中考数学 第8单元 几何变换、投影与视图 第32课时 轴

轴对称
1．[2009·北京] 如图J32－1，正方形纸片ABCD的边长为1，M，N分别是AD，BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E.若M，N分别是AD，BC边的中点，则A′N＝________；若M，N分别是AD，BC边上的距DC 最近的n(n≥2，且n为整数)等分点，则A′N＝________(用含有n的式子表示)．
图J32－1
2．[2008·北京] 已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC 交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图J32－2①所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′处．若点A′，B′，C′在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′(即图中阴影部分)为“重叠三角形”．
图J32－2
(1)如图②，若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形)，点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积；
(2)实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A′B′C′存在，试用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积，并写出m的取值范围(直接写
出结果，备用图供实验探究使用)．
图J32－3
1．[2015·门头沟二模] 在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
图J32－4
2．[2014·东城二模] 如图J32－5，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，将△BCD沿BD 翻折，点C落在斜边AB上，若AC＝12 cm，DC＝5 cm，则sin A＝________．
图J32－5
3．[2015·房山二模] 如图J32－6①，将长为20 cm，宽为2 cm的长方形白纸条，折成图②所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为________cm2.
图J32－6
4．[2015·昌平二模] 如图J32－7，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线交于点O.将△BCD 沿直线BD翻折，得到△BED.
(1)画出△BED，连接AE；
(2)求AE的长．
图J32－7
5．[2014·大兴二模] 我们定义：如图J32－8①，矩形MNPQ中，点K，O，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则称四边形KOGH为矩形MNPQ的反射四边形．如
图J32－8②、图③中四边形ABCD ，A ′B ′C ′D ′均为矩形，它们都是由32个边长为1的正方形组成的图形，点E ，F ，E ′，F ′分别在BC ，CD ，B ′C ′，C ′D ′边上，试利用正方形网格在图②、图③中分别画出矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′的反射四边形EFGH 和E ′F ′G ′H ′.
图J32－8
6．[2015·石景山二模] 阅读下面的材料：
小玲遇到这样一个问题：如图J32－9①，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，BC ＝2 2，AD ⊥BC 于点D ，求AD 的长．
图J32－9
小玲发现：如图②，分别以AB ，AC 为对称轴，分别作出△ABD ，△ACD 的轴对称图形，点D 的对称点分别为E ，F ，延长EB ，FC 交于点G ，得到正方形AEGF ，根据勾股定理和正方形的性质就能求出AD 的长．
请回答：BG 的长为________，AD 的长为________； 参考小玲思考问题的方法，解决问题：
如图J32－10，在平面直角坐标系xOy 中，点A ()3，0，B ()0，4，点P 是△OAB 的外角的角平分线AP 和BP 的交点，求点P 的坐标．
图J32－10
一、选择题
1．[2014·丰台一模] 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( ) A ．直角三角形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．等腰梯形
2．下列四个图形中，是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形有( )
图J32－11
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．下列三个函数：①y ＝x ＋1；②y ＝1x
；③y ＝x 2
－x ＋1，其图象既是轴对称图形，又是中
心对称图形的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
图J32－12
4．如图J32－12，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
5．如图J32－13所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点，把∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( )
图J32－13
A ．正三角形
B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形
6．如图J32－14，点P 是∠AOB 外的一点，点M ，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上．若PM ＝2.5 cm ，PN ＝3 cm ，MN ＝4 cm ，则线段QR 的长为( )
图J32－14
A ．4.5 cm
B ．5.5 cm
C ．6.5 cm
D ．7 cm
7．[2013·朝阳二模] 如图J32－15，将一张三角形纸片ABC 折叠，使点A 落在BC 边上，折痕EF ∥BC ，得到△EFG ；再继续将纸片沿△BEG 的对称轴EM 折叠，依照上述做法，再将△CFG 折叠，最终得到矩形EMNF ，折叠后的△EMG 和△FNG 的面积分别为1和2，则△ABC 的面积
为( )
图J32－15
A．6 B．9 C．12 D．18
二、填空题
8．如图J32－16，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有________种．
图J32－16
9．[2014·朝阳一模] 将一张半径为4的圆形纸片(如图J32－17①)连续对折两次后展开得折痕AB，CD，且AB⊥CD，垂足为M(如图②)，之后将纸片如图③翻折，使点B与点M重合，折痕EF与AB相交于点N，连接AE，AF(如图④)，则△AEF的面积是________．
图J32－17
10．[2014·怀柔二模] 如图J32－18(a)，有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝6 cm，以AD为直径的半圆正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图(b)．则半圆被覆盖部分(阴影部分)的面积为__________ cm2.
图J32－18
三、解答题
11．[2015·西城二模] 如图J32－19，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若∠B＝45°，∠FCE＝60°，AB＝6 2，求线段D′F的长．
图J32－19
12．如图J32－20①，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4.以OB为边，在△OAB 外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于点E.
(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2)如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
图J32－20
13．[2014·密云二模] 如图J32－21，将矩形纸片ABCD按如下顺序折叠：对折、展平，得折痕EF(如图J32－21①)；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处(如图②)，展平，得折痕GC(如图③)；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处(如图④)；沿GC′折叠(如图⑤)，展平，得折痕GH，GC′(如图⑥)．
(1)求图②中∠BCB′的大小；
(2)图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．
图J32－21
参考答案 北京真题演练 1.32
2n －1
n
[解析] 当M ，N 分别是AD ，BC 上的中点时，由题意，得BN ＝1
2
，
A ′
B ＝1，
由勾股定理求得A ′N ＝
12
－（12）2＝32
.
M ，N 分别是AD ，BC 边上的距DC 最近的n (n ≥2，且n 为整数)等分点，即把BC 分成n 等份，
BN 占(n －1)份，
∴BN ＝n －1n ，CN ＝1n
，
在Rt △A ′BN 中，根据勾股定理，得A ′N ＝12
－（
n －1n ）2＝2n －1
n
(n ≥2，且n 为整数)． 2．解：(1)∵每个小三角形的面积是
3
4
， ∴重叠三角形A ′B ′C ′的面积为 3.
(2)重叠的等边三角形A ′B ′C ′的边长为|8－m －m |＝|8－2m |， 面积是12·32
·|8－2m |2＝3(4－m )2
，
m 的取值范围为83
≤m <4.
北京模拟训练 1．C
2.5
7 [解析] 过点D 作DE ⊥AB 于点E . ∵△BCD 沿BD 翻折，点C 落在斜边AB 上， ∴∠ABD ＝∠CB D.
又∵∠C ＝90°，∴DE ＝D C. ∵DC ＝5 cm ，∴DE ＝5 cm.
∵AC ＝12 cm ，∴AD ＝12－5＝7(cm)，
∴在Rt △AED 中，sin A ＝DE AD ＝5
7
.
3．36
4．解：(1)如图，补全图形．
(2)如图，连接CE 交BD 于点F .
∵将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ， ∴BD 垂直平分CE .
∵矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，
∴∠BED ＝∠BCD ＝90°，DE ＝DC ＝AB ＝3，EB ＝BC ＝6， ∴BD ＝BE 2
＋DE 2
＝62
＋32
＝3 5，
∴OD ＝12BD ＝3
2 5.
∵cos ∠EDB ＝DF DE ＝
DE BD ，∴DF 3＝33 5，∴DF ＝3 5
5
，
∴OF ＝OD －DF ＝9
10
5.
∵BD 垂直平分CE ，O 为AC 的中点， ∴AE ＝2OF ＝9
5 5.
5．解：如图所示：
6．解：BG 的长为2，AD 的长为2＋ 2.
如图，过点P 分别作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，PE ⊥AB 于点E .
∵AP 和BP 是△OAB 的外角的角平分线， ∴∠EAP ＝∠CAP ，∠DBP ＝∠EBP ， ∴PC ＝PE ＝PD ，AC ＝AE ，BD ＝BE ， ∴四边形OCPD 是正方形， ∴OC ＝CP ＝PD ＝DO .
∵A ()3，0，B ()0，4， ∴AB ＝5，
∴OC ＋OD ＝OA ＋AB ＋BO ＝12，
∴OC ＝OD ＝6，∴CP ＝PD ＝6，∴P ()6，6. 北京自测训练 1．D 2.C 3.C
4．C [解析] 要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠1＝∠2. ∵∠2＋∠3＝90°，∠3＝30°，∴∠2＝60°，∴∠1＝60°.故选C. 5．A
6．A [解析] ∵点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上， ∴PM ＝MQ ，PN ＝NR .
∵PM ＝2.5 cm ，PN ＝3 cm ，MN ＝4 cm ，
∴RN ＝3 cm ，MQ ＝2.5 cm ，
NQ ＝MN －MQ ＝4－2.5＝1.5(cm)，
则线段QR 的长为RN ＋NQ ＝3＋1.5＝4.5(cm)．故选A.
7．C [解析] 根据翻折不变性，可得△EBM ≌△EGM ，△FCN ≌△FGN ，△AEF ≌△GEF ， 易得S △EMG ＋S △FNG ＝S △EFG ，
则S △ABC ＝4S △EG F ＝4×(1＋2)＝12. 8．3
9．12 3 [解析] 连接ME .由题意易得点A ，M ，N 在同一条直线上，BM ⊥EF ，MN ＝BN ＝1
2×
4＝2，EM ＝4.
∴EN ＝EM 2
－MN 2
＝2 3，
∴EF ＝2EN ＝4 3，AN ＝AM ＋MN ＝6，
∴△AEF 的面积为12EF ·AN ＝1
2
×4 3×6＝12 3.
10.⎝ ⎛⎭⎪⎫9
4 3＋32π [解析] 如图，设半圆的圆心为O ，半圆交DA ′于点K ，作OH ⊥DK 于点H ，
连接OK .
∵以AD 为直径的半圆正好与对边BC 相切， ∴AD ＝2CD ，∴A ′D ＝2CD .
∵∠C ＝90°，∴∠DA ′C ＝30°，∴∠ODH ＝30°. ∵OD ＝1
2AD ＝3 cm ，
∴OH ＝32 cm ，DH ＝3 32
cm.
又∵OH ⊥DK ，∴DK ＝2DH ＝3 3 cm ，∠DOK ＝2∠DOH ＝120°， ∴∠AOK ＝60°.
∵△ODK 的面积为12DK ·OH ＝12×3 3×32＝9 34
(cm 2
)，
∴阴影部分的面积＝S 扇形AOK ＋S △ODK ＝60π·32
360＋9 34＝(32π＋94
3)(cm 2
)．
11．解：(1)证明：如图．
∵点C 与点A 重合，折痕为EF ， ∴∠1＝∠2，AE ＝EC.
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE ＝AF ，
∴AF ＝E C.
又∵AF ∥EC ，
∴四边形AFCE 是平行四边形．
又∵AE ＝AF ，
∴四边形AFCE 为菱形．
(2)如图，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，则∠AGB ＝∠AGE ＝90°. ∵点D 的落点为点D ′，折痕为EF ，
∴D ′F ＝DF .
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ＝BC.
又∵AF ＝EC ，
∴AD －AF ＝BC －EC ，即DF ＝BE .
∵在Rt △AGB 中，∠AGB ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝6 2， ∴AG ＝GB ＝6.
∵四边形AFCE 为平行四边形，
∴AE ∥FC ，
∴∠4＝∠5＝60°.
∵在Rt △AGE 中，∠AGE ＝90°，∠4＝60°，
∴GE ＝AG
tan60°＝2 3，
∴BE ＝BG ＋GE ＝6＋2 3，
∴D ′F ＝6＋2 3.
12．解：(1)证明：在Rt △OAB 中，D 为OB 的中点，
∴DO ＝DA ，
∴∠DAO ＝∠DOA ＝30°.又∵∠EOA ＝90°，
∴∠AEO ＝60°.
又∵△OBC 为等边三角形，
∴∠BCO ＝∠AEO ＝60°，
∴BC ∥AE .
∵∠BAO ＝∠COA ＝90°，
∴OC ∥AB ，
∴四边形ABCE 是平行四边形．
(2)在Rt △ABO 中，
∵∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，AB ＝2，
∴OA ＝AB ·tan60°＝2×3＝2 3.
在Rt △OAG 中，OG 2＋OA 2＝AG 2，设OG ＝x ，
由折叠可知：AG ＝GC ＝4－x ，
可得x 2＋(2 3)2＝(4－x )2，
解得x ＝12，∴OG 的长为1
2.
13．解：(1)连接BB ′，由折叠知，直线EF 是线段BC 的对称轴，
∴BB ′＝B ′C.
又∵BC ＝B ′C ，
∴△B ′BC 是等边三角形，
∴∠BCB ′＝60°.
(2)△GCC ′是等边三角形．理由：
由折叠知，直线GH 是线段CC ′的对称轴， ∴GC ′＝GC.
由(1)知GC 平分∠BCB ′，
∴∠GCB ＝∠GCB ′＝12∠BCB ′＝30°，
∴∠GCC ′＝∠BCD －∠BCG ＝60°， ∴△GCC ′是等边三角形．。