高中数学新课标人教A版必修四归纳整合

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专 题 归 纳第二十五页，编辑于星解期一读：点 高十一分考。
7．(2011·重庆高考)设 a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋ cos2π2－x满足 f－π3＝f(0)，求函数 f(x)在4π，1214π上的最大值和 最小值． 解 f(x)＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝a2sin 2x－cos 2x. 由 f－π3＝f(0)得－ 23·a2＋12＝－1， 解得 a＝2 3. 因此 f(x)＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin2x－π6.
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专 题 归 纳第十八页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
命题趋势 本章内容虽然公式多，公式的变式、方法技巧多，但是公式间 的逻辑性较强，规律及变换原则较明确，通过近三年的高考看， 常以选择题、填空题和解答题的形式出现，其中小题往往单纯 考查三角函数式的变换、求值或化简，充分利用了两角和与差 的正、余弦公式和正切公式，以及倍角公式．大题则多与向量 相结合命题或利用化简后的结果再考查有关三角函数的性质， 题目难度以中、低档为主．
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专 题 归 纳第五页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
专题一 给值求值 给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关 键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法 是： (1)将待求式用已知三角函数表示． (2)将已知条件转化从而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决 此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间 角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或 两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
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专 题 归 纳第七页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
∴1＋sinco4sα2α＝21s＋in12＋α·cc2ooss 22αα＝2×1－＋213＋2213×13 ＝－4152.
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专 题 归 纳第八页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
专题二 三角函数式的化简与证明 三角函数的化简主要有以下几类：①化简与证明三角的和式， 基本思路是降幂、消项和逆用公式；②化简与证明三角的分式， 基本思路是分子与分母约分和逆用公式，最终变成整式或数值； ③化简与证明二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在 具体过程中体现的则是化归的思想，这是一个“化异为同”的 过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换， 即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化单角”、“复 角化复角”等具体手段．
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专 题 归 纳第一页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
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专 题 归 纳第二页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
要点归纳 1．本章的公式多不易记住，解决这个问题的最好办法就是掌握 每个公式的推导过程：首先用向量方法推导出 C(α－β)，再用 β 代替 C(α－β)中的－β 得到 C(α＋β)；接着用诱导公式 sin(α±β)＝ cos2π－α±β＝cosπ2－α∓β得到 S(α＋β)与 S(α－β)；将 S(α－β)除以 C(α－β)得到 T(α＋β)，将 S(α＋β)除以 C(α－β)得到 T(α－β)；将 S(α＋β)、C(α＋ β)、T(α＋β)中的 β 换为 α，得到 S2α、C2α、T2α.
当 sin2x＋π3＝－1 时，f(x)取得最小值－2；
当 sin2x＋π3＝1 时，f(x)取得最大值 2.
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专 题 归 纳第十四页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
(2)由(1)知 f(x)＝2sin2x＋π3，
又 g(x)＝fx＋3π，
∴g(x)＝2sin12x＋3π＋3π
＝2sin2x＋π2＝2cos
索的方法就是认真观察已知条件中的角与待求式中的角之间的
关系．
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专 题 归 纳第四页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
3．时刻注意考虑角的范围是避免解题出错的唯一方法，首先是 本章的某些公式中的角就有范围限制，如 tan 2α＝1－2tatnanα2α中的 α 的限制条件是 α≠kπ＋2π且 α≠k2π＋π4(k∈Z)；其次是题中的角 的范围也是有限制的．
＝1811－－12csions224xx＝81－－4csoisn242xx＝41＋－4ccooss242xx＝4＋12－1＋cosco4sx4x
＝213－＋ccooss44xx＝右边．∴原式得证．
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专 题 归 纳第十页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
法二 右边＝22＋21si＋n2c2oxs 4x＝282s＋in22xccooss222xx＝241si＋n2cxocos2s22xx＝
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专 题 归 纳第六页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
【例 1】 已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝16，且 α∈π2，π，求1＋sinco4sα2α 的值．
解 ∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16， ∴sinπ4＋α·cosπ4＋α＝16， sinπ2＋2α＝13，即 cos 2α＝13. 又 α∈2π，π，2α∈(π，2π)， ∴sin 2α＝－ 1－cos22α＝－ 1－132＝－232，
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专 题 归 纳第十二页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因造成的 函数定义域的变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的 定义域并在这个定义域内分析问题．(3)有时会以向量为背景出 题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识．
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专 题 归 纳第十三页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
x 2.
∵g(－x)＝2cos－2x＝2cos 2x＝g(x)，
∴函数 g(x)是偶函数．
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专 题 归 纳第十五页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
专题四 转化与化归的思想 本章以两角差的余弦公式为基础，利用换元法将两角和的余弦 公式转化为两角差的余弦公式的形式，即 α＋β＝α－(－β)，从 而推导出两角和的余弦公式，然后利用诱导公式实现正弦向余 弦的转化，推导出两角和(差)的正弦公式．以及二倍角公式的 推出都体现了转化与化归的思想．应用该思想解决了三角函数 式化简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题，也解决 了三角函数最值问题．
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专 题 归 纳第九页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
【例 2】 求证：tan2x＋tan12x＝213－＋ccooss44xx.
证明 法一 左边＝csoins22xx＋csoins22xx＝sisnin4x2＋xcocos2sx4x
＝sin2x＋cos142sxin22－2x2sin2xcos2x＝1－14s12insi2n22x2x
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专 题 归 纳第三页，编辑于星期一解：点读十一高分。 考
2．熟练掌握常用的角的变换，是提高解题速度、提高分析问题
和解决问题的能力的有效途径．常用的角的变换有：α＝2·α2、4α ＝2·2α、4π－α2＝2π－2 α、2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)、2β ＝(α＋β)－(α－β)＝(α＋β)＋(β－α)、α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)、 β＝α＋2 β－α－2 β、α＋2 β＝α－β2－α2－β、α－2 β＝α＋β2－α2＋β. 这些变换技巧需要同学们在平时解题的过程中多多摸索，而探
∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－－114＝－43.
答案 －43
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专 题 归 纳第二十四页，编辑于星解期一读：点 高十一分考。
6．(2010·北京高考)已知函数 f(x)＝2cos 2x＋sin2x. (1)求 f3π的值； (2)求 f(x)的最大值和最小值． 解 (1)f3π＝2cos 23π＋sin23π＝－1＋34＝－14. (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R. 因为 cos x∈[－1,1]， 所以，当 cos x＝±1 时，f(x)取最大值 2； 当 cos x＝0 时， f(x)取最小值－1.
sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2 2sin2xcos2x
＝
2sin4x＋cos4x 2sin2xcos2x
＝
tan2x
＋
1 tan2x
＝左边．
原式得证．
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专 题 归 纳第十一页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
专题三 三角恒等变换的综合应用 三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三 角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将 三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨 论其图象和性质．(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、 周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表 达式变形为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 等形式， 让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性 质和相关原理进行求解．
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专 题 归 纳第十六页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
【例 4】 已知 sinα－β2＝45，cosα2－β＝－1123， 且 α－β2和α2－β 分别为第二、第三象限角， 求 tan α＋2 β的值．
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专 题 归 纳第十七页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
解 依题意有 cosα－β2＝－35， sinα2－β＝－153， ∴tanα－β2＝－43，tanα2－β＝152， ∴tan α＋2 β＝tanα－2β－α2－β ＝1t＋antαan－αβ2－－β2ttaannα2α2－－ββ＝1－－4343－×151252＝－6136.
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专 题 归 纳第十九页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
高考真题
1．(2011·课标全国高考)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x
轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝( )．
A．－45
B．－35
3
4
C.5
D.5
解析 由题意知 tan θ＝2，且 θ 为第一或第三象限角，故 cos 2θ
＝ccooss22θθ－ ＋ssiinn22θθ＝11－＋ttaann22θθ＝11＋－2222＝－35.
答案 B
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专 题 归 纳第二十页，编辑于星期解一：读点 十高一分。考
2．(2010·福建高考)计算 1－2sin222.5°的结果等于( )．
1
2
A.2BΒιβλιοθήκη 23 C. 33 D. 2
解析
【例 3】
已知函数 f(x)＝2sin
x 4cos
4x＋
3cos
x 2.
(1)求函数 f(x)的最小正周期及最值；
(2)令 g(x)＝fx＋π3，判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由．
解
(1)∵f(x)＝sin 2x＋
x 3cos 2
＝2sin2x＋π3，∴f(x)的最小正周期 T＝21π＝4π. 2
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专 题 归 纳第二十六页，编辑于星解期一读：点 高十一分考。
当 x∈4π，π3时，2x－6π∈π3，π2，f(x)为增函数； 当 x∈3π，1214π时，2x－π6∈2π，34π，f(x)为减函数， 所以 f(x)在π4，1214π上的最大值为 f3π＝2. 又因为 fπ4＝ 3，f1214π＝ 2， 故 f(x)在π4，1214π上的最小值为 f1214π＝ 2.
1－tan2x
答案
4 9
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专 题 归 纳第二十三页，编辑于星解期一读：点 高十一分考。
5．(2011·全国高考)已知 α∈2π，π，sin α＝ 55，则 tan 2α＝
________.
解析 ∵sin α＝ 55，α∈π2，π，
∴cos α＝－ 1－sin2α＝－25 5，
∴tan α＝csoins αα＝－12，
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专 题 归 纳第二十二页，编辑于星解期一读：点 高十一分考。
4．(2011·江苏)已知 tanx＋4π＝2，则ttaann2xx的值为________． 解析 ∵tanx＋π4＝2，∴t1a－n xta＋n 1x＝2，∴tan x＝13.
∴ttaann2xx＝
tan x 2tan x
＝1－2tan2x＝1－2 19＝49.
1－2sin222.5°＝cos
45°＝
2 2.
答案 B
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专 题 归 纳第二十一页，编辑于星解期一读：点 高十一分考。
3．(2010·全国卷Ⅱ高考)已知 sin α＝23，则 cos(π－2α)等于( )．
A．－
5 3
B．－19
1 C.9
5 D. 3
解析 cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝－1－2×49＝－19. 答案 B