2016北京邮电大学《矩阵分析与应用》期末试题_共7页

北京邮电大学
《矩阵分析与应用》期末考试试题（A 卷）
2015／2016学年第一学期（2016年1月17日）
注意：每题十分，按中间过程给分，只有最终结果无过程的不给分。

一、已知的两组基：
22R ⨯，，，；111000E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦120100E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦210010E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦220001E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，，，。

111000F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦121100F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦211110F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦221111F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
求由基到的过渡矩阵，并求矩阵
11122122,,,E E E E 11122122,,,F F F F 在基下的坐标。

3542A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
11122122,,,F F F F 二、假定是的一组基，试求由，123x x x ，，3
R 112323y x x x =-+，；生成的子空间
2123232y x x x =++312413y x x =+的基。

()123,,L y y y 三、求下列矩阵的Jordan 标准型
（1） （2）1000210013202311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3100-4-1007121-7-6-1
0B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、设是的任意两个向量,
矩阵()()123123,,,,,x y ξξξηηη==3R ，定义 210=120001A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(),T x y xAy =(1) 证明在该定义下构成欧氏空间;
n R (2) 求中由基向量的度量矩阵;
3R ()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1x x x ===五、设是欧氏空间中的单位向量，，定义变换
y V x V ∈2(,)Tx x y x y
=-证明：是正交变换。

T
六、求矩阵和的。

[]=132A -1=203j B j -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
12,,∞g g g 七、求证：若A 为实反对称矩阵( A T = - A) , 则e
A 为正交矩阵。

证：由知
L ++++=3
2!31
!21
A A A I A e ，于是有
()A A A -==e e e T T
所以
e
A 是正交矩阵。

八、设，求e A , e t A (t ∈R ), sin A
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡
=010100012A 解：
九、什么是矩阵的QR 分解？求矩阵的QR 分解。

011110101⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A QR 分解有很多种方法可以得到，下面给出两种，但不排除还有其他方法：
（1）初等旋转变换
（2）Schmidt 正交化
十、求矩阵的奇异值分解。

⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡
=111001A。