矩阵分析课件

1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
13 3 1 3
x1 1
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,
n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,2
,n
a21
a22
a2
n
an1 a2
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
a11 a12
P
a21
a22
an1 an2
它的秩为0. 注：线性无关向量组的最大无关组即其自身！
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，
是一组线性无关的函数，其中 1,2 , ,n 为一
组互不相同的实数。
例 3 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
也是线性无关的。
例 4 实数域 R 上的线性空间空间 RR 中，函数组 1,cos2 x,cos 2x
是线性相关
cos 2x 2cos2 x 1
称为向量组的一个线性组合，k1，k2，, km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 ,, m和向量b,如果存在
一组数1， 2，, m，使
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
定义2 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不
3 (1, 2,1,1)T
3 (2,1,1, 2)T
4 (1, 1, 0,1)T
4 (1,3,1, 2)T
并求＝（x1,x2 ,x3 ,x4）在基
1, 2, 3, 4的坐标。
1 1 1 1
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1
1 1
2 1
1 0
0
1
1
1
2 0 2 1
(1, 2 , 3
, 4)
1 0
a1n
a2n
ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
1, 2, , n 1,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
提示ＰＸ＝０ 只有零解
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1, x2,
, xn
T
与
y1, y2,
, yn
T
，那么我们有：
(1,2,
,
4
1 1
1 0
,
与向量组
1
1 0
0 0
,
2
1 0
1 0
,
3
1 1
1 0
,
4
1 1
1 1
,
为其两组基，求从基 1,2 ,3,4 到基 1, 2, 3, 4的
过渡矩阵，
并求向量
A
1 3
2 4
在这两组基下的坐标。
解：容易计算出下面的矩阵表达式
1, 2, 3, 4 1,2,3,4
123
1 3
1
0 0
（2） 加法结合律 ( ) ( )
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0，使得对
于任意的 V 都有
0
（4） 负元素
对于 V 中的任意元素 都存
在一个元素 使得
0
（5） 1
记
（6） k(l) (kl) （7） (k l) k l
（8） k( ) k k
设元素x有两个负元素x1, x2
x x1 0, x x2 0 x1 x1 0 x1 (x x2 )
(x1 x) x2 0 x2 x2
二： 线性空间的基本概念及其性质
定义１
给
定向
量组A
:
1
,
2
,,
，对于任何一
m
组实数k1，k2，, km，向量
k11 k2 2 km m
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n（新的） 是 n维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为
第一章 线性空间和线性映射
第一节 线性空间 一： 线性空间的定义与例子
实数域R 复数域C
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集和 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
（1） 加法交换律
x2
1
x3 1
x4
4
1 3
2 3
1
1 3
例：在R[x]n中,1,x, x2 , , xn1与 1, x a, (x a)2, , (x a)n1为两组基， 求前一组基到后一组基的过渡矩阵. 解：x a＝ a11x (x a)2 a2 1 2a x 1 x2
(x a)n1 (a)n1 1 (n 1)(a)n2 x (n 1)(n 2) (a)n3 x2 xn1 2!
1 a a2
0
1
2a
P 0 0 1
0
(a)n1
(n 1)(a)n2
(n
1)(n
2)
(a)n3
2!
1
例：在R
4中，求由基1
,
2
,
3
,
到基
4
1, 2 , 3
,
的过渡矩阵
4
1 (1, 2, 1, 0)T
1 (2,1, 0,1)T
2 (1, 1,1,1)T
2 (0,1, 2, 2)T
V中的元素称 为向量
称这样的 V 为数域 F 上的线性空间。
例 1 全体实函数集合 RR 构成实数域 R上的
线性空间。 按函数的加法和数乘函数
例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成
的集合 mn 为 上的线性空间。
按矩阵的加法和数乘矩阵
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0 , 1 0 , 1 1
都是 R22的基。 R22 是4维线性空间。
例 3 实数域 R 上的线性空间 R[ x]n 中的向量组 1, x, x2,, xn
与向量组
1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n
都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0) 都是R3 的基。R3 是3维线性空间。
要验证：１．向量组 无关．２．任一向量 可以由它们表示．
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0
A线性表示,且表示式是唯一的.
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
A0 : 1,2 ,,r，满足 （1）向量组 A0 :1,2 ,,r线性无关；
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有 r 1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大 无关组）; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 的秩 . 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定
线性表出
k11 k22 knn
称1,2,,n为V的一组基； (k1, k2 , , kn )T
为称向V量为一个在n基维底线性1,空2间,， ,记为n下d的im坐V标。此n.时我们
１．向量的坐标是唯一的
２．向量的相关性与坐标的相关性一致
例 1 实数域 R 上的线性空间 R3 中向量组
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
1 2
1 1
3 1
1 2 2 2
(1, 2 , 3 , 4 ) (1,2,3,4 )P
2 0 2 1 1 1 1 1
1 1
1
3
2
1
2
1 P
0 2 1 1 1 1 1 0
1 2
2
2
0
1
1
1
1 0 0 1
P 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
是其两组基，求向量 坐标。
A
1 3
2 4 在这两组基下的
解：设向量 A 在第一组基下的坐标为 ( x1, x2 , x3, x4 )T
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1
1 1 1 1 x3 0 1 x4 1 0
解得
x1
7 3
,
例 6 在R中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R 上的线性空间。Cauchy条件是： 0,N 0, 使得对于 m,n N 都有
am an
例7 在 R中满足Hilbert条件的无限序列组成的
子集合不构成 R 上的线性空间。Hilbert条件是：
级数 an 2 收敛
全为零的数k1, k2 ,, km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
定理3 向量组 1,2 ,,（m当 m 时2 ）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
定理 4：设向量组A :1,2 ,,m线性无关,而向量 组B :1,,m ,b 线性相关,则向量 b必能由向量组
x1
,
n
)
x2
xn
(1, 2 ,
y1
,
n
)
y2
(1,
2
,
yn
y1
,
n
)
P
y2
yn
x1 y1
x2
P
y2
xn
yn
称上式为坐标变换公式。
例 1 在4维线性空间 R22 中，向量组
1
பைடு நூலகம்0 1
1 1
,
2
1 1
0 1
,
3
1 0
1 1
函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,,
sinn x,cosn x , n 4.
是线性相关的函数组。
sin4
x
1 2
(1
cos
2x)2
,
cos
2x
2
cos2
x
1
第二节 线性空间的基底，维数与坐标变换
定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间。如果在 V 中存在n 个线性无关的向量 1,2 , ,n 使得 V 中的任意一个向量 都可以由 1,2 , ,n
例8
n 1
在R
中有界的无限序列组成的子集也构成
R 上的线性空间。一个无限序列 [a1, a2, a3, ]
称为有界的，如果存在一个实数 r ， 使得
ai r,i 1,2,
定理1:线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的 负元素.
证 : 设01，02是两个零元素,则有 01 01 02 02
那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；
（6）等价的向量组秩相同。
例 1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
矩阵分析
教材：矩阵分析 史荣昌等编
参考书 矩阵分析引论 矩阵论
罗家洪编 程云鹏编
矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。 在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理， 系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化 技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切 的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和 发展。
本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。 它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门 课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特 别向量、矩阵、二次型的相关内容。