(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题：专题七第二讲综合验收评估(北师大版)

一、选择题
1．极坐标方程ρ－1＝0(ρ≥0)表示的图形是
A．一条直线B．一条射线
C．一个圆D．半圆
解析由ρ－1＝0得ρ2＝1化为直角坐标方程为x2＋y2＝1,
又ρ≥0，故表示半圆．
答案D
2．参数方程错误!（θ为参数)所表示的图形是
A．直线B．射线
C．圆D．半圆
解析把参数方程化为普通方程为
(x－1)2＋（y＋2）2＝1.故参数方程表示圆．
答案C
3．已知曲线错误!(θ为参数）与直线x＝a有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是
A．a≥1 B．0＜a≤1
C.错误!≤a≤1 D．0≤a≤1
解析错误!（θ为参数)为抛物线y2＝x(0≤x≤1),借助图象（如图)
观察易得0＜a≤1.
答案B
4．在极坐标系中，若过点A（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A、B两点，则｜AB｜等于
A．2错误! B.错误!
C．2 D．1
解析曲线ρ＝4cos θ可转化为（x－2）2＋y2＝4,则圆心(2,0）到直线x＝3的距离是1,所以｜AB｜＝2错误!＝2错误!。

答案A
5．（2011·中山模拟）设直线的参数方程为错误!(t为参数）．这条直线与两坐标轴所围成的三角形周长是
A．3错误!B．14
C．12＋310 D．12＋46
解析把参数方程消去t整理得直线的截距式方程为x
3
＋错误!＝
1，
故所求的周长为3＋9＋错误!＝12＋3错误!。

答案C
6．(2011·安徽)在极坐标系中,点错误!到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为
A．2 B。

错误!
C.错误!D。

错误!
解析极坐标系中的点错误!化为平面直角坐标系中的点为（1，
错误!)；极坐标系中的圆ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x2＋y2＝2x,即（x－1)2＋y2＝1，其圆心为（1,0)．
∴所求两点间的距离为错误!＝错误!.
答案D
二、填空题
7．在直角坐标系xOy中，已知点C（－3，－错误!),若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标（ρ，θ）（ρ＞0，－π＜θ＜0)可写为________．
解析由题意知，ρ＝2错误!，θ＝－错误!。

答案错误!
8．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ所表示的曲线的直角坐标方程是________．
解析由ρ2＝x2＋y2,x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得曲线的直角坐标方程为x2＋y2－2x－y＝0.
答案x2＋y2－2x－y＝0
9．直线错误!(t为参数)与圆错误!（φ为参数）相切，则此直线的倾斜角α＝________.
解析直线:y＝x·tan α，圆：(x－4）2＋y2＝4,如图,
sin α＝2
4
＝错误!，∴α＝错误!或错误!π。

答案错误!或错误!π
三、解答题
10．已知直线l：3x＋4y－12＝0与圆C:错误!(θ为参数），试判断它们的公共点个数．
解析圆的方程可化为(x＋1）2＋（y－2)2＝4,
其圆心为C(－1，2)，半径为2。

由于圆心到直线l的距离d＝错误!＝错误!＜2，
故直线l与圆C的公共点个数为2.
11．求椭圆错误!＋错误!＝1(a＞0，b＞0)的内接矩形的最大面积．解析设内接矩形在第一象限内的顶点为P（a cos θ，b sin θ)，P 点在两轴上的投影分别为A、B，则S内接矩形＝4S矩形OAPB＝4·a cos θ·b sin θ＝2ab sin 2θ.
因为θ∈错误!，所以2θ∈（0，π)，
故S内接矩形的最大值为2ab。

12．（2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为错误!(φ为参数），曲线C2的参数方程为错误!(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1,C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2,当α＝错误!时，这两个交点重合．
（1）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
（2）设当α＝错误!时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1.当α＝－
错误!时,l与C1,C2的交点分别为A2,B2，求四边形A1A2B2B1的面积．解析（1）C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1，0），（a,0），
因为这两点间的距离为2，所以a＝3。

当α＝错误!时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0,1)，(0，b)，
因为这两点重合,所以b＝1。

(2）C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和错误!＋y2＝1.
当α＝错误!时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝错误!，与C2交点B1的横坐标为x′＝错误!。

当α＝－错误!时，射线l与C1,C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为错误!＝错误!。

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