数学八年级上册 【几何模型三角形轴对称】试卷达标检测卷(Word版 含解析)

数学八年级上册 【几何模型三角形轴对称】试卷达标检测卷（Word 版 含解
析）
一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．
（1）求边AD 的长；
（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．
【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜
103)；（2）1769
或32 【解析】
【分析】
（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；
（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；
（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．
【详解】
（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H
∵∠C=45°，DH ⊥BC
∴△DHC 是等腰直角三角形
∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°
∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8
∴HC=8
∴BH=BC －HC=6
∴AD=6
（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G
∵EF ∥AD,∴EF ∥BC
∴∠EFP=∠C=45°
∵EP ⊥PF ∴△EPF 是等腰直角三角形
同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形
∵AE=x
∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x
∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF
∴PQ=()162
x + 同理，PR=
12y ∵AB=8，∴EB=8－x
∵EB=QR
∴8－x=
()11622
x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103
当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值
则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1
∴1≤x ＜103
（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形
∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=
83=AE ∴188176662339
ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：
与（2）相同，可得y=3x －10
则当y=2时，x=4，即AE=4
∴()16644322
ABCD S =
⨯++⨯=梯形 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．
2．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=20 cm ．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P ，点Q 的速度都是2 cm/s ，当点P 第一次到达B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．
（1）∠A=______度；
（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值；
（3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值．
【答案】（1）60；（2）
103或203
；（3）5或20 【解析】
【分析】 (1)根据等边三角形的性质即可解答；
（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；
（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形.
【详解】
解：（1）60°．
（2）∵∠A=60°，
当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°．
∴QA=2PA ．
即2022 2.t t -=⨯
解得 10.3
t = 当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°．
∴PA=2QA ．
即2(202)2.t t -=
解得 20.3
t = ∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为
102033或． （3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t
∵∠A=60°
∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形
∴2t=20-2t ，解得t=5
②当P 于B 重合，Q 与C 重合，则所用时间为：4÷2=20
综上，当△APQ 为等边三角形时，t=5或20．
【点睛】
本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.
3．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC 边上的中线AD 的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE.根据SAS 可证得到△ADC ≌△EDB ，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是 ．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.
（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；
（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到
∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明
△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.
（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=8，
∵AB=12，
∴12-8＜AE＜12+8，
即4＜AE＜20，
∵D为AE中点
∴2＜AD＜10；
（2）延长AF到H，使AF=HF，
由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，
∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAD=180°，
又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，
∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，
∴∠ACH+∠CAD=180°，
故∠BAE= ACH，
又AB=AC，AD=AE
∴△BAE≌△ACH（SAS），
故BE=AH,又AH=2AF
∴BE= 2AF.
（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：
延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，
由题意得△DBF≌△ADG，
∴FD=GD，BF=AG,
∵DE⊥DF，
∴DE垂直平分GF,
∴EF=EG,
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
又∠B=∠DAG，
∴∠DAG +∠CAB=90°
∴∠EAG=90°，
故EG2=AE2+AG2，
∵EF=EG, BF=AG
∴EF2=AE2+BF2，
则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.
4．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.
(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出
∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出
∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.
【详解】
解：（1）连结AD ,
∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,
∴AD⊥BC ,BD=AD ,
∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,
又∵BE=AF ,
∴△BDE≌△ADF（SAS）,
∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
（2）连结AD
∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,
∴AD=BD ,AD⊥BC ,
∴∠DAC=∠ABD=45° ,
∴∠DAF=∠DBE=135°,
又∵AF=BE ,
∴△DAF ≌△DBE （SAS ）,
∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF 为等腰直角三角形.
【点睛】
本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
5．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD 上一点，连接CE ，CED ABD ∠=∠，过点A 作AG CE ⊥，垂足为G ，交ED 于点F ．
(1)求证：2FAD ABD ∠=∠；
(2)如图2，若AC CE =，点D 为AC 的中点，求证：AB AC =；
(3)在(2)的条件下，如图3，若3EF =，求线段DF 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质可得90ADB ABD ∠=︒-∠，90EFG CED ∠=︒-∠，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；
（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF ∠=∠，进而可得AF AD =，BFA CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明ABF ∆≌CED ∆，可得AB CE =，进一步即可证得结论；
（3）连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45AED ∠=︒，进而可得
AE AH =，然后即可根据SAS 证明△ABE ≌△ACH ，进一步即可推出90CHD ∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，易证△AKD ≌△CHD ，可得DK DH =，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF =2EF ，问题即得解决．
【详解】
（1）证明：如图1，90BAC ∠=︒，90ADB ABD ∴∠=︒-∠，
AG CE ⊥，90FGE ∴∠=︒，90EFG AFD CED ∴∠=∠=︒-∠，
180FAD AFD ADF CED ABD ∴∠=︒-∠-∠=∠+∠，
CED ABD ∠=∠，2FAD ABD ∴∠=∠；
（2）证明：如图2，90AFD CED ∠=︒-∠，90ADB ABD ∠=︒-∠，
CED ABD ∠=∠，
AFD ADF ∴∠=∠，AF AD ∴=，BFA CDE ∠=∠，
∵点D 为AC 的中点，∴AD=CD ，AF CD ∴=，
ABF ∴∆≌CED ∆（AAS ），AB CE ∴=，
CE AC =，AB AC ∴=；
（3）解：连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4． 90BAC ∠=︒，BAE CAH ∴∠=∠，
设ABD CED α∠=∠=，则2,902FAD ACG αα∠=∠=︒-，
CA CE =，45AEC EAC α∴∠=∠=︒+，
45AED ∴∠=︒，45AHE ∴∠=︒，AE AH ∴=，
AB AC =，∴△ABE ≌△ACH （SAS ），
135AEB AHC ∴∠=∠=︒，90CHD ∴∠=︒，
过点A 作AK ED ⊥于K ，90AKD CHD ∴∠=∠=︒，
AD CD =，ADK CDH ∠=∠，
∴△AKD ≌△CHD （AAS ），DK DH ∴=，
∵,,AK DF AF AD AE AH ⊥==，
,FK DK EK HK ∴==，
3DH EF ∴==，6DF ∴=．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．
6．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且
AD=AE，连接DE．
⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设
∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．
【详解】
解： (1)∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110° ，
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE ，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；
(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18° ，
∴∠E=75°−18°=57°，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ，
∴∠BAD=36°.
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴y x y x ααβ=+⎧⎨=-+⎩
①② -②得，2α﹣β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α
∴+y x y x ααβ=+⎧⎨=+⎩
①② -①得，α=β﹣α，
∴2α=β；
③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α
∴180180y x y x αβα-++=⎧⎨++=⎩①②
-①得，2α﹣β=0，
∴2α=β．
综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角
等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
7．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线
．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有
∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出
△ACD≌△BCE同样可以得出结论．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．
∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM
1
2
=∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．
（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角
形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD ＝∠BCE．
在△ADC和△BEC中，∵
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．理由如下：
①
当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．
∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即
11603022
BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ． 在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°．
由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
③当点D 在线段MA 的延长线上时．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ．
由（1）
得：∠CAM ＝30°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝150°，∴∠CBO ＝30°，∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
综上所述：当动点D 在直线AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全
等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
8．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？
（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形
△AMN？
（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）12
5
；（2）
48
5
；（3）点M、N运动3秒或
12
7
秒或10秒或9秒后，
△AMN为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；
（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；
（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】
（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒
则有：2t＝12﹣3t
解得t＝12 5
故点M、N运动12
5
秒后，△AMN是等边三角形；
（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN
则有：2t﹣12＝36﹣3t
解得t＝48 5
故运动48
5
秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；
（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图
∵∠A＝60°
∴∠AMN＝30°
∴AM＝2AN
则有2t＝2（12﹣3t）
∴t＝3；
②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图
∵∠A＝60°
∴∠ANM＝30°
∴2AM＝AN
∴4t＝12﹣3t
∴t＝12
7
；
③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图
CN＝3t﹣24＝6
解得t＝10；
④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，如图
此时2t＝12+6
解得t＝9；
综上所述，点M 、N 运动3秒或
127秒或10秒或9秒后，△AMN 为直角三角形． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
9．如图，在 ABC 中，已知 AB AC =，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AB 边上一动点，点 P 是 AD 上的一个动点．
（1）若 37BAD ∠=，求 ACB ∠ 的度数；
（2）若 6BC =，4AD =，5AB =，且 CE AB ⊥ 时，求 CE 的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出 BP EP + 的最小值．
【答案】（1）53ACB ∠=．（2）245CE =
．（3） 245. 【解析】
【分析】
（1）由已知得出三角形ABC 是等腰三角形，ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线，有AD BC ⊥，求出ABC ∠的度数，即可得出ACB ∠的度数.
（2）根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长 （3）连接CP ，有BP=CP ，BP+EP=EP+CP ，当点E ，P ，C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值，即CE 的长度.
【详解】
解：（1）
AB AC =，
ACB ABC ∴∠=∠，
AD 是 BC 边上的中线， 90ADB ∴∠=，
37BAD ∠=，
903753ABC ∴∠=-=，
53ACB ∴∠=．
（2）
CE AB ⊥，
1122
ABC S BC AD AB CE ∴=⋅=⋅， 6BC =，4=AD ，5AB =，
245CE ∴=
． （3） 245
【点睛】
本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式等，充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.
10．（阅读理解）
截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.
（1）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.
解题思路：延长DC 到点E ，使CE ＝B D ．连接AE ，根据∠BAC ＋∠BDC ＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE ,易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD ＝DE ，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.
根据上述解题思路，请直接写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是___________
（拓展延伸）
（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝A C ．若点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由;
（知识应用）
（3）如图3,一副三角尺斜边长都为14cm ，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ 的长为________cm.
【答案】（1）DA DB DC =+；（22DA DB DC =+，理由见详解；（3）7276+ 【解析】
【分析】
（1）由等边三角形知,60AB AC BAC ︒=∠=，结合120BDC ︒∠=知
180ABD ACD ︒∠+∠=，则ABD ACE ∠=∠证得ABD ACE ≅得
,AD AE BAD CAE =∠=∠,再证明三角形ADE 是等边三角形，等量代换可得结论；
（2） 同理可证ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠，由勾股定理得
222DA AE DE +=，等量代换即得结论；
（3）由直角三角形的性质可得QN 的长，由勾股定理可得MQ 的长，由（2）知2PQ QN QM =+，由此可求得PQ 长.
【详解】
解：（1）延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，
ABC 是等边三角形
,60AB AC BAC ︒∴=∠=
120BDC ︒∠=
180ABD ACD ︒∴∠+∠=
又180ACE ACD ︒∠+∠=
ABD ACE ∴∠=∠
()ABD ACE SAS ∴≅
,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠
60BAC ︒∠=
60BAD DAC ︒∴∠+∠=
60DAE DAC CAE ︒∴∠=∠+∠=
ADE ∴是等边三角形
DA DE DC CE DC DB ∴==+=+
（2）2DA DB DC =+
延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，
90BAC ︒∠=，90BDC ︒∠=
180ABD ACD ︒∴∠+∠=
又180ACE ACD ︒∠+∠=
ABD ACE ∴∠=∠
,AB AC CE BD == ()ABD ACE SAS ∴≅
,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠
90DAE BAC ︒∴∠=∠=
222DA AE DE ∴+=
222()DA DB DC ∴=+
2DA DB DC ∴=+ （3）连接PQ ，
14,30MN QMN ︒=∠=
172QN MN ∴== 根据勾股定理得222214714773MQ MN QN =-=-== 由（22PQ QN QM =+
773727622
PQ ++∴=== 【点睛】
此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.。