Wick型随机Boussinesq方程的精确解

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２Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程的白噪声泛函解
对方程（２）作Ｈｅｒｍｉｔｅ变换，得方程组
Ｌ，（ｚ，ｔ，２）＋Ｒｌ（￡，ｚ）Ｕ（ｚ，ｔ，）＋Ｒ２（￡，ｚ）Ｕ（ｘ，ｔ，）＋Ｒ３（￡，）（Ｕ。（，ｔ，））＝０，（３）
１变系数偏微分Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程
变系数偏微分Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程为
“
＋ｌ（￡）ｚ ‘ ＋ｒ２（ｔ）（）＋ｒ３（￡）（）＝０，
（１）
随机环境中的Ｗｉｃｋ型随机Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程为
第４６卷第３期２０１７年５月

内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－８７３５．２０１７．０３．００２
受随机扰动的非线性系统称为非线性随机波方程．带随机扰动的偏微分方程的研究，最早由日本学者Ｍ．Ｗａｄａｔｉ提出，之后人们做了大量的研究工作，得到许多行之有效的求非线性偏微分方程精确解的方法引．本文利用白噪声分析、Ｈｅｒｍｉｔｅ变换和双曲正切法，研究随机波方程中一类变系数偏微分Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程的精确解．
假设方程组（３）解的形式为（）＝口。＋ ∑口Ｆ（ｅ）．考虑到Ｒｉｃｃａｔｉ方程的解为
ｉ＝ｌ
＿ｃ０＋ｃ１Ｆ＋ｃ２
（６）
通过齐次平衡法平衡方程组（３）中最高非线性项与偏导项，得，ｌ＝２，方程组（３）解的形式可简化为
其中＝（２ｌ，２， … ）∈ ＣＮ是参数．
先解方程组（３）．记ｕ（ｘ，ｔ，ｚ）＝Ｕ（，ｔ，ｚ），ｒ１（￡，）＝Ｒｌ（，ｚ），ｒ２（￡，）＝Ｒ２（￡，），ｒ３（￡，２）一Ｒ３（ｔ，２），令
程，并在Ｋｏｎｄｒａｔｉｅｖ分布空间（Ｓ）一ｌ一上分别获得了变系数Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程和Ｗｉｃｋ型随机Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程的精
确解和白噪声泛函解．
关键词：Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程；白噪声泛函解；Ｗｉｃｋ型随机方程；Ｈｅｒｍｉｔｅ变换；双曲正切法中圈分类号：Ｏ２１１．６３文献标志码：Ａ文章编号：１００１ — ８７３５（２Ｏ１７）Ｏ３一Ｏ３１７一Ｏ５
（）＝ｎｏ＋ａ１Ｆ（）＋ａ２Ｆ（）．
（７）
由方程（５）及（６）式和（７）式，得
收稿日期ｌ２０１６ — ０６ — １１基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０６７１１６８）Ｉ河南省高等学校重点科研项目（１７ＢＩ１０００２）作者简介：吴娇（１９８２一），女，江苏徐州人，商丘学院讲师，硕士，主要从事随机可积方程研究．
ｕ（ｘ，ｔ，）一（），ｅ＝矗＋ｗｔ，（４）
其中志，为给定参数．把（４）式代人（３）式，得常微分方程
（叫。＋ｒｌ（￡，ｚ）ｋ）＋ｒ２（￡，ｚ）ｋ＋２ｒ３（ｔ，ｚ）ｋ。（）＋２ｒ３（￡，ｚ）ｋ一０．（５）
ＶｏＩ．４６ＮＯ．３
Ｍａｙ２０１７
Ｗｉｃｋ型随机Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程的精确解
吴娇，韩卫卫
（商丘学院，河南商丘４７６０００）
摘
要：利用白噪声分析、Ｈｅｒｍｉｔｅ变换和双曲正切法，研究随机波方程中一类变系数偏微分Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方
【，＋Ｒｌ（￡）【，＋Ｒ２（ｔ）（Ｕ）＋Ｒ。（ｔ）（【， ◇ 。）＝０，（２）
其中：◇ 表示Ｋｏｎｄｒａｔｉｅｖ分布空间（Ｓ）一广上的Ｗｉｃｋ积；Ｒｌ（ｔ），Ｒ２（ｔ），Ｒ３（￡）均为（Ｓ）一广值泛函．