山东省青岛市2018-2019 学年九年级上期中测试数学试题

山东省青岛市2018-2019 学年九年级上期中测试数学试题
一、选择题
1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）
A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂
直．解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性
质．故选：D．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形
对角线平分的性质的理解．
2.一元二次方程1﹣x2+x＝0 的根的情况为（）
A．没有实数根B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根D．只有一个实数根
【分析】确定a、b、c 计算根的判别式，利用根的判别式直接得结
论．解：x2﹣x﹣1＝0
∵△＝1+4＝5＞0，
∴原方程有两个不相等的实数
根．故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式
△，△＝b2﹣4ac．
3.一个布袋内只装有1 个黑球和2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随
机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑
球的概率是（）
A． B． C．D．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
解：列表得：
∵共9 种等可能的结果，两次都是黑色的情况有 1 种，
∴两次摸出的球都是黑球的概率为，
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大．
4.正方形A BCD 在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形A BCD 绕点A顺时
针方向旋转180°后，B 点的坐标是（）
A．（2，0）B．C．（2，﹣1）D．（2，1）
【分析】依据题意画出图形，然后依据旋转的性质确定出点B′的坐标即可．解：如图所示：过点B′作B′E⊥x 轴，垂足为E．
由旋转的性质可知：OA＝AE＝1，OB＝BE′＝1，
∴点B′的租表为（2，﹣1）
．
．故选：C．
∴旋转后B 点的坐标是（2，﹣1）
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5.如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B、C 两点不重合），过点D
作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC 于E、F 两点，下列说法正确的是（）
A.若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形
B.若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形
C．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形
D．若AD⊥BC，则四边形AEDF 是矩形
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
解：A、若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形；正确；
B、若BD＝CD，则四边形AEDF 是平行四边形，不一定是菱形；错误；
C、若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是菱形，不一定是矩形；错误；
D、
若AD⊥BC，则四边形AEDF 是平行四边形，不一定是矩形；错误；故选：
A．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
6.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她
拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是50cm，镜面中心C 距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE 的高度等于（）
A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．解：由题意可得：AB＝1.5m，BC＝0.5m，DC＝4m，
△ABC∽△EDC，
则＝，
即＝，
解得：DE＝12，
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．7.如图，在△ABC 中，D、E 分别为AB、AC 边上的点，DE∥BC，点F 为BC
边上一点，连接A F 交D E 于点G，则下列结论中一定正确的是（）
A．B．C． D．【分析】依据相似三角形的性质和判断定理以及平行线分线段成比例定理进行判断即可．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△AEG∽△ACF，△AGD∽△AFB，＝，故B错误．
∴＝，＝＝，＝，
∴A 错误，C 正确，D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型．
8.一张矩形纸片A BCD，已知A B＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线
段D G 长为（）
A．B． C．1 D．2
【分析】首先根据折叠的性质求出DA′、CA′和DC′的长度，进而求出线段DG 的长度．
解：∵AB＝3，AD＝2，
∴DA′＝2，CA′＝1，
∴DC′＝1，
∵∠D＝45°，
∴DG＝DC′＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出DC′的长度．
二、填空题（本题满分18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分）
9.如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长
为2m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25 附近，由此可估计不规则区域的面积是 1 m2．
【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积
即可．
解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数 0.25 附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为 0.25， ∵正方形的边长为 2m ， ∴面积为 4m 2，
设不规则部分的面积为 s ， 则＝0.25， 解得：s ＝1， 故答案为：1．
【点评】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
10. 如图，菱形 A BCD 中，∠ADB ＝45°，B D ＝1，则菱形 A BCD 的周长为 ．
【分析】首先证明四边形 ABCD 是正方形，求出正方形的边长即可解决问题； 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°， ∴∠ADC ＝90°，
∴四边形 ABCD 是正方形， ∵BD ＝1，
∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝ ， ∴四边形 A BCD 的周长＝2，
故答案为 2
．
【点评】本题考查菱形的性质、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
11. 关于 x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+6x +k 2﹣k ＝0 的一个根是 0，则 k 的值是
0 ．
【分析】由于方程的一个根是 0，把 x ＝0 代入方程，求出 k 的值．因为方程是关于 x 的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是 0．
解：由于关于 x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+6x +k 2﹣k ＝0 的一个根是 0， 把 x ＝0 代入方程，得 k 2﹣k ＝0， 解得，k 1＝1，k 2＝0
当 k ＝1 时，由于二次项系数 k ﹣1＝0，
方程（k ﹣1）x 2+6x +k 2﹣k ＝0 不是关于 x 的二次方程，故 k ≠1． 所以 k 的值是 0． 故答案为：0
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定 k 的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于 0 这个条件．
12．如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A （2，4），B （6，0），O （0，0），以 原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A ′B ′O ， 已知点 B ′的坐标是（3，0），则点 A ′的坐标是 （1，2）
．
【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．
解：∵点 A 的坐标为（2，4），以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来 的，
∴点 A ′的坐标是（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握平面直角坐标系中，如果位似变
换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k 是解题的关键．
1
3.如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们要登部分的面积
是△ABC 面积的一半，若B C＝，则△ABC 移动的距离是．
【分析】移动的距离可以视为BE 或CF 的长度，根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC＝1：，推出EC 的长，利用线段的差求BE 的长．
解：∵△ABC 沿BC 边平移到△DEF 的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴＝（）2＝，
∴EC：BC＝1：，
∵BC＝，
∴EC＝，
∴BE＝BC﹣EC＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC 与阴影部分为相似三角形．
14.如图，在正方形ABCD 中，边长为2 的等边三角形AEF 的顶点E、F 分别在BC
和CD 上下列结论：①BE＝DF；②∠AEB＝75°；③CE＝2；④S
正方形ABCD
＝2+．其中正确答案的序号是①②④ （把你认为正确的都填上）．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；由△CEF 为等腰直角三角形可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE＝AF，
在R t△ABE 和R t△ADF 中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）
，
∴BE＝DF，
∴①说法正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，
∴②说法正确；
如图，∵△CEF 为等腰直角三角形，EF＝2，
∴CE＝．
∴③说法错误；
∵EF＝2，
∴CE＝CF＝，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF 中，
AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，
解得a＝，
则a2＝2+，
S 正方形A BCD＝2+，
④说法正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
三、作图题（本题满分4 分）用圆直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15．（4 分）如图，已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为a、b，求作：菱形ABCD．
【分析】此题应利用菱形对角线互相垂直平分的特点来作图；首先作AC＝a，然后作A C 的垂直平分线，交A B 于O，然后以O为圆心， b 长为半径作弧，交AC 的垂直平分线于B、D 两点，连接AB、BC、CD、AD，即可得出所求作的菱形．
解：如图所示
作法：1．作AC＝a，
2.作AC 的垂直平分线，交AB 于O，
3.以O为圆心， b 长为半径作弧，交A C 的垂直平分线于B、D 两点，连接
AB、BC、CD、AD，即可得出所求作的菱形．
【点评】此题主要利用了菱形的性质来作图，要求熟练掌握尺规作图的基本方法．四、解答题（本题共有9 道题，满分74 分）
16．（8 分）解方程
（1）x（x﹣1）＝﹣x
（2）
（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
【分析】
（2）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：
（1）整理得：4x2﹣1＝0，
（2x﹣1）＝0，
（2x+1）
2x+1＝0，2x﹣1＝0，x1
＝﹣，x2＝；
，解得：y1＝0，y2＝﹣．
（2）两边开方得：y+＝±（2y+）
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
17．（6 分）某冬令营今年计划招四个班的学生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红都报名参加了该冬令营，求小明和小红分在同一个班概率．
【分析】画出树状图，根据概率公式求解即可．解：
画树状图如下：
由树状图知，共有16 种等可能结果，其中小明和小红分在同一个班的结果有 4 种，
所以小明和小红分在同一个班的概率为＝．
【点评】本题考查的是列表法和树状法，熟记概率公式是解答此题的关键．18．（6 分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为
12dm2 时，裁掉的正方形边长多大？
【分析】由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案
解：设裁掉的正方形的边长为xdm 由
（6﹣2x）＝12即x2
题意可得（10﹣2x）
﹣8x+12＝0，
解得x＝2 或x＝6（舍去）
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2．
【点评】本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键．
19．（6 分）在△ABC 中，M 是AC 边上的一点，连接BM．将△ABC 沿AC 翻折，使点B 落在点D 处，当DM∥AB 时，求证：四边形ABMD 是菱形．
【分析】只要证明AB＝BM＝MD＝DA，即可解决问题．证
明：∵AB∥DM，
∴∠BAM＝∠AMD，
∵△ADC 是由△ABC 翻折得到，
∴∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM，
∴∠DAM＝∠AMD，
∴DA＝DM＝AB＝BM，
∴四边形ABMD 是菱形．
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是证明△ADM 是等腰三角形．
（8 分）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的20．
两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和等于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于13，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；（2）游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和为12 的情况、和为13 的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
解：（1）根据题意列表如下：
可见，两数和共有12 种等可能结果；
（2）由（1）可知，两数和共有12 种等可能的情况，其中和为12 的情况有 3 种，和为13 的情况有 2 种，
所以李燕获胜的概率为＝，刘凯获胜的概率为＝，
∵＞，
∴此游戏对双方不公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8 分）如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝2，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB、CD 边于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；
（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．
【分析】（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF 的长．
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝2，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE 和△DOF 中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA）
，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF 是平行四边形；
（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD⊥EF，设
BE＝x，则DE＝x，AE＝3﹣x，
在Rt△ADE 中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝22+（3﹣x）2，解
得：x＝，
∵BD＝＝＝，
∴OB＝BD＝，
∵BD⊥EF，
∴EO＝＝＝，
∴EF＝2EO＝．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．（10 分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据統计，2015 年利润为2 亿元，2017 年利润为3.38 亿元．
（1）求该企业从2015 年到2017 年利润的年平均增长率；
（2）若2018 年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018 年的利润能否超过 4.3 亿元？
（1）设该企业从2015 年到2017 年利润的年平均增长率为x，根据该企业2015 【分析】
年及2017 年的利润额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该企业2018 年的利润＝该企业2017 年的利润×（1+增长率），可求出该企业2018 年的利润，将其与4.3 亿元进行比较后即可得出结论．
解：（1）设该企业从2015 年到2017 年利润的年平均增长率为x，根
据题意得：2（1+x）2＝3.38，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：该企业从2015 年到2017 年利润的年平均增长率为30%．
（2）3.38×（1+30%）＝4.394（亿元），
∵4.394 亿元＞4.3 亿元，
∴该企业2018 年的利润能超过 4.3 亿元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据该企业2018 年的利润＝该企业2017 年的
，求出该企业2018 年的利润．
利润×（1+增长率）
23．（10 分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，在四边形ABCD 中，添加一个条件使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．
（3）如图2，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并将Rt△ABC 沿∠ABC 的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，
BC′．小红要使得平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段B′B 的长）？
【分析】（1）利用“等邻边四边形”的定义直接判断即可，
（2）利用平行四边形的判定和“等邻边四边形”的定义直接判断即可，
（3）利用“等邻边四边形”的定义和平移的性质（对应线段平行且相等），分四种情况（AA′＝AB，AA′＝A′C′，A′C′＝BC′，BC′＝AB）进行讨论计算即可．
（1）解：AB＝BC 或BC＝CD 或CD＝AD 或AD＝AB
（2）解：小红的结论正确．
理由如下：∵四边形的对角线互相平分，
∴这个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，
∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形，
（3）解：由∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，得：AC＝，
∵将Rt△ABC 平移得到Rt△A′B′C′，
∴BA′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝2，B′C′＝BC＝1，A′C′＝AC＝，
（I）如图1，当AA′＝AB 时，BB′＝AA′＝AB＝2，
（I I）如图2，当A A′＝A′C′时，BB′＝AA′＝AC′＝，
（I I I）当A C′＝BC′＝时，如图3，延长C′B′交A B 于点D，则C′B′⊥AB
∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′＝∠ABC＝45°
∴∠BB′D＝∠ABB′＝45°，
∴B ′D ＝BD ，
设 B ′D ＝BD ＝x ，则 C ′D ＝x +1，BB ′＝
x
∵根据在 Rt △BC ′D 中，BC ′2＝C ′D 2+BD 2 即 x 2+（x +1）2＝5 解得：x ＝1 或 x ＝﹣2（不合题意，舍去） ∴BB ′＝
，
（I V ） 当BC ′＝AB ＝2 时，如图4，与（III ）方法同理可得：x ＝
或x ＝，
x ＝
或 x ＝
（舍去）
∴BB ′＝ x ＝ ．
故应平移 2 或
或
或
．
【点评】本题是四边形的综合题，利用“等邻边四边形”的定义这个信息解决问题，涉及到了图形的平移的性质，得出 BB ′＝AA ′，A ′B ′∥AB ，A ′B ′ ＝AB ＝2，B ′C ′＝BC ＝1，A ′C ′＝AC ，角的平分线的性质，由 BB ′平分 ∠ABC 得到∠ABB ′＝∠ABC ＝45°，勾股定理，解题的关键是理解“等邻边四边形”的定义的前提下，结合已学知识会用它．
24．（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，直线 EF 从点 A 出发沿 AD 方向匀速运动，速度是 2cm /s ，运动过程中始终保持 EF ∥AC ．F 交 AD 于 E ，交 DC 于点 F ；同时，点 P 从点 C 出发沿 CB 方向匀速运动，速度是 1cm /s ，连接 PE 、PF ，设运动时间 t （s ）（0＜t ＜4）．
（1） 当 t ＝1 时，求 EF 长；
（2） 求 t 为何值时，四边形 EPCD 为矩形；
（3）
设△PEF 的面积为 S （cm 2），求出面积 S 关于时间 t 的表达式；
（4） 在运动过程中，是否存在某一时刻使 S △PC F ：S 矩形 ABCD
＝3：16？若存在， 求
出 t 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理知AC＝10，由题意得AE＝2，DE＝6，根据EF∥AC 知△DEF∽△DAC，据此得＝，代入计算即可；
（2）由DE∥CP 且∠D＝∠C 知DE＝CP 时，四边形EPCD 为矩形，据此求解可得；
证△DEF∽△DAC 得＝，据此求得D F＝6﹣t，CF＝t，根据S＝S 梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF 可得函数解析式；
（3）由S 矩形ABCD＝AB×AD＝48，且S△PCF：S 矩形ABCD＝3：16 知S△PCF＝9，再根＝t2 可得关于t的方程，解之可得．解：
据S
△PCF
（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴AC＝10cm，
当t＝1 时，AE＝2，
则DE＝6，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝；
（2）由题意知AE＝2t，CP＝t，则
DE＝8﹣2t，
∵四边形EPCD 是矩形，
∴DE＝CP，即8﹣2t＝t，
解得t＝，
故当t＝时，四边形EPCD 为矩形；
（3） ∵EF ∥AC ，
∴△DEF ∽△DAC ，
∴＝，即 ＝，
解得：DF ＝6﹣t ，
则 C F ＝CD ﹣DF ＝6﹣（6﹣t ）＝t ， 则
S ＝S 梯形 DEPC ﹣S △DEF ﹣S △PCF
＝×（8﹣2t +t ）×6﹣ ×（8﹣2t ）×（6﹣t ）﹣×t ×t
＝﹣t 2+9t ，
即 S ＝﹣t 2+9t （0＜t ＜4）；
（4） 存在，
∵S 矩形 ABCD ＝AB ×AD ＝48，且 S △PCF ：S 矩形 ABCD ＝3：16，
∴S △PCF ＝9，
又∵S △PCF ＝ ×t ×t ＝t 2，
∴t 2＝9，
解得：t ＝2
或 t ＝﹣2（舍）， ∴当 t ＝2时，S △PCF ：S 矩形 A BCD ＝3：16．
【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质及割补法求三角形的面积等知识点．。