(精华讲义)数学人教版高二-选修2-1导数及其应用

导数及其应用复习讲义
一、知识复习： 1. 导数的定义：
设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值
x
x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)
()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。

()f x 在点0x 处的导数记作x
x f x x f x f y x x
x ∆-∆+='='→∆=)
()(lim
)(000
00
2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-
3．基本常见函数的导数:
①0;C '=（C 为常数） ②()1
;n
n x nx
-'=
③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;
⑤();x x e e '= ⑥()ln x x
a a a '=;
⑦()1ln x x '=
; ⑧()1
l g log a a o x e x
'=. 二、导数的运算
1.导数的四则运算：
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())(('
'x Cf x Cf =(C 为常数)
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，
再除以分母的平方：()()()()()()
()()()2
0f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。

2.复合函数的导数
形如)]([x f y ϕ=的函数称为复合函数。

法则： [()]()()f x f x ϕμϕ'''=.
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数)(x f y =在某个区间),(b a 可导，
如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数； 如果'f 0)(<x ，则)(x f 在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常函数。

2．函数的极点与极值：当函数)(x f 在点0x 处连续时，
①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 3．函数的最值：
一般地，在区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值。

函数
)(x f 在区间上的最值],[b a 值点处取得。

只可能在区间端点及极
求函数)(x f 在区间上最值],[b a 的一般步骤：①求函数)(x f 的导数，令导数
0)('=x f 解出方程的跟②在区间],[b a 列出)(),(,'x f x f x 的表格，求出极值及
)()(b f a f 、的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值
4．相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 5.定积分 （1）概念
设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成
n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑n
i f 1
＝(ξ
i
)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间
[a ，b ]上的定积分，记作：
⎰
b
a
dx x f )(，即⎰b
a
dx x f )(＝∑=∞
→n
i n f 1
lim (ξi )△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式 基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰
dx x m ＝
11
1
++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）
；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x
＝x
e ＋C ；⎰dx a x
＝a
a x
ln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表
中C 均为常数） （2）定积分的性质 ①⎰
⎰=b
a b
a
dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；
②⎰
⎰⎰±=±b
a
b a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；
③
⎰
⎰⎰+=b
a
c a
b
c
dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

（3）定积分求曲边梯形面积 由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=b
a dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰
⎰-b
a
b
a
dx x f dx x f )()(21。

四．【典例解析】 题型1：导数的概念 例1．已知s=
2
2
1gt ，（1）计算t 从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度
解析：（1）[]t t ∆=-=∆,1.031.3,1.3,3指时间改变量； .3059.032
1
1.321)3()1.3(22=-=-=∆g g s s s s ∆指时间改变量 059.31
3059
.0==∆∆=
t s v 。

其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，
即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。

（2）从（1）可见某段时间内的平均速度
t s ∆∆随t ∆变化而变化，t ∆越小，t
s ∆∆越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是0→∆t 时，
t
s
∆∆的极限， V=0
lim
→∆x t s
∆∆=0
lim →∆
x =∆-∆+t
s t s )
3()3(0lim →∆x t g t g ∆-∆+22321)3(21
=
g 21
lim →∆x （6+)t ∆=3g=29.4(米/秒)。

例2．求函数y=24
x
的导数。

解析：2
222)()
2(44)(4x x x x x x x x x y ∆+∆+∆-=-∆+=
∆，
2
2)(24x x x x x x y ∆+∆+⋅-=∆∆，∴00lim
lim →∆→∆=∆∆x x x y
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∆+∆+⋅-22)(24x x x x x = 38
x 。

点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。

题型2：导数的基本运算 例3．（1）求)1
1(32
x
x x x y ++=的导数； （2）求)11)(
1(-+=x
x y 的导数；
（3）求2
cos 2sin
x
x x y -=的导数； （4）求y=x
x sin 2
的导数；
（5）求y ＝
x
x x x x 9
532-+-的导数
解析：（1）23
11x x y +
+= ,.2332
'x
x y -=∴ （2）先化简,2
12
1
111-
+-=-+
-⋅
=
x
x x
x x
x y
∴.1121212123
21
'⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=--=--x x x x y
（3）先使用三角公式进行化简.
x x x x x y sin 2
1
2cos 2sin -=-=
.cos 211)(sin 21sin 21'''
'x x x x x y -=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∴
（4）y ’=x x x x x 222sin )'(sin *sin )'(-=x
x
x x x 2
2sin cos sin 2-； （5） y ＝2
3
3x －x ＋５－2
19-x
∴y ’＝３*（x 23
）＇－x ＇＋５＇－９2
1(x ）＇＝３*2321x －１＋０－９*（－2
1
）23
-x ＝
1)1
1(292-+x
x 。

点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量
例4．写出由下列函数复合而成的函数：
（1）y=cosu,u=1+2X （2）y=lnu, u=lnx 解析：（1）y=cos(1+2
X )； （2）y=ln(lnx)。

点评：通过对y=（3x 22
)展开求导及按复合关系求导，直观的得到'x y ='u y .'x u .给出复合
函数的求导法则，题型3：导数的几何意义 例5．（1）函数x
e x x
f )3()(-=的单调递增区间是
( )
A. )2,(-∞
B.(0,3)
C.(1,4)
D. ),2(+∞ 答案 D
解析 ()()(3)(3)(2)x x x
f x x e x e
x e
'''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D
．
（2）已知函数()f x 在R 上满足2
()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线
()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是
( )
A.21y x =-
B.y x =
C.32y x =-
D.23y x =-+ 答案 A
解析 由2
()2(2)88f x f x x x =--+-得几何
2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，
即2
2()(2)44f x f x x x --=+-，∴2
()f x x =∴/
()2f x x =，∴切线方程
12(1)y x -=-，即210x y --=选A
点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。

例6．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
解析 因为函数()y f x =的导函数．．．()y f x '=在区间[,]a b 上是增函数，即在区间[,]a b 上各点处的斜率k 是递增的，由图易知选A. 注意C 中y k '=为常数噢. （2）曲线1y x
=
和2
y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 。

解析：（2）曲线x
y 1=
和2
x y =在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x －1，它们与x 轴所围成的三角形的面积是4
3。

点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积了解在一起，对于较复杂问题有很好的效果。

题型4：借助导数处理单调性、极值和最值 例7．（1）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）0，则必有（ ） A ．f （0）＋f （2）2f （1） B. f （0）＋f （2）2f （1） C ．f （0）＋f （2）2f （1） D. f （0）＋f （2）2f （1）
（2）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个 （3）已知函数3
21()33
f x ax bx x =
+++,其中0a ≠ （1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?
（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.
解: (1)由已知得2
'()21f x ax bx =++,令0)('=x f ,得2
210ax bx ++=,
a
b a
o
x
o
x
o
x
y
o x
y y
)(x f 要取得极值,方程2210ax bx ++=必须有解,
所以△2
440b a =->,即2
b a >, 此时方程2
210ax bx ++=的根为
122b b x a a ---==
,222b b x a a
--+==,
所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时,
所以)(x f 在x 1, x 2处分别取得极大值和极小值. 当0<a 时
,
所以)(x f 在x 1, x 2处分别取得极大值和极小值. 综上,当b a ,满足2
b a >时, )(x f 取得极值.
(2)要使
)(x f 在区间(0,1]上单调递增,需使2
'(
)210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立.
即1,(0,1]22ax b x x ≥-
-∈恒成立, 所以max 1
()22ax b x
≥-- 设1()22ax g x x =--
,2221()
1'()222a x a a g x x x
-=-+=, 令'()0g x =得x =
x =舍去), 当1>a 时,101a <
<,当x ∈时'()0g x >,1
()22ax g x x =--单调增函数; 当x ∈时'()0g x <,1()22ax g x x =--单调减函数,
所以当x a =
时,()g x 取得最大,最大值为(
)g a a
=-. 所以b a ≥- 当01a <≤时,
1a
≥,此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立,所以1
()22ax g x x =--在区间
(0,1]上单调递增,当1x =时()g x 最大,最大值为1(1)2
a g +=-
,所以1
2a b +≥-
综上,当1>a 时, b a ≥-; 当01a <≤时, 1
2
a b +≥-
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
例8．（1）若曲线()2
f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围
是 .
解析 解析 由题意该函数的定义域0x >，由()1
2f
x ax x
'
=+。

因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12f x ax x
'
=+存在零点
解法1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1
h x x
=存在交点。

当0a =不符合题意，
当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，
故有0a <应填(),0-∞ 或是{}|0a a <。

x
y y=cosx
y=x+1π2
1
-1
O
解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程1
20ax x
+
=在()0,+∞内有解，显然可得()2
1
,02a x =-
∈-∞
（2）函数1,(10)()cos ,(0)2
x x f x x x π+-≤<⎧⎪
=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为
A.
32 B. 1 C. 2 D.1
2
根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积：
2011
11cos sin 222
S xdx x ππ
=⨯⨯+=+⎰
13
sin sin 0222
π=
+-=，故选A.
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力 题型5：导数综合题
例9．1、已知二次函数()f x x x +=2
，若不等式x x f x f 2)()(≤+-的解集为C .
（1）求集合C ； （2）若方程5)(1
=-+x x
a
a f )1,0(≠>a a 在C 上有解，求实数a 的取值范围；
（3）记)(x f 在C 上的值域为A ，若]1,0[,2
3)(3∈+-=x t tx x x g 的值域为B ，且B A ⊆，求实数t 的取值范围．
[解]（1）2
2)()(x x f x f =-+ 当0≥x 时，x x 222
≤ ⇒ 10≤≤x 当0<x 时，x x 222-≤ ⇒ 01<≤-x 所以集合]1,1[-=C （2）05)(1=--+x x a a f ⇒ 05)1()(2=---x x a a a ，令u a x =
则方程为05)1()(2=---=u a u u h 5)0(-=h
当1>a 时，],1
[a a
u ∈，0)(=u h 在],1[a a 上有解，
则⎪⎩⎪⎨⎧≥---=≤-+-=0
5)1()(05111)1
(22a a a a h a a
a h ⇒5≥a 当10<<a 时，]1,[a a u ∈，0)(=u g 在]1
,[a
a 上有解，
则⎪⎩⎪⎨⎧≥≤0)1(0)(a
h a h ⇒ 210≤<a
所以，当21
0≤<a 或5≥a 时，方程在C 上有解，且有唯一解。

（3）]2,4
1
[-=A
①当0≤t 时，函数2
3)(3t
tx x x g +-=在]1,0[∈x 单调递增，所以函数)(x g 的值域
]251,2[t t B -=， ∵B A ⊆ ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤t
t
2512412，解得⎪⎩
⎪⎨⎧-≤-≤5221t t ，即52-≤t ②当0>t 时，任取]1,0[,21∈x x ，1x <2x
)3)((33)()(2
221212123213121t x x x x x x tx x tx x x g x g -++-=+--=-
1
若1≥t ，∵101<≤x ，102≤<x ，1x <2x ，∴2
22121x x x x ++t 33≤<
∴0)()(21>-x g x g ，函数)(x g 在区间]1,0[单调递减，]2
,251[t t B -
= ∴⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤-22
41251t t ：又1≥t ，所以4≥t 。

2
若10<<t ，
若12()()0,g x g x -<则须2211223x x x x t ++>，∵1x <2x ，∴2133x t >
，1x >
于是当12,[,1]x x t ∈时，2211223x x x x t ++>,12()()0g x g x -<； 当12,[0,]x x t ∈时，2211223x x x x t ++<,12()()0.g x g x ->
因此函数)(x g 在]1,[t 单调递增；在],0[t 单调递减. )(x g 在t x =达到最小值
要使B A ⊆，则⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥≥41)(2)1(2)0(t g g g 或⇒⎪⎩⎪
⎨⎧≥---≤≥0
1)(2)(85
2423t t t t 或， 因为10<<t ，所以使得B A ⊆的t 无解。

综上所述：t 的取值范围是：),4[]5
2
,(+∞--∞
点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。

例10．3、已知函数),2()(3
1)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数.
（1）求k 的取值范围；
（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围. 解：（1）由题意x k x x f )1()(2
+-=' 因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数
所以),2(0)1()(2
+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立， 即2,1>≤+x x k 又恒成立 所以1,21≤≤+k k 故
当k=1时，),2(1)1(2)(2
2+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，
故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意. 所以k 的取值范围为k ≤1.
（2）设31
2)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h
令10)(==='x k x x h 或得 由（1）知k ≤1，
①当k=1时，)(,0)1()(2
x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意
②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：
x
),(k -∞
k (k,1) 1 (1,+∞)
)(x h '
+
0 －
0 +
)(x h
↗
极大
3
12623-+-k k ↘
极小
2
1
-k ↗
由于
)()(,02
1
x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点， 即方程)()(x g x f =
也即0)(=x h 有三个不同的实根
故需03
12623>-+-k k 即,0)22)(1(2<---k k k 所以,0
221
2
⎩⎨⎧>--<k k k 解得31-<k 综上，所求k 的范围为31-<k .
点评：该题是数列知识和导数结合到一块。

题型6：导数实际应用题
例11．请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

解析：设OO 1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为2
2
2
3(1)82x x x +-=+-（单位：m ）。

于是底面正六边形的面积为（单位：m 2
）：
22222333
3(1)6
(82(82)42
x x x x x +-=+-=+-。

帐篷的体积为（单位：m 3
）：
233313()(82)(1)1(1612)232
V x x x x x x ⎡⎤
=
+--+=+-⎢⎥⎣⎦ 求导数，得23
()(123)2
V x x '=
-； 令()0V x '=解得x= 2(不合题意，舍去),x=2。

当1<x<2时，()0V x '>,V(x)为增函数；当2<x<4时，()0V x '<,V(x)为减函数 所以当x=2时,V(x)最大。

答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大
点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。

例12．已知某质点的运动方程为3
2
(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若
1,42t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 解：2
()32s t t bt c '=++
由图象可知，()s t 在t=1和t=3处取得极值 则(1)0,(3)0s s ''==
即3206
27609b c b b c c ++==-⎧⎧⇒⎨
⎨
++==⎩⎩
2()31293(1)(3)
1,121,4,()2s t t t t t s t '∴=-+=--⎡⎫
'∈⎪⎢⎣⎭
'∈'∈⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
当t 时,s (t)>0
当t (1,3)时,s (t)<0
当t (3,4)时,s (t)>0
则当t=1时,s(t)取得极大值4+d 又s(4)=4+d
故t 时的最大值为4+d.
2 2
1
()3,4
2
3
4
1
3
s t d
d d
d d
⎡⎤
<⎢⎥
⎣⎦
∴
+<
><-
2
max
已知在上恒成立
s(t)<3d
即4
解得或
点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力
题型7：定积分
例13．计算下列定积分的值
（1）⎰--
3
1
2)
4(dx
x
x；（2）⎰-
2
1
5
)1
(dx
x；（3）dx
x
x
⎰+
2
)
sin
(
π
；（4）dx
x
⎰
-
2
2
2
cos
π
π
；解析：（1）
（2）因为5
6)1
(
]
)1
(
6
1
[-
='
-x
x，所以
6
1
|
)1
(
6
1
)1
(2
1
6
2
1
5=
-
=
-
⎰x
dx
x；
（3）
（4）
例14．（1）一物体按规律x ＝bt 3
作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功。

（2）抛物线y=ax 2
＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．
解析：（1）物体的速度233)(bt bt dt
dx
V ='==。

媒质阻力4
22229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0。

当x=0时，t=0；当x=a 时，31
1)(b
a
t t ==，
又ds=vdt ，故阻力所作的功为：
32
77130
320
3
2
7
27727)3(1
1
1
b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ==
==⋅==⎰⎰⎰⎰ （2）依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以
3
2
261)(b a dx bx ax S a
b =
+=⎰-
(1) 又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2
＋bx 相切，即它们有唯一的公共点， 由方程组⎩⎨
⎧+==+bx
ax y y x 2
4
得ax 2
＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2
＋16a=0． 于是,)1(16
1
2+-
=b a 代入（1）式得： )0(,)
1(6128)(4
3
>+=b b b b S ，52)1(3)3(128)(+-='b b b b S ； 令S'(b)=0；在b ＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b ＜3时，S'(b)＞0；当b ＞3时，S'(b)
＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S 取得最大值，且
2
9max =
S 。

点评：应用好定积分处理平面区域内的面积
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