2019-2020学年高一下学期寒假练习卷(原开学考试)数学试题

高一寒假返校《指、对、幂函数，函数零点及应用》复习
班级________ 姓名_______
1.在(2)log (5)a y a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A.5a >或2a < B.25a << C.23a <<或35a <<
D.34a <<
2.已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A. 2a -
B. 52a -
C. 2
3(1)a a -+
D. 2
31a a --
3.函数2
()ln f x x x
=-的零点所在的大致区间是（ ） A. (1,2)
B. (2,3)
C. (,3)e
D. (,)e +∞
4.已知函数()2()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下图所示，则函数()x
g x a b =+的图象一定不过第_______象限.
5.已知函数3,[0,1],()93,(1,3].22
x x f x x x ⎧∈⎪
=⎨-∈⎪⎩当[0,1]t ∈时，(())[0,1]f f t ∈，则实数t 的取值范围是_______.
6.设x ∈R ||
1()2x f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
若不等式()(2)f x f x k +„对于任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围为
_______.
7.已知0a >，0b >，8ab =，则当a 的值为_____时，22log log (2)a b ⋅取得最大值. 8.已知函数22
log (1),0,
()2,
0.x x f x x x x +>⎧=⎨--⎩„，若函数()()g x f x m =-有3个零点则实数m 的取值范围是_______.
9.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x
f x x b =+-（b 为常数），则(1)f -的值为_______. 10.函数()(2)|6|f x x x =--在区间(,]a -∞上取得最小值-4，则实数a 的取值范围是_______.
11.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，2
5(02),16()11(2).2x
x x f x x ⎧⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩剟
若关于x 的方程2[()]()0(,)f x af x b a b ++=∈R 有且只有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是_______.
12.已知函数()f x 满足：当4x ≥时，1()2x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；当4x <时，()(1)f x f x =+.则()22log 3f +=______.
13.若函数()
22log y x ax a =--
在区间(,1-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______. 14.已知函数2
|ln |,0,
()41,0,
x x f x x x x >⎧=⎨++⎩… ()()g x f x a =- 若函数()g x 有四个零点，则a 的取值范围是______.
15.已知0x 是函数1
()21x
f x x
=+-的一个零点.若()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞，则下列各式中正确的是_______（填序号）
①()10f x <，()20f x <；②()10f x <，()20f x >；③()10f x >，()20f x <；④()10f x >，()20f x >. 16高为H ，容积为0V 的鱼缸的轴截面如图所示，现往空鱼缸中匀速注水，若鱼缸水深为h 时水的体积为V ，则函数()V f h =的大致图象是_______.
① ② ③ ④
17.
某校研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化。

老师讲课开始时学生的
兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散。

该小组发现注意力指标()f t 与上课时刻第t 分钟末的关系如下（(0,40]t ∈，设上课开始时，0t =）：
1
10
10060(010),()340(1020),
15640(2040)a t f t t t t ⎧⋅-<⎪⎪
=<⎨⎪-+<⎪⎩
„„„（0a >且1a ≠） 若上课后第5分钟末时的注意力指标为140. （1）求a 的值；
（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？ （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？
18.己知二次函数2
()f x ax bx =+（a ，b 为常数）满足条件(3)(5)f x f x -=-，且方程()f x x =有两个相等的根.
（1）求()f x 的解析式；
（2）是否存在实数m ，n （m n <），使()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]3,3m n ？如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由.
19.已知定义域为R 的函数12()22
x x b f x +-+=+是奇函数.
（1）求b 的值，并判断函数()f x 的单调性；
（2）若对任意的t ∈R ，不等式(
)(
)
2
2
220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.
20.已知函数()31x f x =-，1,13a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），函
数()()21
a
h x f x a =-
+有两个不同的零点3x ，4x （34x x <）. （1）若2
3
a =
，求1x 的值； （2）求2143x x x x -+-的最小值.
21.已知函数2
()21(0)g x ax ax b a =-++>的定义域为，值域为；设()
()g x f x x
=. （1）求a ，b 的值；
（2）若不等式()
220x x f k -⋅…在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）若(
)
2
213021
x x
f
k k -+⋅
-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 高一寒假返校《指、对、幂函数，函数零点及应用》复习
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.四
5. 3
7log ,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
6. [2,)+∞
7. 4
8. (0,1)
9.-3 10. [4,4+
11. 599,,1244⎛⎫⎛⎫
-
-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12. 124 13. [22]- 14. (0,1] 15.② 16.② 17解：（1）由题意得，当5t =时，()140f t =，即5
10
100a 60140⋅-=，解得4a =.
（2）(5)140f =，(35)1535640115f =-⨯+=，由于(5)(35)f f >，故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中.
（3）①当010t <„时，由（1）知，()140f t ≥的解集为[]5,10； ②当1020t <„时，()340140f t =>成立；
③当2040t <„时，15640140t -+≥，故100
203
t <„
. 综上所述，10053t 剟
，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持10085
533
-=（分钟）.
18.（1）由(3)(5)f x f x -=-，得对称轴为1x =，即12b a
-
=，又因为方程()f x x =，即2
(1)0ax b x +-=有两个相等的根，所以2
(1)0b -=，即1b =，12a =
·所以2
1()2
f x x x =-+. （2）假设存在实数m ，n ，使()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]3,3m n ，因为
221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，所以132n „，即1
6
n „，又函数()f x 的对称轴为1x =，且开口
向下，所以()f x 在[],m n 上单调递增，所以()3,()3,
f m m f n n =⎧⎨=⎩又m n <，所以4m =-，0n =，所以存在实数
4m =-，0n =满足题意.
19.（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即
1
0122
b b -=⇒=+， 所以11211
()22221
x x x f x +-==-+++，
设12x x <，则()()()()
21
121212112221212121
x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为函数2x y =在R 上是增函数且12x x <，所以21220x x
->， 又()()
1221210x
x
++>，所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >，
所以()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.
（2）由（1）得()f x 为减函数，因()f x 是奇函数，从而不等式()()
22220f t t f t k -+-<等价于
()()()
222222f t t f t k f k t -<--=-.因()f x 为减函数，由上式推出，2222t t k t ->-.即对一切t ∈R
有：2
320t t k -->，从而判别式141203
k k ∆=+<⇒<-
. 20.（1）当23a =
时，2()3103x g x =--=，即133x
=或53
，因为12x x <，所以11x =-. （2）由()310x
g x a =--=，31x
a =±因为12x x <，所以13log (1)x a =-，23log (1)x a =+，由
()31021x a h x a =--
=+，3121
x a
a =±+ 因为34x x <，所以33log 121a x a ⎛
⎫
=-
⎪+⎝
⎭
， 43log 121a x a ⎛
⎫=+ ⎪+⎝⎭
，因为
21433(1)121log (1)121a a a x x x x a a a ⎛
⎫++ ⎪
+⎝⎭-+-=⎛
⎫-- ⎪
+⎝⎭
3
13log 1a
a
+=-
34log 31a ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭
.
因为34log 31y a ⎛⎫=-
⎪-⎝⎭在1,13a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
上单调递增，所以当13a =时，2143x x x x -+-的最小值为1.
21. （1）2
()(1)1g x a x b a =-++-，因为0a >，所以()g x 在区间[]2,3上是增函数，故(2)1
(3)4g g =⎧⎨=⎩
，解
得1
a b =⎧⎨
=⎩.
（2）由已知可得1()2f x x x =+
-，所以()220x x f k -⋅…可化为12222
x x x k +-⋅…，化为2
111222x x k ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭
…，
则2
21k t t -+„，因为[1,1]x ∈-，故1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记2()21h t t t =-+，因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故min ()0h t =，所以k 的取值范围是(,0]-∞.
（3）当0x =时，210x
-=，所以0x =不是方程的解； 当0x ≠时，令21x t -=，则(0,)t ∈+∞，
原方程有三个不等的实数解可转化为2
(32)(21)0t t t k -+++=有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101t <<，
21t >，或101t <<，2=1t .
记2
()(32)(21)h t t t t k =-+++，则①210
(1)0
k h k +>⎧⎨
=-<⎩或②
210(1)03201
2k h k k ⎧
⎪+>⎪
=-=⎨⎪+⎪<<⎩
，解不等组①得0k >，而不等式组②无实数解所以实数k 的取值范围是(0,)+∞.。