苏科版数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．
（1）求a，b的值；
（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，
①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；
②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．
【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】
【分析】
（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】
（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0
∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0
∴a＝﹣2，b＝4．
（2）①如图1中，
∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（4，0）．
故答案为（4，0）．
②∵a＝﹣2，b＝4
∴OA＝2OB＝4
又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°
∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°
①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．
∴∠PCB＝∠BOA＝90°，
又∵∠APB＝45°，
∴∠BAP＝∠APB＝45°，
∴BA＝BP，
又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，
∴∠ABO＝∠BPC，
∴△ABO≌△BPC（AAS），
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
∴P（4，2）．
②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．
∴∠PDA＝∠AOB＝90°，
又∵∠APB＝45°，
∴∠ABP＝∠APB＝45°，
∴AP＝AB，
又∵∠BAD+∠DAP＝90°，
∠DPA+∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠DPA，
∴△BAO≌△APP（AAS），
∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，
∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，
∴P（2，﹣2）．
综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明
△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.
试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，
则△ADF为等边三角形
∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，
∠DEC+∠EDB=60°，
∠DCB+∠DCF=60°，
∴∠EDB=∠DCA ，DE=CD，
在△DEB和△CDF中，
120
EBD DFC
EDB DCF
DE CD
，
，
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△DEB≌△CDF，
∴BD=DF，
∴BE=AD .
(2). EB=AD 成立；
理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：
同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴△DBE ≌△CFD （AAS ），
∴EB=DF ，
∴EB=AD.
点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
3．（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两动点，且
∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF .
（1）试说明：△AED ≌△AFD ；
（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE 的长；
（3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE 2的长.
【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130
【解析】
试题分析：()1由ABE AFC ≌， 得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠，
45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即
45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠，
从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌
得到ED FD =，再证明90DCF ∠=︒，
利用勾股定理即可得出结论. ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2
AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长，即可求得2DE .
试题解析：()1ABE AFC ≌，
AE AF =，BAE CAF ∠=∠，
45,EAD ∠=90,BAC ∠=
45,BAE CAD ∴∠+∠=
45,CAF CAD ∴∠+∠=
即45.DAF ∠=
在AED 和AFD 中，{AF AE
EAF DAE AD AD ，
=∠=∠=
.AED AFD ∴≌
()2AED AFD ≌，
ED FD ∴=，
,90.AB AC BAC =∠=︒
45B ACB ∴∠=∠=︒，
45ACF ，
∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒
设.DE x =
,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==
222,FC DC DF +=
()2
2239.x x ∴+-=
解得： 5.x =
故 5.DE = ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，
1 4.2
AH BH BC ==
= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65.
22234DE AD ==或130.
点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.
4．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m, CE ⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DEF 的形状.
【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF 为等边三角形
【解析】
解：（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA=900．
∵∠BAC ＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．
∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD ．
又AB="AC" ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ．
∴DE="AE+AD=" BD+CE ．
（2）成立．证明如下：
∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE ．
∵∠BDA=∠AEC= ，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）△DEF为等边三角形．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．
∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．
∴△DEF为等边三角形．
（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得
DE=BD+CE．
（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得
∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以
△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．
5．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或3
2
（3）9s
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出
∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组
求得答案即可．
（3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
【详解】
（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP 与△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACP ≌△BPQ （SAS ），
∴∠ACP=∠BPQ ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，
∠CPQ=90°，
则线段PC 与线段PQ 垂直.
（2）设点Q 的运动速度x,
①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，
912t t xt =-⎧⎨=⎩
， 解得31t x =⎧⎨=⎩
， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，
912xt t t =⎧⎨=-⎩
解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩
， 综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩
使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程， 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，
∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；
∴EB=EA=18cm.
当V Q =1时，
依题意得3x=x+2×9，
解得x=9；
当V Q =32
时，
依题意得3x=3
2
x+2×9，
解得x=12.
故经过9秒或12秒时P与Q第一次相遇.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算. 6．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．
（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；
（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求
2HK+EF的值．
【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8
【解析】
【分析】
（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,
根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；
（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得
OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．
【详解】
解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0
∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0
∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0
∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0
∴a ＝b ＝4
过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则AN ＝AM ∴OA 平分∠MON
即OA 是第一象限的角平分线
（2）过A 作AH 平分∠OAB ，交BM 于点H
∴∠OAH ＝∠HAB ＝45°
∵BM ⊥AE
∴∠ABH ＝∠OAE 在△AOE 与△BAH 中
OAE ABH OA AB
AOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）
∴AH ＝OE
在△ONE 和△AMH 中
OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）
∴∠AMH ＝∠ONE
设BM 与NE 交于K
∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA
∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°
（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于
M 、N 可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）
∴FM ＝FN
同理：NE ＝EK
∴OE+OF ﹣EF ＝2HK
过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q
可证：△APF ≌△AQE （SAS ）
∴PF ＝EQ
∴OE+OF ＝2OP ＝8
∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8
【点睛】
本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.
7．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF ．
()1当点E 在线段AD 上时，
①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =；
②如图2，若点E 不与点A 重合，请说明BF DC AE =+；
()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF ＝AE-CD
【解析】
【分析】
（1）①根据等边对等角，求到B C ∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ∆是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到
120AFB ADC ∠=∠=︒，推出ABF ACD ∆∆≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ，由△DEF 为等边三角形得到DA ＝DG ，再推出AE ＝GF ，根据线段的和差即可整理出结论；
（2）根据题意画出图形，作出AG ，由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．
【详解】
（1）①证明：AB AC =
B C ∴∠=∠
,60DF DE ADB =∠=︒，且E 与A 重合，
ADF ∴∆是等边三角形
60
ADF AFD
∴∠=∠=︒
120
AFB ADC
∴∠=∠=︒
在ABF
∆和ACD
∆中
AFB ADC
B C
AB AC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
ABF ACD
∴∆∆
≌
BF DC
∴=
②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，
∵∠ADB＝60°DE＝DF
∴△DEF为等边三角形
∵AG∥EF
∴∠DAG＝∠DEF＝60°
，∠AGD＝∠EFD＝60°
∴∠DAG＝∠AGD
∴DA＝DG
∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF
由①易证△AGB≌△ADC
∴BG＝CD
∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE
（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，
由（1）可知，AE=GF，DC=BG，
BF CD BF BG GF AE
∴+=+==
故BF AE CD
=-．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】
【分析】
（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝
∠BAC+∠B+∠C；
（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；
（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝
∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.
【详解】
（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：
过点A、D作射线AF，
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，
即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如图（2），∵∠X＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，
∴∠ABX+∠ACX＝50°，
故答案为：50；
②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝1
2
∠ADB，∠AEC＝
1
2
∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝1
(ADB AEB)
2
∠+∠＝45°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
9．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠BAO＝70°，
即∠BEC＝70°．
（3）解：如图2中，
∵∠CAB＝∠EAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，
同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠FEC＝60°，
∵CF⊥EF，
∴∠F＝90°，
∴∠FCE＝30°，
∴EF＝1
2
EC＝2.
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证:△DEF是等边三角形．
【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ≅△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.
（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ≅△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以
DE=DA+AE=EC+BD.
（3）由BDA AEC ≅△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ︒∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即FBD FAB ≅∠∠，所以BDF AEF ≅△△，所以FD=FE ，BFD AFE ≅∠∠，再根据=60BFD FA BFA =︒∠＋∠D ∠，得=60AF FA =︒∠E ＋∠D ，即=60FE =︒∠D ，故DFE △是等边三角形.
【详解】
证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m
∴∠BDA ＝∠CEA=90°，∵∠BAC ＝90°
∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CAE=∠ABD ，又AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA
∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD= BD+CE
(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α
∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC
∴△ADB ≌△CEA ，∴AE=BD ，AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE
（3）由（2）知，△ADB ≌△CEA ， BD=AE ，∠DBA =∠CAE
∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE
∵BF=AF ，∴△DBF ≌△EAF
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
∴△DEF为等边三角形.
【点睛】
利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.。