西原体模型下圆形洞室围岩蠕变的解析解_方延强

深埋地下洞室围岩的蠕变对洞室的长期稳定有很 大的影响 , 随着地下工程的不断发展 , 对于地下洞室围 岩稳定性的研究近年来也逐渐成为了岩土工程的热点 。 岩石具有流变性 , 其应力应变 状态随着时间而发生变
化 , 这种流变变形是导致地下工程中支护结构产生变形 和破坏的最主要的原因之一 , 尤其对于一些深埋地下洞 室 , 围岩的流变现象就更为严重 。
P(D)=1 +(ηE31 +η2 E+2η3 )D +Eη21 ηE32 D 2
(1 0)
Q(D)=η3 D +ηE2η2 3 D2
(1 1)
对(10)、(11)分别进行拉普拉斯积分变换 , 则有
P(s)=1 +(ηE31 +η2 E+2 η3 )s +Eη21 ηE32 s2
(1 2)
Q(s)=η3 s +ηE2 η2 3 s2
系数修正为非线性 , 提出了一种改进的西原正夫模型 , 较好地反映了岩石的非衰减蠕变特性 。 张良辉[ 3] 等人 建立了一种简单的隧道围岩位移的弹塑粘性解析解 , 它 既能反映围岩的应变软化和塑性剪胀特性 , 又能体现围 岩的流变规律 。
在前人研究的基础上 , 采用西原体模型 , 根据弹塑 性力学等相关理论对地下洞室围岩的位移变形进行了 理论推导 , 得出圆形洞室围岩 应力和位移黏弹性解析 解 , 并根据推导出来的位移黏弹性解表达式得到了考虑
ur =P20ERr20
(8)
式中 :ur ———径向位移 ;
R0 ———洞室半径 ;
r ———围岩内任意一点距圆形洞室形心的距离 ;
其他参数与前面相同 。
对上面的弹性情况下的位移表达式使用对称性原
理, 得:
u r(s)=2GP0(Rs20)r
(9)
由于岩石介质为西原体模型材料 , 则根据其本构方
程可得 :
流变效应时的围岩变形规律 。 1 西原体模型及流变力学问题的一般解法
西原体模型是由广义开尔文体和一个黏塑性体串 联而成[ 4] , 如图 1 所示 。 为了计算推导的方便 , 此处把 西原体划分成弹性体 、开尔文体和黏塑性体 , 分别用下 标 1 、2 、3 表示 。西原体模型的形变曲线图如图 2 所示 。
初始应力为零时该边界条件下同一问题的黏弹性解 , 此 即所谓的对应性原理[ 5] 。
2 圆形洞室围岩的流变分析
圆形巷道是地下工程中最常见的一种巷道形式 , 因
此对于圆形巷道的应力变形进行流变力学分析具有十
分积极的意义 。
圆形隧洞围岩位移是表征和控制其稳定性的重要
参数 , 现有的研究也证明了岩石具有明显的流变特性 ,
图 1 西原体蠕变模型
图 2 西原体模型蠕变曲线
模型的流变本构方程[ 5] :
当 σ<σf 时 :
Eη22 ﹒ε+ε=Eη1 2E2
﹒σ+EE1
+E 1E2
2
σ
式中 :η1 ———黏滞系数 ;
Ei ———弹性模量 ;
σ,ε———模型的应力和应变 ;
﹒σ,﹒ε———应力应变对时间 t 的微分 。
式中 :¨σ,¨ε———应力应变对时间 t 的二阶导数 ; σf ———圣维南体的极限摩阻力 ; 其他参数与前式相同 。
岩土线性黏弹性模型的本构关系的一般形式为 :
P(D)σ=Q(D)ε
(3)
式中 :P(D)、Q(D)———D 的 n 阶多项式 ;
D ———对时间 t 的微分算子 。
对线性黏弹性材料进行应力分析时 , 位移是一个时
间函数 , 严格地讲是一个动态过程 , 不应该使用静力学
的平衡方程 , 但由于蠕变过程是在缓慢进行的 , 因此在
分析过程中可以忽略惯性力的存在 , 仍然可以利用静力
学平衡方程 。线黏弹性本构微分方程最终可以归结为
一个常微分方程的边界问题 。 要得到这类问题的数值
解 , 应首先利用数学上的拉普拉斯积分变换方法 , 把所
此种情况下的边界条件 , 围岩位移的弹性解均与 σ≥σf
时相同 , 只是本构方程有所不同 , 故此处直接给出最后
得到的圆形洞室围岩的黏弹性位移 :
ur (t)=P20ER10r2 [ 1 +Eη21 ex p(-Eη22 t)]
(18)
同样地 , 上式对 t 进行求导 , 得围岩位移速率的黏
弹性表达式 :
后趋于一常数 , 这也是符合实际情况的 。
4 结论
(1)当地下洞室围岩处于线黏弹性状态时 , 西原体
模型能够较好地描述岩石的流变特性 , 所推导的位移表
达式可作为工程岩体稳定性分析的参考 。
图 4 围岩位移与时间关系曲线
图 5 围岩位移速率与时间关系曲线
(2)洞室围岩位移总量由于蠕变导致其随时间的增 长而不断增大 , 这就会使衬砌承受过大的荷载而发生破 坏。
(1 3)
根据前面的关系式 G(s)=Q(s)/ P(s), 得 :
2008 年第 6 期 西部探矿工程 1 73
G
(s)=QP( (ss))=1
+(η E31
η3 s +ηE2 η2 3 s2 +η2 E+2η3 )s +Eη21 η E32
2008 年第 6 期 西部探矿工程 1 71
西原体模型下圆形洞室围岩蠕变的解析解①
方延强 , 刘长武 , 康亚明 , 曾德建
(四川大学水利水电学院 , 四川 成都 610065)
摘 要 :岩石力学中常用的流变模型有黏弹性模型 、黏塑性模型等 , 而西原体模型是目前比较完善 、流 行的流变模型 , 它能够完整地描述衰减蠕变 、稳定蠕变与不稳定蠕变几种蠕变模型 。利用该模型理论 对深埋地下洞室围岩的流变进行了力学分析 , 得出在考虑围岩流变的情况下 , 围岩的位移随着时间的 增长不断变大 , 而围岩的位移速率则是在洞室刚开挖时最大 , 随后逐渐变小并趋于某一定值等结论 。 关键词 :西原体模型 ;圆形洞室 ;蠕变 ;黏弹性 中图分类号 :T U973 文献标识码 :B 文章编号 :1004 —5716(2008)06 —0171 —04
摘 要 :通过在微机控制电子万能试验机上进行三轴固结不排水试验 , 并和常规的固结不排水三轴试 验进行比较 , 得到了在电子万能试验机进行试验相对便利的结论 。 关键词 :万能试验机 ;固结不排水三轴试验 ;GDS 中图分类号 :U44 文献标识码 :B 文章编号 :1004 —5716(2008)06 —0174 —03
国内外众多学者对岩石的蠕变特性和蠕变模型进
行了大量的研究 , 目前 , 已经提出的岩石蠕变模型就有 数百种之多 , 其中应用比较广 泛的模型有西原正夫模 型 、宾汉姆模型 、伯格斯模型等 。岩石的流变模型已经 在分析隧道 围岩 流变性 中得到 了广泛 的应用 。 颜海 春[ 1] 等人通过研究 , 利用 Shvedov -Bingham 模型研究 了隧道围岩在初始时刻出现塑性区情况下的流变情况 , 并给出了解析解 。 曹树刚[ 2] 等人通过对岩石的全应力 -应变曲线和蠕变曲线的分析 , 将粘滞性模型中的粘滞
s2
(14)
将(14)式带入(9)式中 , 整理得 :
u
r
(s)=P2
0 R20 E2 r
[
E2 1 η3 s2
+(EE21
+1)1s
-E2
η +3 sη2 ]
(15)
然后对(15)式进行拉普拉斯逆变换 , 查拉普拉斯积 分变换表[ 7] , 得到围岩位移的黏弹性解 :
ur
(t)=P20ER10r2
(3)t =0 时 , 即洞室刚进行开挖时 , 围岩的位 移速 率最大 , 而后随时间慢慢变小 , 最后趋于一稳定值 。
(4)洞室的尺寸越大 , 地应力越高 , 围岩的变形越大 和变形速率也就越快 , 离洞室越远的地方 , 围岩的变形 也就越小 。
参考文献 : [ 1] 颜海春 , 王在晖 , 戚承志 .深部隧 道围岩 的流变[ J] .解 放军
因此在岩体中开挖隧洞 , 隧洞周边围岩就可能进入塑性
状态 , 隧洞的周边围岩处于黏弹性黏塑性状态 。对于巷
道围岩黏弹性区 , 由于洞室的埋深足够的大 , 因此处于
静水压力状态 , 在计算过程中我们作如下假设 :
①围岩为线黏弹性体 、均质 、各向同性 ;
②忽略围岩自重 。
满足以上假设 , 则可认为洞室处于无限大黏弹性体
当 σ≥σf 时 :
(1)
① 基金项目 :国家自然科学基金资助项目(50574064)。
17 2 西部探矿工程 2008 年第 6 期
ηE22¨ε+﹒ε=Eη1 2E2 ¨σ+E12 (1 +EE21 +η η21 )﹒σ+η13 σ-ησf3 (2)
将以上各值代入公式(16)得洞室围岩位移与时间
的关系图 , 如图 4 所示 。
从图 4 中可见 , 围岩的位移随着时间的增长不断地
变大 , 这与实际情况相符合 。
代入公式(17)得洞室围岩位移速率与时间的关系
图 , 如图 5 所示 。
从图 5 中可见 , 在洞室刚进行开挖时 , 围岩的位移
速率最大 , 随后随着时间的增长 , 位移速率逐渐变小 , 最
要求的微分方程变换为代数方程 。
拉普拉斯变换后的黏弹性方程与静弹性力学方程
在形式上完全相同 。如果已知一初始应力应力为零的
平面或空间问题的弹性解 , 则只需在弹性解中 , 以
G(s)=Q(s)/ P(s)
(4)
代替弹性方程中的弹性系数 , 即得到该问题的黏弹
性解的拉普拉斯变换 。将得到的结果进行逆变换 , 即得u r本构方程 :(6)
Eη22 ¨ε+﹒ε=Eη1 2E2 ¨σ+E12 (1 +EE21 +ηη23 )﹒σ+η13 σ-ησf3 (7) 对于无支护洞室的边界条件有 :
r =R0 , σr =0 ; r ※∞, σr =P0 =γh 。 通过弹性力学[ 6] 解带圆孔无限体的问题 , 得到围岩 在弹性情况下的位移表达式为 :
[ J] .岩土工程学报 , 1997 , 19(4):66 -72 . [ 4] 陶波 , 伍法权 , 郭 改梅 , 周瑞 光 .西原 模型对 岩石 流变 特性
的适应性及其参数 确定[ J] .岩石力 学与 工程学 报 , 2005 , 2 4(17):3 16 5 -3 17 1 . [ 5] 范 广勤 .岩土 工程 流变 力学[ M] .北京 :煤炭工业出版社 ,
17 4 西部探矿工程 2008 年第 6 期
·路桥与建筑工程 ·
电子万能试验机在三轴试验中的应用
吴明玉1 , 宁殿晶1 , 黄小平2 , 闫亚武1
(1 .长安大学公路学院 , 陕西 西安 710064 ;2 .中煤西安设计工程有限公司矿井所 , 陕西 西安 710054)
{1
+Eη31
t
+EE
1 2
[
1
-ex
p(-Eη22 t)] }
(16)
上式对 t 进行求导 , 则得围岩 位移速率 的黏弹性
解:
﹒u(t)=P20ER10r2 [
E1 η3
+Eη21 ex p(-Eη22 t)]
(17)
2 .2 σ<σf 时的情况
即此时圆形洞室围岩 应力未达到极 限应力状态 。
理工大学学报 :自然科学版 , 2006, 7(5):450-453 . [ 2] 曹树刚 , 边金 , 李鹏 .岩石蠕变本 构关系及改 进的西原 正夫
模型[ J] .岩石力学与工 程学报 , 2002 , 21(5):632 -634 . [ 3] 张良 辉 , 熊 厚金 , 张 清 .隧 道围 岩 位移 的弹 塑 粘性 解析 解
中 , 而且圆形洞室的应力分析也就可以简化为弹性力学
中轴对称平面应变的圆孔问题 , 如图 3 所示 。
2 .1 时的情况
即此时圆形洞室围岩应力达到甚至超过了峰值强
度。
轴对称问题的基本方程有 :
图 3 计算模型示意图
平衡方程 :
dσr dr
+σr
-σθ r
=0
几何方程 :
(5)
εr =ddur
;εθ=
﹒u(t)=-P02Rr0η222E2 ex p(-Eη22 t)
(19)
3 算例
某地下圆形洞室的埋深为 h =400m , 洞室半径为
R0 =4 .8m , 围岩容重 γd =25kN/ m3 。 根据现场的观测
资料 , 采用位移反分析法得到围岩的蠕变参数如下 :
E1 =1 .50 ×104 M Pa , E2 =2 .40 ×104 M Pa η2 =2 .13 ×105 M P a · h , η3 =7 .20 ×105 MP a · h