广东省中山市高三上学期期末数学试卷(理科)

广东省中山市高三上学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）(2016·安徽模拟) 已知z是纯虚数，i为虚数单位，在复平面内所对应的点在实轴上，那么z等于（）
A . 2i
B . i
C . ﹣i
D . ﹣2i
2. （2分）用数学归纳法证明不等式2n>n2时，第一步需要验证n0=_____时，不等式成立（）
A . 5
B . 2和4
C . 3
D . 1
3. （2分）已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）
A . 导函数为
B . 函数f（x）的图象关于直线对称
C . 函数f（x）在区间上是增函数
D . 函数f（x）的图象可由函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度得到
4. （2分） (2016高二下·市北期中) 给出下列四个结论，其中正确的是（）
A . 若，则a＜b
B . “a=3“是“直线l1：a2x+3y﹣1=0与直线l2：x﹣3y+2=0垂直”的充要条件
C . 在区间[0，1]上随机取一个数x，sin 的值介于0到之间的概率是
D . 对于命题P：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则¬P：∀x∈R均有x2+x+1＞0
5. （2分）如果执行右面的程序框图，输入正整数n=5，m=4，那么输出的p等于（）
A . 5
B . 10
C . 20
D . 120
6. （2分） (2018高三上·湖南月考) 在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，D是边AC上的一点，则
的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2015高三上·潮州期末) 已知函数f（x）=﹣ x3+2ax2+3x（a＞0）的导数f′（x）的最大值为5，则在函数f（x）图象上的点（1，f（1））处的切线方程是（）
A . 3x﹣15y+4=0
B . 15x﹣3y﹣2=0
C . 15x﹣3y+2=0
D . 3x﹣y+1=0
8. （2分）复数z满足条件：，那么z对应的点的轨迹是（）
A . 圆
B . 椭圆
C . 双曲线
D . 抛物线
9. （2分）(2020·海南模拟) 已知数列为等比数列，，数列的前项和为
，则等于（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2017·上饶模拟) 设点F是双曲线的右焦点，点F到渐近线的距离与双曲线的焦距之比为1：4，则双曲线的渐近线方程为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）(2017·东城模拟) 已知函数f（x）= ，则f（2+log23）的值为（）
A . 24
B . 16
C . 12
D . 8
12. （2分）定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2015高一下·兰考期中) 函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈[0， ]的最小值为________．
14. （1分） (2017高二上·大连开学考) 已知不等式对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是________．
15. （1分）(2017·潮南模拟) 已知函数f（x）= 有3个零点，则实数a的取值范围是________．
16. （1分） (2017高一下·丰台期末) 已知两条不重合的直线a，b和两个不重合的平面α，β，给出下列
命题：
①如果a∥α，b⊂α，那么a∥b；
②如果α∥β，b⊂α，那么b∥β；
③如果a⊥α，b⊂α，那么a⊥b；
④如果α⊥β，b⊂α，那么b⊥β．
上述结论中，正确结论的序号是________（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题 (共7题；共65分)
17. （10分）(2017·榆林模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若b= ，a+c=3，求△ABC的面积．
18. （15分） (2018高二下·温州期中) 已知数列的前项和为 ,且对任意
,都有 .
（1）求证:；
（2）若数列是单调递减数列,求实数的取值范围；
（3）若 ,求证: .
19. （10分） (2018高二上·黑龙江期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=
，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．
（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值;
（2）线段上是否存在一点 ,使得二面角的余弦值为 ?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20. （5分） (2017高三下·武邑期中) 设椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，点A（{2，）在椭圆上，且满足• =0．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，是否存在圆x2+y2=r2使得l恰好是该圆的切线，若存在，求出r；若不存在，说明理由．
21. （15分）(2016·商洛模拟) 已知函数f（x）=xlnx+a．
（1）若函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x，求实数a的值；
（2）设m＞0，当x∈[m，2m]时，求f（x）的最小值；
（3）求证：．
22. （5分）(2017·河西模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是
（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．
23. （5分）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|
（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、21-2、21-3、
22-1、
23-1、。