案】A
【解析】由直线的点斜式计算出直线方程 【详解】
因为直线过点(1,2)-，且斜率为2，所以该直线方程为22(1)y x -=+，即
240x y -+=.故选A
【点睛】
本题考查了求直线方程，由题意已知点坐标和斜率，故选用点斜式即可求出答案，较为简单
2．不等式23760x x --≥的解集为（ ） A ．23,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．2(,3],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
C ．2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．2,[3,)3
⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝
⎦
【答案】D
【解析】运用一元二次不等式的解法来求解，可以先因式分解，结合图像来求解集 【详解】
不等式23760x x --≥可以因式分解为(3)(32)0x x -+≥，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为
[)2,3,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦
，故选D 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，较为简单
3．已知(1,4)A ，(3,2)B -，直线:20l ax y ++=，若直线l 过线段AB 的中点，则a =（ ） A ．-5 B ．5 C ．-4 D ．4
【答案】B
【解析】根据题意先求出线段AB 的中点，然后代入直线方程求出a 的值 【详解】
因为(1,4)A ，(3,2)B -，所以线段AB 的中点为(1,3)-，因为直线l 过线段AB 的中点，所以320a -++=，解得5a =.故选B 【点睛】
本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单
4．在ABC ∆
中，若sin :sin :sin A B C =，则B =（ ） A ．30 B ．60 C ．
120 D ．
150
【答案】C
【解析】运用正弦定理结合题意得到三边的数量关系，再运用余弦定理求出结果 【详解】
因为sin :sin :sin A B C =
，所以::a b c =.设a x =
，则b =，
c x =
，由余弦定理可得2222222
)1cos 222
a c
b x x B a
c x +-+-===-，故120B =.故选C 【点睛】
本题考查了运用正弦定理、余弦定理求解角度问题，熟练掌握公式并运用公式求解是解题关键，较为基础
5．设,x y 满足约束条件32110
4150250x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则z x y =+的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．10
【答案】B
【解析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解 【详解】
如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】
本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法
6．若直线:40l x y -+=被圆222(1)(3):C x y r -+-=截得的弦长为4，则圆C 的半径为（ ）
A B ．2
C
D ．6
【答案】C
【解析】先求出圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求出半径 【详解】
由题意可得，圆C 的圆心到直线l 的距离为
d =
=，则圆C 的半径为
=.故选C
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，结合弦长公式求出圆的半径，较为基础
7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若tan :tan :A B a b =，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形
【答案】A
【解析】结合已知条件及正弦定理进行化简，求出三角形的形状 【详解】
因为tan :tan :A B a b =，所以tan tan b A a B =，所以
sin sin sin sin cos cos B A A B
A B
=，因
为0A π<<，0B π<<，所以sin 0A ≠，sin 0B ≠，所以cos cos A B =，即A B =，故ABC ∆是等腰三角形.故选A 【点睛】
本题考查了运用正弦定理求解三角形形状，在运用正弦定理时注意边角之间的互化，需要掌握解题方法
8．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，7457S S a -=，则4a =（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32
【答案】B
【解析】结合已知条件和等比数列的性质运用先求出公比q ，然后求出结果 【详解】
因为7457S S a -=，所以76557a a a a ++=，所以5552
60a q a q a +-=，即260q q +-=，解得2q =（3q =-舍去），则3
418a a q ==.故选B
【点睛】
本题考查了等比数列的性质运用，结合已知条件即可求出结果，较为基础 9．直线l ：20ax y +-=与圆22:2440M x y x y +--+=的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定
【答案】C
【解析】求出圆的圆心坐标和半径，然后运用点到直线距离求出d 的值和半径进行比较，判定出直线与圆的关系 【详解】
因为圆2
2
:2440M x y x y +--+=，所以圆心(1,2)M ，半径1r =，所以圆心M 到直线l 的距离为
1d =
<=，则直线l 与圆M 相交.故选C
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式求出d 和半径比较，得到直线与圆的位置关系
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150a >，且14150a a +<，则满足0n S >的最小正整数n 的值为（ ） A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
【解析】由已知条件先计算出d 的取值范围，然后运用等差数列的求和公式求出最小值 【详解】
因为14150a a +<，所以()()1282814152814
02
a a S a a +⨯=
=+<，因为14150a a +<，
150a >，所以数列{}n a 的公差0d >，所以14160a a +>，所以
()()129141629292902
2
a a a a S +⨯+=
=>，故要使0n
S
>，29n ≥.故选C
【点睛】
本题考查了数列的基础性质运用，在求解时要结合题意先求出d 的取值范围，然后求出结果，需要掌握解题方法
11．某船在小岛A 的南偏东75，相距20千米的B 处，该船沿东北方向行驶20千米到达C 处，则此时该船与小岛A 之间的距离为（ ）
A ．千米
B ．千米
C ．20千米
D ．
【答案】D
【解析】结合题意运用余弦定理求出结果 【详解】
由题意可得，在ABC ∆中，20AB BC ==，120ABC ︒∠=，则
AC ==
=故选D
【点睛】
本题考查了运用余弦定理求解实际问题，首先要读懂题目意思，将其转化为解三角形问题，然后运用公式求解
12．已知点(, 6)A m m +，(2, 8)B m m ++，若圆22:44100C x y x y +---=上存在不同的两点,P Q ，使得PA PB ⊥，且QA QB ⊥，则m 的取值范围是（ ）
A ．(22--
B ．(
C ．(22--+
D ．(
【解析】结合题意将其转化为圆和圆的位置关系，两圆相交，计算出圆心距，然后求出结果 【详解】
依题意可得，以AB 为直径的圆2
2
(1)(7)2x m y m --+--=与圆
22
(2)(2:)18C x y -+-=相交，则圆心距d =，
解得22m --<<-+故选A 【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系，在解答过程中要先读懂题目的意思，将其转化为圆与圆的位置关系，本题还需要一定的计算量，属于中档题
二、填空题
13．已知直线1:3210l x y -+=与2:3220l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离为___．
【答案】
13
【解析】题目中的两条直线为平行线，运用公式进行求解 【详解】
因为直线1l ：3210x y -+=与2l ：3220x y --=平行，
所以
1l 与2l 之间的距离为13
d ==
. 【点睛】
本题考查了两条平行线之间的距离，直接运用公式求出结果即可，较为简单 14．已知0xy >，则9x y y x
+的最小值为_______． 【答案】6
【解析】运用基本不等式求出结果 【详解】
因为0xy >，所以0x y >，90y x >，所以96x y y x +≥=，所以最小值为6 【点睛】
本题考查了基本不等式的运用求最小值，需要满足一正二定三相等
15．若圆221:(1)(1)4C x y +++=与圆22
2:(2)(3)C x y m -+-=相切，则m =____．
【答案】9或49
【解析】由题意两圆相切，可知两圆内切或者外切，则计算出圆心距，求出m 的值 【详解】
因为圆221:(1)(1)4C x y +++=与圆22
2:(2)(3)C x y m -+-=
，所以圆心距
5d ==，因为圆1C 与圆2C 相切，
所以2d =
或2d =，所以9m =或49m =. 【点睛】
本题考查了已知圆的位置关系求参量的值，注意两圆相切分为内切和外切，求出两个结果
16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=
，
PA =，则直线PC 与平面PAB 所成的角为_____．
【答案】30（或
6
π
） 【解析】结合题意先构造出线面角，然后根据边的数量关系求出线面角的大小 【详解】
作CH AB ⊥，垂足为H .因为PA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，所以PA CH ⊥.因为CH AB ⊥，AB PA A ⋂=，所以CH ⊥平面PAB ，则直线PC 与平面PAB 所成的角为CPH ∠.因为60ABC ︒∠=，四边形ABCD
是菱形，所以2
CH CD =
，因
为PA =
，所以PC ==.在CPH ∆中，CH PH ⊥
，则
1sin 2
CH CPH PC ∠===，故直线PC 与平面PAB 所成的角为30. 【点睛】
本题考查了求线面角的大小，需要先根据题意构造出线面角，然后再计算，构造线面角是关键
三、解答题
17．已知直线1l ：210x my ++=与2l ：4(1)20mx m y +++=.
（1）若12l l ⊥，求m 的值； （2）若12l l ∥，求m 的值.
【答案】（1）0m =或9m =-.（2）1
2
m =-
【解析】（1）由两直线垂直，代入公式12120A A B B +=求出m 的值 （2）由两直线平行，代入公式12210A B A B -=且两直线不重合求出m 的值 【详解】
解：（1）因为12l l ⊥，所以24(1)0m m m ⨯++=， 解得0m =或9m =-.
（2）因为12l l ∥，所以22(1)402(1)0
m m m m ⎧+-=⎨-+≠⎩，
解得12
m =-. 【点睛】
本题考查了由两直线的位置关系求出参量的值，代入公式即可求出结果，较为基础 18．在数列{}n a 中，11a =，
121(2)1
n n a a n n n -=+≥-，设1n n a b n =+.
（1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.
【答案】（1）见证明；（2）2n
n a n n =⋅-
【解析】（1）结合已知条件，运用等比数列的定义进行证明 （2）先求出数列{}n b 的通项公式，然后再求出数列{}n a 的通项公式 【详解】
（1）证明：因为1n
n a b n =
+，所以1111
n n a b n --=+-， 所以111
1
1
n
n n
n a b n a b n --+=+-， 因为1211n n a a n n -=+-，所以11
111
21221121111
n n n n n n a a b n n a a b n n -----⎛⎫⨯+⨯+ ⎪-⎝⎭-==
=++--，
故数列{}n b 是等比数列.
（2）解：由（1）可知，数列{}n b 是等比数列，首项1112b a =+=，公比2q =，
所以112n n
n b b q -==.
因为1n
n a b n =
+，所以12n n a n
+=， 则2n
n a n n =⋅-.
【点睛】
本题考查了证明数列是等比数列，求数列通项公式，结合定义即可求出结果，较为基础 19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
cos2cos22sin sin cos21B C B C A ++=+.
（1）求A ；
（2）若4a =，ABC ∆的面积为b c +. 【答案】（1）3
A π
=
（2）8
【解析】（1）运用二倍角公式和余弦定理求出角A （2）由面积公式求出bc 的值，然后求出b c +的值 【详解】
解：（1）因为cos2cos22sin sin cos21B C B C A ++=+， 所以22212sin 12sin 2sin sin 12sin 1B C B C A -+-+=-+， 即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，所以222b c a bc +-=，
则2221cos 222
b c a bc A bc bc +-===，
因为0A π<<，所以3
A π
=
.
（2）因为ABC ∆的面积为1sin 2b A ==，即16bc =， 因为222b c a bc +-=，4a =，所以2232b c +=，
所以8b c +==. 【点睛】
本题考查了二倍角公式的化简、余弦定理解三角形、面积公式，较为综合，需要熟练运用公式来解题，掌握解题方法
20．如图，已知四棱锥P ABCD -的侧棱PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD CD ⊥，AB CD ∥，24AB AD ==，6DC =，3PD =，点M 在棱PC 上，且3PC CM =.
（1）证明：BM ∥平面PAD ； （2）求三棱锥M PBD -的体积. 【答案】（1）见证明；（2）4
【解析】（1）取PD 的三等分点N ，使3P D D N =，证四边形ABMN 为平行四边形，运用线面平行判定定理证明
（2）三棱锥M PBD -的体积可以用P BCD M BCD V V ---求出结果 【详解】
（1）证明：取PD 的三等分点N ，使3PD DN =，连接AN ，MN . 因为3PC CM =，3PD DN =，所以MN DC ∥，2
43
MN DC ==. 因为AB CD ∥，4AB =，所以AB MN ∥，AB MN =， 所以四边形ABMN 为平行四边形，所以BM
AN ，
因为AN ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ，所以BM ∥平面PAD . （2）解：因为24AD =，6DC =，所以BCD ∆的面积为
11
62622
DC AD ⋅=⨯⨯=，
因为PD ⊥底面ABCD ，所以三棱锥P BCD -的高为3PD =， 所以三棱锥P BCD -的体积为1
6363
V =
⨯⨯=. 因为3PC CM =，所以三棱锥M BCD -的高为1
13
h PD ==， 所以三棱锥M BCD -的体积为11
6123
V =
⨯⨯=， 故三棱锥M PBD -的体积为1624V V -=-=.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理、三棱锥体积的计算，在证明线面平行时需要构造平行四边形来证明，三棱锥的体积计算可以选用割、补等方法
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122
n S n n =+，在等比数列{}n b 中，11b a =，48b a =.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
【答案】（1）n a n =；12n n b -=（2）(1)21n n T n =-+
【解析】（1）由已知条件计算1(2)n n n a S S n n -=-=≥，然后验证当1n =时也是成立，求出通项公式
（2）运用错位相减法求出前n 项和n T
【详解】
解：（1）因为21122n S n n =+，所以2111(1)(1)(2)22
n S n n n -=-+-≥， 所以1(2)n n n a S S n n -=-=≥.
当1n =时，1111122
a S ==+=满足上式，所以n a n =. 因为111
b a ==，488b a ==，所以3881q =
=，即2q =， 所以12n n b -=.
（2）由（1）可得12n n n a b n -=⋅，
则0112222n n T n -=⨯+⨯++⋅，①
2121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+
+-⋅+⋅，② 由①-②，得012222n n n T n --=++⋯+-⋅.
故122(1)2112n
n
n n T n n -=⋅-=-+-. 【点睛】
本题考查了求数列的通项公式，运用1(2)n n n a S S n -=-≥，需验证当1n =时是否成立，
在遇到形如通项12n n n a b n -=⋅时可以采用错位相减法求和
22．已知圆222()():M x a y a r ++-=的圆心M 在直线y x =上，且直线34150x y +-=与圆M 相切.
（1）求圆M 的方程；
（2）设圆M 与x 轴交于,A B 两点，点P 在圆M 内，且2
||||||PM PA PB =⋅.记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的取值范围.
【答案】（1）22
9x y +=（2）(1,0]-
【解析】（1）先求出圆心坐标，由直线与圆相切求出半径，求得圆的方程
（2）设(,)P x y ，结合已知条件求出2||||||PM PA PB =⋅即22229x y -=，然后表示出12k k 的表达式，求出取值范围
【详解】
解：（1）因为圆M 的圆心(,)M a a -在直线y x =上，所以a a -=，即0a =， 因为直线34150x y +-=与圆M 相切，所以
3r =
=， 故圆M 的方程为229x y +=.
（2）由（1）知，圆心(0,0)M ，(3,0)A -，(3,0)B .
设(,)P x y ，因为点P 在圆M 内，所以229x y +<.
因为2||||||PM PA PB =⋅，所以22x y +=，
所以22229x y -=.
因为直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，所以13y k x =+，23
y k x =-， 则221222229919218218
y x k k x x x -===+---.
因为22222299
x y x y ⎧-=⎨+<⎩，所以292724x ≤<， 所以221192189x -<≤--，则29110218
x -<+≤-. 故12k k 的取值范围为(1,0]-.
【点睛】
本题考查了求圆的标准方程、斜率乘积的取值范围，求解过程中运用了点到直线的距离公式，需要一定的计算量。