江苏省南通市如东县高一上学期期末考试数学试题 答案和解析

【校级联考】江苏省南通市如东县【最新】高一上学期期末
考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设全集U ＝{0，1，2，3}，集合A ＝{1，2}，B ＝{1，3}，则U (A)B ⋂＝_______． 2．已知点A(﹣1，2)，B(1，3)，则向量AB 的坐标为_______．
3
．函数()ln f x x =
的定义域是_______． 4．函数1tan ()1tan x f x x
-=+的最小正周期为_______． 5．已知幂函数()f x x α=，其中α∈{﹣1，0，12
，1，2，3}，则使()f x 为偶函数，且在区间(0，+∞)上是单调增函数的α的值为_______．
6．已知函数0()ln 0
x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，其中e 为自然对数的底数，则1(())f f e ＝_______． 7．已知函数2()2cos sin 21f x x x =+-，将函数()y f x =图像向右平移4
π个单位后与函数()y g x =图像重合，则函数()y g x =在区间[0，π]上的单调减区间为_______．
8．已知函数()f x 是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且在区间[0，2]上是单调减函数，若(21)f x +(1)0f +<，则x 的取值范围是_______．
9．如图，将矩形纸片ABCD 的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上(BC 足够长)，那么折痕EF 的长度取决于角∠BFE 的大小，若sin∠BFE＝
35
，AB ＝6，则折痕EF 的长度为_______．
10．河水的流速为2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_______m/s ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知单位圆上动点P(sin(150°﹣2t )，cos(150°﹣2t ))，当t 由0°增大到60°时，动点P 轨迹的长度为_______．
12．如图：已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB＝120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足OC OA (1)OB λλ=+-(0＜λ＜1)，则CM CN ⋅的取值范围是_______．
13．定义在[1，+∞)上的函数()f x 满足：①当x ∈[1，3)时，()12f x x =--，
②(3)f x ＝3()f x ，设关于x 的函数()()3x F x f x a -=--仅有有限个零点，则
实数a 的取值范围为_______．
二、解答题
14．已知向量a ⃑＝(sin θ，cos θ﹣2sin θ)，b
⃑⃑＝(2，1)，其中0＜θ＜π． （1）若a
⃑∥b ⃑⃑，求sin θ·cos θ的值； （2）若|a ⃑|=|b
⃑⃑|，求θ的值． 15．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为r 1、r 2米，圆心角为θ(弧度)．
（1）若23
πθ=，r 1＝3，r 2＝6，求花坛的面积； （2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD 的长．
16．已知函数()f x 满足：(lg )f x x =．
（1）若1()2()
f x f x -=，求x 的值； （2）对于任意实数1x ，2x ，试比较
12()()2f x f x +与12()2x x f +的大小； （3）若方程2()100f ax x -=在区间[1，2]上有解，求实数a 的取值范围．
17．若函数()f x 和()g x 满足：①在区间[],a b 上均有定义；②函数()()y f x g x =-在区间[],a b 上至少有一个零点，则称()f x 和()g x 在[]
,a b 上具有关系W ． ()1若()f x lnx =，()g x sinx =，判断()f x 和()g x 在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上是否具有关系W ，并说明理由； ()2若()22f x x =-和()21g x mx =-在[]1,4上具有关系W ，求实数m 的取值范围．
参考答案
1．{}3
【解析】
【分析】
根据补集的概念得到
U A=｛0，3｝，再由交集的概念得到结果. 【详解】
全集U ＝{0，1，2，3}，集合A ＝{1，2},
U A=｛0，3｝，则{}U (A)B=3⋂. 故答案为：{}3.
【点睛】
与集合元素有关问题的思路：
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2．()2,1
【分析】
根据向量的坐标运算得到结果即可.
【详解】
已知点A(﹣1，2)，B(1，3)，则向量AB =（2，1）.
故答案为()2,1.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，较为简单.
3．()
(]0,11,2
【分析】
根据函数f （x ）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】
函数f（x）
，
∴
20
02
1
x
x lnx
x
x
-≥
⎧
<≤
⎧
⎪
≠⇒
⎨⎨
≠
⎩
⎪>
⎩
∴f（x）的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．
故答案为(0,1)(1,2]
⋃．
【点睛】
本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．求函数定义域的注意点：
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
4．π
【分析】
利用两角差的正切公式化简函数的解析式，再利用正切函数的周期性，得出结论．
【详解】
函数f（x）=1tan
1tan
x
x
-
+
=tan（
4
π
﹣x）=﹣tan（x﹣
4
π
）的最小正周期为π，
故答案为π．
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，正切函数的周期性，属于基础题．
5．2
【解析】
【分析】
根据幂函数f（x）=xα，f（x）为偶函数，则α为偶数，在区间（0，+∞）上是单调增，则0
α>，可得答案．
【详解】
由题意α∈{﹣1，0，12
，1，2，3}， 幂函数f （x ）=x α，f （x ）为偶函数，则α为偶数，在区间（0，+∞）上是单调增，则0α>，综上可得2α=．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了幂函数的单调性和奇偶性的应用．属于基础题．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
6．1e
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的解析式先求出f （
1e
）的值，结合函数的解析式计算可得答案． 【详解】 根据题意，函数()00
x e x f x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，，，
则f （
1e ）=ln （1e
）=﹣1， 则f （f （1e ））=f （﹣1）=e ﹣1=1e
， 故答案为：1e ． 【点睛】
本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段讨论，属于基础题．求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
7．3π7π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，再由平移变换得到g （x ），由复合函数的单调性求函数y=g （x ）在区间[0，π]上的单调减区间．
【详解】
f （x ）=2cos 2x+sin2x ﹣24x π⎛⎫+
⎪⎝⎭ ， 将函数y=f （x ）图象向右平移4
π个单位后，得
2())444y x x πππ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦，则g （x ）24x π⎛⎫- ⎪⎝
⎭ ． 由3+222242k x k π
ππππ≤-≤+，可得37+,Z 88
k x k k ππππ≤≤+∈. 取k=0，可得函数y=g （x ）在区间[0，π]上的单调减区间为3π7π,88⎛⎫
⎪⎝⎭． 故答案为3π7π,88⎛⎫
⎪⎝
⎭. 【点睛】 本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．考查了三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x 的系数提出来，针对x 本身进行加减和伸缩.
8．1-12⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
【分析】
由函数f （x ）是奇函数，可得f （2x+1）＜f （﹣1）．根据单调性脱去“f ”，求解即可．
【详解】
函数f （x ）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且在区间[0，2]上是单调减函数．
∴函数f(x)在[﹣2，0]上为单调减函数；
由f （2x+1）+f （1）＜0，即f （2x+1）＜﹣f （1）．
∴f（2x+1）＜f（﹣1）．
则
-22x+12 211 x
≤≤⎧
⎨
+>-
⎩
解得：
1
-1
2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
，．
则x的取值范围是
1 -1
2⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
故答案为
1
-1
2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
，．
【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．
9．125 16
【分析】
设EF=x，由题意可得△BEF≌△GEF，可得EG=EB，即有AE，运用二倍角公式和诱导公式，结合解直角三角形即可得到所求值．
【详解】
设EF=x，由题意可得△BEF≌△GEF，
可得EG=EB=EFsin∠BFE=3
5 x，
AE=AB﹣EB=6﹣3
5 x，
∠BEF=∠GEF=90°﹣∠BFE，
可得∠AEG=180°﹣2（90°﹣∠BFE）
=2∠BFE，
可得cos∠AEG=cos2∠BFE=1﹣2sin2∠BFE
=1﹣2×9
25
=
7
25
，
即有
107
1
25 AE
GE x
=-=
解得x=125 16
．
故答案为125 16
．
【点睛】
本题考查三角形的全等的判断和性质的运用，考查三角函数的恒等变换和方程思想、运算能力，属于中档题．
10．
【分析】
“垂直于河岸方向10m/s的速度”是实际的速度，在数学中相当是和向量．“河水的流速为2m/s”是其中一个分向量，静水速度是另一个分向量．即10是和向量，是对角线，另外两个分向量是平行四边形的边长为2的边与对角线垂直，求另一边就是本题的静水速度．【详解】
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，
河水速度v2=2m/s平行于河岸；
静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸．
∴静水速度v1==．
故答案为
【点睛】
本题考查小船的静水速度的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的加法法则的合理运用．
11．2π3
【分析】
由已知可求范围150°﹣2t∈[30°，150°]，进而可求∠POP′=120°，利用弧长公式即可计算得解．
【详解】
∵t ∈[0°，60°]，
∴150°﹣2t ∈[30°，150°]，
∴∠POP′=120°，
∴由题意，如图所示，动点P 轨迹'PP =1×23π=23
π． 故答案为
23
π． 【点睛】 本题主要考查了弧长公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
12．3,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭
【分析】
利用向量的数量积运算可得 CM CN ⋅=()()()22
ON +-1OM OC ON OC OM ON OC OM OC OC --=⋅-+=+．由于∠AOB=120°
，且满足()OC OA 1OB λλ=+-(0＜λ＜1),所以点C 在线段AB 上，可得1,12OC ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
即可得出． 【详解】
CM CN ⋅=()()()22ON +-1OM OC ON OC OM ON OC OM OC OC --=⋅-+=+ ∵∠AOB=120°，且满足()OC OA 1OB λλ=+-(0＜λ＜1),
点C 在线段AB 上；
∴
1
,1
2
OC
⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭，∴
3
CM CN,0
4
⎡⎫
⋅-⎪
⎢⎣⎭
的范围是.
故答案为
3
,0
4
⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.
【点睛】
(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
13．
1
-0 3
⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
【分析】
根据题意，分析作出函数f（x）的草图，分析可得若函数F（x）=f（x）﹣3﹣x﹣α仅有有限
个零点，则函数y=f（x）与函数y=3﹣x+α=（1
3
）x+a的图象有有限个交点，结合指数函数的
图象分析可得a的取值范围，即可得答案．【详解】
根据题意，当x∈[1，3）时，f（x）=1﹣|x﹣2|=
1,12 3,23 x x
x x
-≤≤⎧
⎨
-<<⎩
又由f（3x）=3f（x），
分析可得函数f （x ）在[1，+∞）上的图象为：
函数F （x ）=f （x ）﹣3﹣x ﹣α的仅有有限个零点，
则函数y=f （x ）与函数y=3﹣x +α=（
13）x +a 的图象有有限个交点， 分析可得函数y=（
13）x +a 的图象与x 轴必有交点， 则有a ＜0，
因为零点个数是有限个，必须存在零点，故得到当函数y=（
13）x +a 过（1，0）时，是临界 此时a=-13
， 即a 的取值范围为[-
13，0）； 故答案为[-
13
，0）． 【点睛】 已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题．
14．（1）1029；（2）π2或34π.
【分析】
（1）根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题；（2）由|a ⃑|=|b
⃑⃑|，化简得cos 2θ+sinθcosθ=0再由θ∈（0，π）可解出θ的值．
【详解】
（1）因为 ∥，
所以sinθ=2cosθ﹣4sinθ，
显然cosθ≠0，
所以tanθ=25．
所以sinθ•cosθ===10
29
，
（2）因为||=||，
所以=，
所以cos2θ+sinθcosθ=0，cosθ=0，或sinθ=﹣cosθ．
又0＜θ＜π，
所以θ=或θ=．
【点睛】
本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考，属于中档题．
15．（1）9 ；（2）8.
【分析】
（1）设花坛的面积为S，则S=1
2
r22θ﹣
1
2
r12θ，即可得出结论;（2）记r2﹣r1=x，则x＞0，
装饰总费用为y，则y=90（x+64
x
），根据函数的单调性即可求出.
【详解】
（1）设花坛的面积为S，则S=1
2
r22θ﹣
1
2
r12θ=
1
2
×36×﹣×9×=9π
所以花坛的面积为9π（m2）
（2）的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米
由题意知S=1
2
r22θ﹣
1
2
r12θ=（r1θ+r2θ）（r2﹣r1）=32，
则r1θ+r2θ=，
记r2﹣r1=x，则x＞0，装饰总费用为y，
则y=45×2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=90（x+）
根据均值不等式得到当x=8时，y有最小值为1440，
故当线段AD的长为8米时，花坛的装饰费用最小．
【点睛】
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查配方法的运用，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件
才能应用，否则会出现错误.
16．（1）lg 1x =（；（2）见解析；（3）[1,3] 【分析】
(1)先求出函数的解析式，再分情况解方程即可；（2）利用均值不等式求证即可；（3）原式转化为222111,,1,22a t a t t x x x ⎡⎤=
+=∈=+⎢⎥⎣⎦有解即可，从而可求出a 的取值范围. 【详解】
（1）函数()f x 满足：()lg f x x =，设t=lg x ,则()()10,10,10t t x x f t f x ===. ()()1f x f x -=110210
x x -= 当x>0时，原式化为x 2x x 1102102101010
x -=⇒-⨯-=
x 101lg 1x ⇒=+⇒=+（ 当x<0时，原式子不成立．
故得到lg 1x =+（.
(2)()()122f x f x +=121212*********x x x x x x f +++⎛⎫≥== ⎪⎝⎭
，当且仅当12x x =取等号.
(3)()2100f ax x -= 222=10=10=2ax x ax x -⇒-在[1，2]上有解，转化为
222111,,1,22a t a t t x x x ⎡⎤=+=∈=+⎢⎥⎣⎦
有解即可， ∵[]
2213
t t +∈， []13a ∴∈，
【点睛】
求函数解析式的常用方法
(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
17．（1）见解析；（2）
1
3
4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， .
【分析】
（1）根据[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上具有关系G．利用特殊值但判断出即可；（2）根据在区间[a，b]上具有关系G的性质，结合x∈[1，4]，利用二次函数的性质，讨论m即可．
【详解】
（1）f（x）和g（x）在[1，3]具有关系G．
令h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+x﹣2，
∵h（1）=﹣1＜0，h（2）=ln2＞0；
故h（1）•h（2）＜0，又h（x）在[1，2]上连续，
故函数y=f（x）﹣g（x）在区间[1，2]上至少有一个零点，
故f（x）和g（x）在[1，3]上具有关系G；
（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，
当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，
当m＞0时，h（x）=，
当1≤x≤2时，
由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，
故，
故m∈[，3]，
当m∈（0，）∪（3，+∞）时，
若m∈（0，），则h（x）在（2，4]上单调递增，
而h（2）＞0，h（4）＞0；
故没有零点；
若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，
此时，h（2）=﹣4m+1＜0；
故没有零点；
综上所述，
若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，
则m∈[，3]．
【点睛】
本题主要考查函数新定义的理解以及不等式的求解，二次函数的性质讨论，属于中档偏难的题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些．。