(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 综合能力训练 理

综合能力训练
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()
A.(0,2]
B.[-1,0)
C.[2,4)
D.[1,4)
2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()
A.1
B.
C.
D.2
3.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()
A.a<b<c
B.c<b<a
C.b<a<c
D.b<c<a
4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()
A.2
B.4
C.6
D.8
5.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()
A.
B.
C.
D.
6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()
A.B.
C.D.2
7.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()
A.1
B.-
C.1,-
D.1,
8.已知实数a,b,c.()
A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100
B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100
C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100
D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.
10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)
11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值
为.
12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.
13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.
14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;
(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.
17.(13分)
如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).
(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.
(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;
(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.
20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).
(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;
(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.
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综合能力训练
1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),
∴A∩B=(0,2].故选A.
2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,
解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+, 由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,
从而A,B,OA2==5-
2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.
3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.
∴g(-log25.1)=g(log25.1).
∵奇函数f(x)在R上是增函数,
∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.
∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,
∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.
结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.
4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.
∵S底=(1+2)×2=3,h=2,
∴V=Sh=3×2=6.
5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而
,即S n=故当输入n=3
时,S3=,故选B.
6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则
=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,
,e2=1+e=故选A.
7.C解析∵f(1)=e1-1=1,
∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,
∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,
∴a=1.因此a=1或a=-
8.D解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,
则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.
而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;
选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.
而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;
选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.
而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.
9.2解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.
10.-40解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.
根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.
11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,
∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为
4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.
12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.
∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,
∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.
∴圆心到直线的距离d=<r=1.
∴直线与圆相交.
∴直线与圆公共点的个数为2.
13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),
的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.
14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③
正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.
15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,
故sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,
解得cos B=1(舍去),cos B=
(2)由cos B=得sin B=,
故S△ABC=ac sin B=ac.
又S△ABC=2,则ac=
由余弦定理及a+c=6得
b2=a2+c2-2ac cos B
=(a+c)2-2ac(1+cos B)
=36-2=4.
所以b=2.
16.解 (1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.
a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].
=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,
∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,
即a n=2n-1+n,∴b n==1+
设c n=,且前n项和为T n,
则T n=+…+, ①
T n=+…+, ②
①-②,得T n=1++…+=2-
故T n=4-,S n=n+4-
17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.
当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.
而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.
在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,
所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.
同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.
分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,
则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,
故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.
若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.
连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.
连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.
在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,
由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,
故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.
解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).
=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).
(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).
因为=(-2,0,2),
所以=2,即BC1∥FP.
而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),
则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).
同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).
若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,
则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,
即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±
故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.
18.解 (1)由已知,有P(A)=
所以,事件A发生的概率为
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=
所以,随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.
19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2
∴椭圆C的标准方程为=1.
(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),
过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①
直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,
直线MF1的方程为y=-(x+2),
即yy0=-(x0+2)(x+2), ②
①②联立,解得x=-8,
故点M的轨迹方程为x=-8.
(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),
点N在切线MP上,由①式得y N=,
点M在直线MF1上,由②式得y M=,
|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+, 故
=, ③
注意到点P在椭圆C上,即=1,
于是,代入③式并整理得,故的值为定值
20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=
①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,
则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.
②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,
当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,
此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.
③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.
④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.
综上所述,a的取值范围为[1,+∞).
(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,
即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,
∴ln+ln+…+ln+…+,即
ln…
由于n∈N*,则=1.
∴ln<1.
<e.
由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,
即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,
+…+<ln+ln+…+ln, 即
<ln,
得
<ln
由于n∈N*,则
<ln
<e.。