变与不变--加减乘除的巧算

变与不变——加减乘除的巧算
计算教学是支撑小学数学的最基本框架，占据着小学数学一半以上的教学时间。

而“简便计算”更是小学数学教学中的一部“重头戏”，它被视作对学生进行思维训练的一种重要手段，其中加、减、乘、除的一些运算定律在数学中具有重要的地位与作用，被誉为“数学大厦的基石”。

同学们已经掌握了口算、笔算的基本方法，有时根据题目里的几个数的特点，采用一些简便、快速的方法就算，不仅可以节省时间，还可以保证计算正确，这种练习可以训练思维的灵活性，提高计算能力。

今天这节课我们来学习和研究加减乘除算式中和、差、积、商的变化规律。

加法中的巧算
几个数相加减时，为了使计算又对又快，可以把相加能凑成整百、整十的数
先算，再和其它几个数算。

如果是两个数相加减可以把接近整百、整十的数当整百、整十数算。

注意：多加了再减，少加了要补；多减了要补；少减了再减。

1.什么叫“补数”？
两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数
叫做另一个数的“补数”。

如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。

又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，
在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，也叫89的“补数”.
也就是说两个数互为“补数”。

对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

如：?87655→12345，?46802→53198，87362→12638，
利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。

2.互补数先加。

3.拆出补数来先加。

例1巧算下面各题：例2 ①188＋873
①36+87+64 =（188+12）+（873-12）
=（36＋64）＋87 ＝200+861
=100＋87 =1061
=187
减法中的巧算
1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

例 300-73-27
=300-（73＋27）
=300-100
=200
2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。

例4723-（723＋189）
=4723-723-189
=4000-189
=3811
3.利用“补数”把接近整十、整百、整千的数先变整，再运算
（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。

例3 506-397 323-189
=500＋6-400+3（把多减的3再加上） =323-200+11（把多减的11再加上）=109 =123+11
=134
加减混合式的巧算
1.去括号和添括号的法则
在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉
括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+” 变“-”，“-”变“+”，即：a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d a-（b＋c＋d）＝a-b-c-d
a－b－c = a－c－b 可以变化顺序
a－b－c = a－（b＋c）可以加起来一起减
a－（b－c）= a－b＋c 括号前是减号，去掉后变符号
a＋（b－c）= a＋b－c 括号前是减号，去掉后不变符号
带符号“搬家”
计算 325＋46-12＋54
=325-125＋46+54
=（325-125）+（46＋54）
=200+100＝300
注意：每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。

两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉。

例 9+2-9＋3
=9-9＋2+3
=5
乘除法巧算
“头同尾合十”，相乘的两个数都是两位数，且十位上的数字相同，个位上的数字之和正好是10，这就可以运用“头同尾合十”的巧算法进行简便计算。

“头同尾合十"的巧算方法是：用十位上的数字乘十位上的数字加1的积，再乘100最后加上个位上2个数字的乘积。

例 41×49
先用(4＋1)×4＝20，将20作为积的前两位数字，再用1×9＝9，可以发现末位数字相乘的积是一位数，那就在9的前面补一个0，作为积的后两位数字。

这样答案很简单的就求出了，即41×49=(4＋1)×4×100＋1×9=2009。

拆并扩整法
如果一个因数是5、25、125、625，另一个因数可拆成2n、4n、8n、16n的形式这样可先拆分再合并最后扩整。

72×125×3＝8×9×125×3＝（8×125）×（9×3)
例题 1、125×48= 25×32×125=
提公因数法（即乘法分配率的逆应用）
把相同因数提在外面将几个积的和写成几个因数相乘的形式就叫提公因数法。

125×64＋125×36 44×18＋52×18＋4×18
=125×（64＋36） =18×（44+52+4）
=125×100 =18×100
=12500 =1800
乘法运算定律
【乘法交换律】两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。

这叫“乘法的交换律”。

即ab＝ba
例如: 807×13865=13865×807=11189055
【乘法结合律】三个数相乘，先把前面两个数相乘，再与第三个数相乘；或者先把后面两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。

这叫做“乘法的结合律”。

即（a×b）×c=a×（b×c）
例如: （427×125）×8=427×（125×8）=427×1000=427000
【乘法分配律】两个数的和乘以一个数（或者一个数乘以两个数的和），等于每一个加数分别乘以这个数（或者这个数分别乘以每一个加数）所得的两个积之和。

这叫做“乘法对于加法的分配律”，简称“乘法分配律”。

即（a+b)c=ac+bc；或者是a（b+c)=ab+ac。

根据运算性质变换顺序
除法的性质：a÷b＝（a×m）÷（b×m）＝（a÷m）÷（b÷m）（m≠0，n≠0）a÷b÷c＝a÷(b×c） (a±b)÷c＝a÷c±b÷c
例如，①420÷35 ②（64×75×81）÷（32×25×27）=420÷（7×5） =（64÷32）×（75÷25）×（81÷27）=420÷7÷5 =2×3×3
=60÷5 =6×3
=12 =18
③90000÷125÷2÷5÷8 ④9÷13＋13÷9＋11÷13＋14÷9＋6÷13 =90000÷（125×8）÷（2×5） =（9+11+6）÷13+（13+14）÷9
=90000÷1000÷10 =2+3
=9 =5
积的变化规律
①如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也
扩大（或缩小）同样的倍数。

用字母表达，就是如果a×b=c，那么
（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。

175×4=（25×7）×4=[（25×7）÷25]×4×25=7×4×25=7×（4×25）=700 68×25＝68×100÷4=6800÷4=1700
②如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。

用字母表达，就是如果a×b=c，那么
（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c。

240×25=（240÷4）×（250×4）=60×1000=60000
45×14=（45×2）×（14÷2）=90×2=180
商或余数的变化规律
①如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）
同样的倍数。

用字母表达，就是如果a÷b=q，那么
（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。

例如 5400÷9=（5400÷100）÷9×100=54÷9×100=6×100=600
②如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或
扩大）同样的倍数。

用字母表达，就是如果a÷b=q，那么
a÷（b×n）=q÷n，a÷（b÷n）=q×n。

3600÷25＝3600÷（25×4）×4=3600÷100×4=36×4=144
③被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。

用字母
表达，就是如果a÷b=q，那么
（a×n）÷（b×n）=q，（a÷n）÷（b÷n）=q。

690000÷23000=（690000÷1000）÷（23000÷1000） =690÷23=30
12000÷25=（12000×4）÷（25×4）=48000÷100=480
④在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不
完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。

这一变化规律用字母表示，就是如果a÷b=q（余r），那么
（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。

例如，84÷9=9……3，而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）
(1) 1361＋972＋639＋28 （2）987-178-222-390
(3) 172+64-72+26 (4)57×53
(5）25×64×125 （6）66×36+33×36+36
（7）12÷25×100（8）31÷9＋33÷9＋35÷9
在中国古典神话小说《西游记》里，说到唐僧和他的徒弟孙悟空、猪八戒、沙和尚去西天取经，在平顶山莲花洞消灭了想吃唐僧肉的妖怪金角大王和银角大王。

然后师徒们继续赶路，又遇上一座巍峨险峻的大山。

一面赶路，一面观景，不觉天色已晚。

故事发展到这里，小说中写道：
师徒们玩着山景，信步行时，早不觉红轮西坠。

正是：
十里长亭无客走，九重天上观星辰。

八河船只皆收港，七千州县尽关门。

六宫五府回官宰，四海三江罢钓纶。

两座楼头钟鼓响，一轮明月满乾坤。

这首诗从十、九、八、七，说到六、五、四、三、两、一，星月点缀夜色，收工了，下班了，关门了，路上没人了，取经赶路的也该找个地方休息了。

为了取经，跋山涉水已经苦不堪言，降妖伏魔更是险象环生，害得猪八戒想回家，唐僧心里直打鼓。

幸好有孙悟空不断给一行人鼓劲，看看沿途深山老林幽静风光，放松放松。

小说里这首写景诗，也正是在紧张情节中夹进一点轻松花絮，稍稍缓一口
气。

诗中嵌进全部十个数字，而且从大往小，倒过来数，成为别具一格的“倒数诗”，更增加了趣味。

《西游记》是明代吴承恩著的，问世已有400多年。

按照我们现在数学里的习惯，用阿拉伯数字把诗中的各个数写出来，顺次排成一串，成为：10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ，现在做一个数学小游戏：用上面写出的十个数，不打乱顺序，添加适当的数学符号，组成十个算式，使计算结果分别等于10、9、8、7、6、5、4、3、2、1。

要组成其中任意一个算式，是很容易的。

要组成全套十个，就要动动脑筋。

如果再使组成十个算式的手法有变化，就更有趣了。

可以组成很多满足条件的算式，下面是其中的一组。

10+9－8－7+6+5－4－3+2×1=10；
（10+98+76）×5÷4÷（3+2）+1=9；
（10+9+8－7）×6÷5÷4+3－2+1=8；
（109－87）÷（6+5）+4+3－2×1=7；
（10+9+8－7－6）×5－43－21=6；
（10+9+8+7+6）÷5－4÷（3－2）+1=5；
10×9－87+65－43－21=4；
（109－8+7）÷6－54÷3+2+1=3；
（109+87－6）÷5－4－32×1=2；
（10×9－87）÷（6×54－321）=1。

练习让学生自主写出算式。

小朋友们，你们对自己这节课的学习情况满意吗？
很满意比较满意不太满意。