九年级上学期第二次月考数学试题

九年级上学期第二次月考数学试题
一、选择题
1．已知3
sin α=，则α∠的度数是（ ） A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90°
2．已知34
a b
=（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ） A ．
34a b = B ．34a b =
C ．
43
b a = D ．43a b =
3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ） A ．
45
B ．
34
C ．
43
D ．
35
4．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
45
5．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( ) A ．方差 B ．平均数
C ．众数
D ．中位数
6．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面
积为（ ）
A ．8
B ．12
C ．14
D ．16 7．已知⊙O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为4.5，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．P 在圆内 B ．P 在圆上 C ．P 在圆外 D ．无法确定 8．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出
1个球是红球的概率是（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
10．把函数2
12
y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数
()2
1112
y x =-
-+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 11．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A ．3π+
B ．3π-
C ．23π-
D ．223π-
12．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个根是x ＝1
D ．不存在实数根 13．已知△ABC ≌△DEF ，∠A =60°，∠
E =40°，则∠
F 的度数为（ ）
A ．40
B ．60
C ．80
D ．100
14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝7，D 、E 分别在边AC 、BC 上，CD ＝1，DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 旋转，旋转后点D 、E 对应的点分别为D ′、E ′，当点E ′落在线段AD ′上时，连接BE ′，此时BE ′的长为（ ）
A ．3
B ．3
C ．7
D ．7 15．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A ．x 2﹣x ﹣1＝0
B ．x 2+x +1＝0
C ．x 2+1＝0
D ．x 2+2x +1＝0
二、填空题
16．二次函数2
3(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________．
17．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是
2200.5s t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来.
18．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，
则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．
19．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____．
20．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，A 、B 、C 分别为直线l 1，l 2，l 3上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1，l 2之间的距离为m ，直线l 2，l 3之间的距离为n ，若∠ABC ＝90°，BD ＝3，且
1
2
m n =，则m ＋n 的最大值为___________．
21．如图，已知正方ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为13+，则这个正方形的边长为_____________
22．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF 的长为_____．
23．如图示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，3BC =
，点P 在Rt ABC ∆内
部，且PAB PBC ∠=∠，连接CP ，则CP 的最小值等于______.
24．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________．
25．一元二次方程x 2﹣3x+2＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝______．
26．若
a b b -＝23，则a
b
的值为________． 27．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则
1212x x x x +-•=__________．
28．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．
29．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点，AE ⊥EF ．则AF 的最小值是_____．
30．用配方法解一元二次方程2430x x +-=，配方后的方程为2
(2)x n +=，则n 的值为______.
三、解答题
31．如图，AB BC =，以BC 为直径作O ，AC 交O 于点E ，过点E 作EG AB ⊥于
点F ，交CB 的延长线于点G .
（1）求证：EG 是O 的切线；
（2）若23GF =4GB =，求O 的半径.
32．解方程
（1）x 2－6x －7＝0； （2） (2x －1)2＝9．
33．如图1，矩形OABC 的顶点A 的坐标为（4,0），O 为坐标原点，点B 在第一象限，连接AC ， tan ∠ACO=2，D 是BC 的中点， （1）求点D 的坐标；
（2）如图2，M 是线段OC 上的点，OM=
2
3
OC ，点P 是线段OM 上的一个动点，经过P 、D 、B 三点的抛物线交x 轴的正半轴于点E ，连接DE 交AB 于点F.
①将△DBF 沿DE 所在的直线翻折，若点B 恰好落在AC 上，求此时点P 的坐标； ②以线段DF 为边，在DF 所在直线的右上方作等边△DFG ，当动点P 从点O 运动到点M
时，点G 也随之运动，请直接写出点G 运动的路径的长.
34．从甲、乙两台包装机包装的质量为300g 的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g ）
甲：301，300，305，302，303，302，300，300，298，299 乙：305，302，300，300，300，300，298，299，301，305 （1）分别计算甲、乙这两个样本的平均数和方差； （2）比较这两台包装机包装质量的稳定性． 35．解方程： （1）(x +1)2﹣9＝0 （2）x 2﹣4x ﹣45＝0
四、压轴题
36．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；
(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.
37．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ． （1）如图①，
①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值；
（2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38
83
a t ==
，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．
38．如图，等边ABC 内接于O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连
接AP 、BP ，过点C 作CM
BP 交PA 的延长线于点M ．
（1）求APC ∠和BPC ∠的度数； （2）求证：ACM BCP △≌△；
（3）若1PA =，2PB =，求四边形PBCM 的面积； （4）在（3）的条件下，求AB 的长度．
39．已知，如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 为AC 的中点，Q 从点A 运动到B ，点Q 运动到点B 停止，连接PQ ，取PQ 的中点O ，连接OC ，OB ． (1)若△ABC ∽△APQ ，求BQ 的长；
(2)在整个运动过程中，点O 的运动路径长_____；
(3)以O 为圆心，OQ 长为半径作⊙O ，当⊙O 与AB 相切时，求△COB 的面积．
40．已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线
2x =．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点(,1)M m -，点A 、B 为抛物线上不重合的两点（B 在A 的左侧），且直线MA 与抛物线仅有一个公共点．
①如图1，当点M 在y 轴上时，过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ，BQ x ⊥轴于点
Q ．若APM △与BQO △ 相似， 求直线AB 的解析式；
②如图2，当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时，记A 、B 两点的横坐标分别为a 、
b ．当点M 在y 轴上时，直接写出
m a
m b
--的值为 ；当点M 不在y 轴上时，求证：m a
m b
--为一个定值，并求出这个值．
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】 解：由3
sin 2
α=，得α=60°， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解.
【详解】 解：由
34
a b
=，得出，3b=4a, A.由等式性质可得：3b=4a ，正确； B.由等式性质可得：4a=3b ，错误； C. 由等式性质可得：3b=4a ，正确； D. 由等式性质可得：4a=3b ，正确. 故答案为：B. 【点睛】
本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据勾股定理求出AB 的长，在求出∠ACD 的等角∠B ，即可得到答案. 【详解】
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3， ∴2222AB AC BC 345=+=+=, ∵CD ⊥AB, ∴∠ADC=∠C=90°, ∴∠A+∠ACD=∠A+∠B, ∴∠B=∠ACD=α, ∴4
cos 5
BC cos B AB α===. 故选：A.
【点睛】
此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.
4．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到
负数的概率是2 5 .
故选B.
考点：概率.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．【详解】
平均数，众数，中位数都是反映数字集中趋势的数量，方差是反映数据离散水平的数据，也就会说反映数据稳定程度的数据是方差
故选A
考点：方差
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=1
2
BC，再利用相似三角形的判定与性质得出
答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=1
2 BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE
BC
=
1
2
，
∴
1
4
ADE
ABC
S
S
∆
∆
=，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选D．
【点睛】
考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外.
【详解】
∵点P到圆心O的距离为4.5，⊙O的半径为4，
∴点P在圆外.
故选：C.
【点睛】
此题考查点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离d的距离与半径r的大小确定点与圆的位置关系.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
将x=2代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2，
∴22-3×2+k=0，
解得，k=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据红球的个数以及球的总个数，直接利用概率公式求解即可.
【详解】
因为共有6个球，红球有2个，
所以，取出红球的概率为
21
63 P==，
故选A.
【点睛】
本题考查了简单的概率计算，正确把握概率的计算公式是解题的关键. 10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112
y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-
的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112
y x =-
-+的图象． 故选：C ．
【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 11．D
解析：D
【解析】
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD ⊥BC ，
∴BD=CD=1，33
∴△ABC 的面积为12BC•AD=1232
⨯3 S 扇形BAC =2602360π⨯=23
π， ∴莱洛三角形的面积S=3×
23
π﹣3﹣3， 故选D ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键． 12．A
解析：A
【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．
【详解】
∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，
1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，
∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，
∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．
13．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠E=40°，∠F=∠C ，然后利用三角形内角和定理计算出∠C 的度数，进而可得答案．
【详解】
解：∵△ABC ≌△DEF ，
∴∠B=∠E=40°，∠F=∠C ，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-60°-40°=80°，
∴∠F=80°，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
14．B
解析：B
【解析】
【分析】
如图，作CH ⊥BE ′于H ，设AC 交BE ′于O ．首先证明∠CE ′B ＝∠D ′＝60°，解直角三角形求出HE ′，BH 即可解决问题．
【详解】
解：如图，作CH ⊥BE ′于H ，设AC 交BE ′于O ．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，
∵DE∥AB，
∴CD
CA
＝
CE
CB
，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60°
∴
'
CD
CA
＝
'
CE
CB
，
∵∠ACB＝∠D′CE′，
∴∠ACD′＝∠BCE′，
∴△ACD′∽△BCE′，
∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝7，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝27，BC＝3AC＝21，
∵DE∥AB，
∴CD
CA
＝
CE
CB
，
∴
7＝
21
，
∴CE＝3，
∵∠CHE′＝90°，∠CE′H＝∠CAB＝60°，CE′＝CE＝3
∴E′H＝1
2
CE′＝
3
，CH＝3HE′＝
3
2
，
∴BH＝22
BC CH
-＝
9
21
4
-＝53
∴BE′＝HE′+BH＝33，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的综合应用题，涉及了旋转的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推理求导．
15．A
解析：A
【解析】
【分析】
逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】
解：
在x 2﹣x ﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A 符合题意；
在x 2+x +1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故该方程无实数根，故B 不符合题意； 在x 2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故该方程无实数根，故C 不符合题意； 在x 2+2x +1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D 不符合题意； 故选：A ．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．
二、填空题
16．【解析】
【分析】
二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．
【详解】
解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性
解析：()1,2
【解析】
【分析】
二次函数2()y a x h k =-+（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．
【详解】
解：根据二次函数的顶点式方程2
3(1)2y x =-+知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ，k 所表示的意义． 17．200
【解析】
【分析】
要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.
【详解】
解：
所以当t=20时，该函数有最大值200.
故答案为200.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用
解析：200
【解析】
【分析】
要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.
【详解】
解：()()2
22200.50.5404002000.520200s t t t t t =-=--++=--+ 所以当t=20时，该函数有最大值200.
故答案为200.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.
18．【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100 解析：
9
π 【解析】
【分析】 分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算S S 半圆正方形
即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100πcm 2，
边长为30cm 的正方形ABCD 的面积=302=900cm 2， ∴P （飞镖落在圆内）=100==9009S S ππ半圆正方形，故答案为：9
π. 【点睛】
本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．
19．720（1+x ）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x ，根据2017年全年收入720万元，2019 解析：720（1+x ）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x ，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即可得出方程．
【详解】
解：设该企业全年收入的年平均增长率为x ，
则2018的全年收入为：720×（1+x ）
2019的全年收入为：720×（1+x ）2．
那么可得方程：720（1+x ）2=845．
故答案为：720（1+x ）2=845．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．
20．【解析】
【分析】
过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：过作于，延长交于，过作于，过 解析：274
【解析】
【分析】
过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，设AE BN x ==，CF BM y ==，得到3DM y =-，4DN x =-，根据相似三角形的性质得到xy mn =，29y x =-+，由12
m n =，得到2n m =，于是得到()3m n m +=最大，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，
设AE BN x ==，CF BM y ==，
3BD =，
3DM y ∴=-，3DN x =-，
90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒，
90EAB ABE ABE CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，
EAB CBF ∴∠=∠，
ABE BFC ∴∆∆∽， ∴AE BE BF CF
=，即x m n y =， xy mn ∴=，
ADN CDM ∠=∠，
CMD AND ∴∆∆∽， ∴AN DN CM DM
=，即3132m x n y -==-， 29y x ∴=-+，
1
2
m n =， 2n m ∴=，
()3m n m ∴+=最大， ∴当m 最大时，()3m n m +=最大，
22(29)292mn xy x x x x m ==-+=-+=，
∴当92(29)4x =-
=⨯-时，28128mn m ==最大， 94
m ∴=最大， m n ∴+的最大值为927344
⨯=． 故答案为：274
． 【点睛】
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助
线，利用相似三角形转化线段关系，得出关于m 的函数解析式是解题的关键．
21．【解析】
【分析】
将△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF 的位置，根据旋转的性质可证△AEF 和△ABG 为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短
EA+EB+EC=GF+E
解析：2
【解析】
【分析】
将△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF 的位置，根据旋转的性质可证△AEF 和△ABG 为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ，表示Rt △GMC 的三边，根据勾股定理即可求出正方形的边长.
【详解】
解：如图，将△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF 的位置，连接EF,GC,BG ，过点G 作BC 的垂线交CB 的延长线于点M.设正方形的边长为2m ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°，
∵△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF ，
∴,,60,AG AB AF AE BAG EAF BE GF ==∠=∠=︒=,
∴△AEF 和△ABG 为等边三角形，
∴AE=EF,∠ABG=60°，
∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ，
∴GC=13
∵∠GBM=90°-∠ABG =30°，
∴在Rt △BGM 中，GM=m ，3m ，
Rt △GMC 中，勾股可得222GC GM CM =+，
即：222(32)(13)m m m ++=+，
解得：
2
2
m=，
∴边长为22
m=.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形，两点之间线段最短，勾股定理.能根据旋转作图，得出EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC是解决此题的关键.
22．【解析】
分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的
解析：
410
【解析】
分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴2x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵5AB=2，
∴BE=1，
∴222
BM BE
+=
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴AM ME FN AN
=，
=， 解得：x=43
∴=
故答案为
3． 点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，
23．【解析】
【分析】
首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，，然后根据，得出
∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧
2
【解析】
【分析】
首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，
AB ===PAB PBC ∠=∠，得出
∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小，构建圆，利用勾股定理，即可得解.
【详解】
∵90ACB ∠=︒，3AC =，BC =
，
∴AB ===∴∠CAB=30°，∠ABC=60°
∵PAB PBC ∠=∠，∠PAB+∠PAC=30°
∴∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°
∴定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小
∴CO ⊥AB ，∠COB=60°，∠ABO=30°
∴OB=2，∠OBC=90°
∴OC ===
∴72CP OC OP =-=
-
故答案为72-.
【点睛】
此题主要考查直角三角形中的动点综合问题，解题关键是找到点P 的位置.
24．120°．
【解析】
试题分析：若△ABC 以O 为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转
变化的性质，可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．
考点：旋转对称图形
解析：120°．
【解析】
试题分析：若△ABC 以O 为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．
考点：旋转对称图形．
25．1
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，
所以x1+x2-x1x2=3-2=
解析：1
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1x 2=2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，
所以x1+x2-x1x2=3-2=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=-b
a
，x1x2=
c
a
．
26．【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
解析：5 3
【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵a b
b
-
＝
2
3
，
∴b=3
5 a,
∴a
b
=
5
33
5
a
a
=
,
故答案为：5 3 .
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．27．2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠
解析：2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定12x x +和12x x •，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵2350x x +-=
∴12x x +=-3, 12x x •=-5
∴1212x x x x +-•=-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有：12b x x a +=-，12c x x a
•=是解答本题的关键． 28．【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100 解析：
9
π 【解析】
【分析】 分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算S S 半圆正方形
即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100πcm 2，
边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）=
100
==
9009
S
S
ππ
半圆
正方形
，故答案为：
9
π
.
【点睛】
本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．
29．【解析】
【分析】
设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．
【详解】
解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，
解析：25 4
【解析】
【分析】
设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．
【详解】
解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴AB
EC
＝
BE
CF
，
∴
5
5x
-
＝
x
y
，
∴y＝﹣1
5
x2+x＝﹣
1
5
（x﹣
5
2
）2+
5
4
，
∵﹣1
5
＜0，
∴x＝5
2
时，y有最大值
5
4
，
∴CF的最大值为5
4
，
∴DF 的最小值为5﹣54
＝154， ∴AF 的最小值＝22AD DF +＝221554⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝254， 故答案为254
．
【点睛】
本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF 的最小值． 30．7
【解析】
【分析】
根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟
解析：7
【解析】
【分析】
根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.
【详解】
解：∵2430x x +-=，
∴243x x +=，
∴2447x x ++=，
∴2
(2)7x +=，
∴7n =；
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤.
三、解答题
31．（1）见解析；（2）
O 的半径为4. 【解析】 【分析】
(1) 连接OE ，利用AB=BC 得出A C ∠=∠，根据OE=OC 得出，OEC C ∠=∠，从而求出OE AB ，再结合EG AB ⊥即可证明结论；
(2)先利用勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的性质对应线段比例相等求解即可.
【详解】
解：(1)证明：连接OE . ∵AB BC =∴A C ∠=∠
∵OE OC =∴OEC C ∠=∠
∴A OEC ∠=∠∴OE
AB ∵BA GE ⊥，∴OE EG ⊥，且OE 为半径 ∴EG 是O 的切线
(2)∵BF GE ⊥∴90BFG ∠=︒
∵23GF =4GB =∴222BF BG GF =
-=
∵BF OE ∥∴BGF OGE ∆∆∽ ∴
BF BG OE OG =∴244OE OE
=+ ∴4OE =即O 的半径为4. 【点睛】
本题考查的知识点是切线的判定与相似三角形的性质，根据题目作出辅助线，数形结合是解题的关键.
32．（1）x 1＝7，x 2＝－1；（2）x 1＝2，x 2＝－1
【解析】
【分析】
（1）根据配方法法即可求出答案．
（2）根据直接开方法即可求出答案；
【详解】
解：（1）x2－6x＋9－9－7＝0
(x－3) 2＝16
x－3＝±4
x1＝7，x2＝－1
（2）2x－1＝±3
2x＝1±3
x1＝2，x2＝－1
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，观察所给方程的形式，分别使用配方法和直接开方法求解.
33．（1）D（2,2）；（2）①P（0,0）；②1 3
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数求出OC的长度，再根据中点的性质求出CD的长度，即可求出D点的坐标；
（2）①证明在该种情况下DE为△ABC的中位线，由此可得F为AB的中点，结合三角形全等即可求得E点坐标，结合二次函数的性质可设二次函数表达式（此表达式为交点式的变形，利用了二次函数的平移的特点），将E点代入即可求得二次函数的表达式，根据表达式的特征可知P点坐标；
②可得G点的运动轨迹为'
GG，证明△DFF'≌△FGG'，可得GG'＝FF'，求得P点运动到M 点时的解析式即可求出F'的坐标，结合①可求得FF'即GG'的长度.
【详解】
解：（1）∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=4，∠AOC=90°，
∵在Rt△ACO中，tan∠ACO=OA
OC
=2，
∴OC=2，
又∵D为CB中点，∴CD=2，
∴D（2,2）；
（2）①如下图所示，
若点B 恰好落在AC 上的'B 时,根据折叠的性质1'','2BDF B DF BDB BD B D ∠=∠=
∠=, ∵D 为BC 的中点，
∴CD=BD,
∴'CD B D =,
∴1''2
BCA DB C BDB ∠=∠=∠, ∴BCA BDF ∠=∠，
∴//DF AC ,DF 为△ABC 的中位线，
∴AF=BF,
∵四边形ABCD 为矩形
∴∠ABC=∠BAE=90°
在△BDF 和△AEF 中，
∵ABC BAE BF AF BFD AFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BDF ≌△AEF ，
∴AE=BD=2,
∴E(6,0),
设(2)(4)2y
a x x ，将E （6,0）带入，8a+2=0 ∴a=14-，则二次函数解析式为21342y x x =-+，此时P （0,0）； ②如图，当动点P 从点O 运动到点M 时，点F 运动到点F'，点G 也随之运动到G'．连接GG'．当点P 向点M 运动时，抛物线开口变大，F 点向上线性移动，所以G 也是线性移动．
∵OM=23OC=43 ∴4
(0,)3M ,
当P 点运动到M 点时，设此时二次函数表达式为1(2)(4)2y
a x x ，将4(0,)3M 代入得14823a ，解得1112a ，所以抛物线解析式为1(2)(4)212y x x ，整理得21141223y x x =-++. 当y=0时，211401223
x x -
++=，解得x=8（已舍去负值）， 所以此时(8,0)E ， 设此时直线'DF 的解析式为y=kx+b ，
将D （2,2），E （8,0）代入2208k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1383k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 所以1833
y x =-+， 当x=4时，43y =，所以4'3AF =, 由①得112
AF AB ==， 所以1''3FF AF AF =-=
, ∵△DFG 、△DF'G'为等边三角形，
∴∠GDF ＝∠G'DF'＝60°，DG ＝DF ，DG'＝DF'，
∴∠GDF ﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'，
即∠G'DG ＝∠F'DF ，
在△DFF'与△FGG'中，
''''DF DG F DF G DG DF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DFF'≌△FGG'（SAS ），
∴GG'＝FF'，
即G 运动路径的长为
13． 【点睛】
本题考查二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，一次函数的应用，折叠问题.（1）中能根据正切求得OC 的长度是解决此问的关键；（2）①熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题关键；②中能通过分析得出G 点的运动轨迹为线段GG',它的长度等于FF'，是解题关键.
34．（1）甲平均数301，乙平均数301，甲方差3.2，乙方差4.2；（2）甲包装机包装质量的稳定性好，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平均数就是对每组数求和后除以数的个数；根据方差公式计算即可； （2）方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定．依此判断即可．
【详解】
解：（1）x 甲＝
110（1+0+5+2+3+2+0+0﹣2﹣1）+300＝301， x 乙＝110
（5+2+0+0+0+0﹣2﹣1+1+5）+300＝301， 2s 甲＝110
[（301﹣301）2+（301﹣300）2+（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣303）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2]＝3.2； 2s 乙＝110
[（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2+（301﹣301）2+（301﹣305）2]＝4.2； （2）∵2
s 甲＜2
s 乙，
∴甲包装机包装质量的稳定性好．
【点睛】
本题考查了平均数和方差，正确掌握平均数及方差的求解公式是解题的关键.
35．（1）12x =，24x =-；（2）19x =，25x =-．
【解析】
【分析】
（1）先移项，再利用直接开平方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．。