2022年广东省惠州市惠东县惠东高级中学高一数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年广东省惠州市惠东县惠东高级中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）
A．1升B．升C．升D．升
参考答案：
B
【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．
【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，
根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，
即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，
把d=代入①得：a1=，
则a5=+（5﹣1）=．
故选B
2. 函数y=2﹣|x|的大致图象是( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】指数函数的图像变换．【专题】数形结合．
【分析】对函数进行转化为分段函数，当x≥0时，函数表达式为y=（）x，而当x＞0时，函数表达式为y=2x，然后再用基本函数y=a x的图象进行研究．
【解答】解：函数y=2﹣|x=
∵2＞1，且图象关于y轴对称
∴函数图象在y轴右侧为减函数，y≤1
左侧为增函数，y≤1
故选C
【点评】本题主要考查由指数函数进行的绝对值变换，一般地，通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，对称区间上的图象，则由奇偶性或对称性研究．
3. 已知函数y=f（x），x∈R，f（0）≠0，且满足f（x1）+f（x2）=2f（）f（），则函数f（x）的奇偶性为( )
A．是奇函数而不是偶函数B．是偶函数而不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
参考答案：
B
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】计算题；定义法；函数的性质及应用．
【分析】先令x1=x2=0，代入得f（0）=1，再令x1=x，x2=﹣x，代入得f（﹣x）=f（x），所以该函数为偶函数．
【解答】解：令x1=x2=0，代入f（x1）+f（x2）=2f（）f（）得，
2f（0）=22，由于f（0）≠0，
所以f（0）=1，
再令x1=x，x2=﹣x，代入得，f（x）+f（﹣x）=2f（0）?f（x），
即f（﹣x）=f（x），
根据函数奇偶性的定义知，f（x）为偶函数，
故选B．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，用到了函数的特殊值和函数奇偶性的定义，属于中档题．
4. 某公司有1000名员工．其中高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工800名，属于低收入者．要对该公司员工的收入情况进行调查，欲抽取200名员工进行调查，应从中层管理人员中抽取的人数为
Ａ．10 Ｂ．15 Ｃ．20 Ｄ．30
参考答案：
D
5. 已知x与y之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()
A.＞b′，＞a′
B. ＞b′，＜a′
C. ＜b′，＞a′
D. ＜b′，＜a′
参考答案：
C
略
6. 设f（x）=5|x|﹣，则使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（）
A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，
+∞）
参考答案：
D
【考点】函数单调性的性质．
【分析】判断函数f（x）的单调性和奇偶性，利用函数f（x）的单调性和奇偶性求解．
【解答】解：函数f（x）=5|x|﹣，
则f（﹣x）=5|﹣x|﹣=5|x|﹣=f（x）为偶函数，∵y1=5|x|是增函数，y2=﹣也是增函数，
故函数f（x）是增函数．
那么：f（2x+1）＞f（x）等价于：|2x+1|＞|x|，
解得：x＜﹣1或
使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．
故选D．
【点评】本题考查了利用函数f（x）的单调性和奇偶性求解不等式的问题．属于基础题．
7. 集合，，则＝（）
Ａ.Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
参考答案：
C
8. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图所示），则旗杆的高度为( )
A．10 m B．30 m C．10m D．10m
参考答案：
B
【考点】解三角形．
【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．
【分析】由题意作图可得已知数据，由正弦定理可得BD，进而可得CD．
【解答】解：由题意可得在△ABD中，∠BAD=45°，∠ABD=105°，∠ADB=30°，
由正弦定理可得BD===20，
∴CD=BDsin60°=20×=30，
故选：B．
【点评】本题考查解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键，属中档题．9. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
10. 函数（）
A．是偶函数，且在上是单调减函数
B．是奇函数，且在上是单调减函数
C．是偶函数，且在上是单调增函数
D．是奇函数，且在上是单调增函数
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知l1：2x＋my＋1＝0与l2：y＝3x－1，若两直线平行，则m的值为__________．参考答案：
－
12. 若则________，
________ ．
参考答案：
{0，1，2，3}，{1，2}
13.
参考答案：
14. 若数列{a n}满足（，d为常数），则称数列{a n}为“调和数列”，已知正项数列
为“调和数列”，且，则的最大值是__________．
参考答案：
100
因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以
，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为100．
点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求
得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解．15. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标
是
参考答案：
略
16. 若OA ∥O 1A 1，OB∥O 1B 1，则∠AOB 与∠A1O1B1的关系是________．
参考答案：
相等或互补
17. 若cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，则tanαtanβ=．
参考答案：
【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GK：弦切互化．
【分析】先由两角和与差的公式展开，得到α，β的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积
与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积．
【解答】解：由已知，
，
∴cosαcosβ=，sinαsinβ=
∴
故应填
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知的最大值为，最小值为。

求函数的周期、最
值，并求取得最值时的之值；并判断其奇偶性。

参考答案：
由已知条件得解得∴，
其最大值为2，最小正周期为，
在区间[]（）上是增函数，
在区间[]（）上是减函数．
略
19. 已知函数和的图象关于原点对称，且.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若在[－1,1]上是增函数，求实数的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅰ）解法1设函数y=f(x)的图象上任一点Q关于原点的对称点为P(x,y),
则即
点Q在y=f(x)上，
，即，故
20. 在数列{a n}中，已知a1=1，a n=a n－1+a n－2+…+a2+a1．（n∈N*，n≥2），求这个数列的通项公式。

（本小题满分15）
参考答案：
21. （本小题满分12分）
已知向量a，b且a，b满足|k a+b |=|a-k b|，
(1)求a与b的数量积用k表示的解析式；
(2) a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，请说明理由；若能，请求出相应的k值；
(3)求向量a与向量b的夹角的最大值。

参考答案：
（12分）解：(1)由题，且，所以，
化简可得，
；………………………4分
(2)若则，而无解，因此和不可能垂直；
若则即，解得，
综上，和不可能垂直；当和平行时，；…………………8分
(3)设与夹角为，则
=
因此，当且仅当即k=1时，有最小值为，
此时，向量与的夹角有最大值为。

………12分
略
22. 如图（甲），在直角梯形ABED中，，，，且，，
F、H、G分别为AC、AD、DE的中点，现将沿折起，使平面ACD⊥平面CBED，如图（乙）．
（1）求证：平面FHG∥平面ABE；
（2）若，求二面角D-AB-C的余弦值．
参考答案：
（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形为正方形，如图（乙），∵分别为的中点，∴．
∵，∴．
∵面，面．∴面．
同理可得面，
又∵,∴平面平面．
（2）这时，
从而，
过点作于，连结．
∵，∴面．
∵面，∴,∴面，
∵面，∴，
∴是二面角的平面角，
由得，∴，
在中．。