备战中考数学圆的综合的综合复习附详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点．
()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______；
()2如图②，若m 6=．
①求C ∠的正切值；
②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积．
【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3
4
；ABC
S 27=②或
432
25
. 【解析】 【分析】
()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论；
()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结
论；
②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
【详解】
()1如图1，连接OB ，OA ，
OB OC 5∴==， AB m 5==， OB OC AB ∴==， AOB ∴是等边三角形，
AOB 60∠∴=，
1
ACB AOB 302
∠∠∴==，
故答案为30；
()2①如图2，连接AO 并延长交
O 于D ，连接BD ，
AD 为O 的直径，
AD 10∴=，ABD 90∠=，
在Rt ABD 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=，
AB 3
tan ADB BD 4
∠∴=
=， C ADB ∠∠=，
C ∠∴的正切值为3
4
；
②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，
AC BC =，AO BO =， CE ∴为AB 的垂直平分线， AE BE 3∴==，
在Rt AEO 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=， CE OE OC 9∴=+=，
ABC 11
S AB CE 692722
∴=⨯=⨯⨯=；
Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，
连接OA 交BC 于F ，
AC AB =，OC OB =， AO ∴是BC 的垂直平分线， 过点O 作OG AB ⊥于G ，
1AOG AOB 2∠∠∴=，1
AG AB 32
==，
AOB 2ACB ∠∠=， ACF AOG ∠∠∴=，
在Rt AOG 中，AG 3
sin AOG AC 5
∠=
=， 3
sin ACF 5
∠∴=，
在Rt ACF 中，3
sin ACF 5
∠=，
318
AF AC 55∴==，
24
CF 5∴=，
ABC 111824432
S AF BC 225525
∴=⨯=⨯⨯=；
Ⅲ、当BA BC 6==时，如图5，由对称性知，ABC
432
S
25
=
．
【点睛】
圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
2．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出
∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.
试题解析：（1）连接CD,如图,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
即∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，
∴PA是⊙O的切线；
（2）∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，
∴∠ACF=∠D，
∴∠ACF=∠B，
而∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC，
∴AC：AB=AG：AC，
∴AC2=AG•AB=12，
∴AC=23．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E
(1) 求证：BE是⊙O的切线
(2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA
【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA
3 5
【解析】
分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即
∠EBF=90°，可得出结论.
（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.
详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD
∵BD＝BA，OA＝OD
∴BF为线段AD的垂直平分线
∵AC为⊙O的直径
∴∠ADC＝90°
∵BE⊥DC
∴四边形BEDF为矩形
∴∠EBF＝90°
∴BE是⊙O的切线
(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点
∴OF＝1
2CD＝
3
2
∵BF＝DE＝1＋3＝4
∴OB＝OD＝
35 4
22 -=
∴
cos∠DBA＝cos∠DOF＝
3
3
2
55
2
OF
OD
==
点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.
4．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．
（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若sin∠ABE=
3
3
，CD=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O的半径为3
．
【解析】
分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．详解：（1）直线BE与⊙O相切．理由如下：
连接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE．
又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED，
∵矩形ABDC，∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠OED+∠AEB=90°，∴∠BEO=90°，∴直线BE与⊙O相切；
（2）连接EF，方法1：
∵四边形ABCD是矩形，CD=2，∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2．
∵∠ABE=∠DBC，∴sin∠CBD=
3
3 sin ABE
∠=
∴23DC
BD sin CBD
∠=
=，
在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴22222
DC AE AE
AE BC AB ，，=∴=∴=， 由勾股定理求得6BE =
．
在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．
设⊙O 的半径为r ，则222
623r r +=-（）（）
，∴r =3
2
， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3
3
sin ABE ∠=． 设3DC x BD x ==
，，则2BC x =．
∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴22222
DC AE AE
AE BC AB ，，=∴=∴=， ∴E 为AD 中点．
∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD =
=，∴⊙O 的半径为3
2
．
点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．
5．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .
(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝
3
，求FC 的长．
【答案】（1）见解析
分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．
详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.
∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.
又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，
∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，
∴FC⊥OC，
∴FC是⊙O切线．
(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=
AE
43 tan ACE3
∠
==
，
设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.
在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，
即r2＝(r－4)2＋(43)2，解得r＝8.
∴OE＝r－4＝4＝AE.
∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.
在Rt△FOC中，
∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，
∴OF＝2OC＝16，
∴FC＝22
OF OC83
-=.
点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．
6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC 交AC于点E，交PC于点F，连结AF．
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若AC＝24，AF＝15，求sin B．
【答案】(1) AF与⊙O相切理由见解析；（2）3 5
试题分析：（1）连接OC ，先证∠OCF =90°，再证明△OAF ≌△OCF ，得出∠OAF =∠OCF =90°即可；
（2）先求出AE 、EF ，再证明△OAE ∽△AFE ，得出比例式OA AE
AF EF
=，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论． 试题解析：解：（1）AF 与⊙O 相切．理由如下：
连接OC ．如图所示．∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∴∠OCF =90°．∵OF ∥BC ，∴∠B =∠AOF ，∠OCB =∠COF ．∵OB =OC ，∴∠B =∠OCB ，∴∠AOF =∠COF ．在△OAF 和△OCF 中，∵OA =OC ，∠AOF =∠COF ，OF =OF ，∴△OAF ≌△OCF （SAS ），∴∠OAF =∠OCF =90°，∴AF 与⊙O 相切；
（2）∵△OAF ≌△OCF ，∴∠OAE =∠COE ，∴OE ⊥AC ，AE =
1
2
AC =12，∴EF =2215129-=．∵∠OAF =90°，∴△OAE ∽△AFE ，∴OA AE AF EF =，即12
159
OA =，∴OA =20，∴AB =40，sin B =
243
405
AC AB ==．
点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．
7．（1）问题背景
如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AB=AC ，P 为BmC 上一动点（不与B ，C 重2PA=PB+PC ．
小明同学观察到图中自点A 出发有三条线段AB ，AP ，AC ，且AB=AC ，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
第一步：将△PAC 绕着点A 顺时针旋转90°至△QAB （如图①）； 第二步：证明Q ，B ，P 三点共线，进而原题得证． 请你根据小明同学的思考过程完成证明过程． （2）类比迁移
如图②，⊙O 的半径为3，点A ，B 在⊙O 上，C 为⊙O 内一点，AB=AC ，AB ⊥AC ，垂足为A ，求OC 的最小值． （3）拓展延伸
如图③，⊙O 的半径为3，点A ，B 在⊙O 上，C 为⊙O 内一点，AB=
4
3
AC ，AB ⊥AC ，垂足
为A，则OC的最小值为．
【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是32﹣3；（3）3
2
．
【解析】
试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；
（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=4
3
OA，连接OQ，
BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=4
3
OC，当BQ最小时，OC最小；
试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；
∵BC是直径，∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，
由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，
∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，
∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，
∴QP=2AP=QB+BP=PC+PB，∴2AP=PC+PB．
（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，
∵AB ⊥AC,∴∠BAC=90°,
由旋转可得 QB=OC ，AQ=OA ，∠QAB=∠OAC ，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°， ∴在Rt △OAQ 中，OQ=32，AO=3 ，∴在△OQB 中，BQ≥OQ ﹣OB=32﹣3 ， 即OC 最小值是32﹣3；
（3）如图③中，作AQ ⊥OA ，使得AQ=43
OA ，连接OQ ，BQ ，OB ．
∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC ，∵
QA AB OA AC =43， ∴△QAB ∽OAC ，∴BQ=43
OC ， 当BQ 最小时，OC 最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ ﹣OB ，∴OQ≥2，]
∴BQ 的最小值为2，
∴OC 的最小值为
34×2=32， 故答案为32
． 【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.
8．如图，已知BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 外一点，△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，M 为⊙O 上一点，并且∠BMC=60°．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若E ，F 分别是边AB ，AC 上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O 的半径为2，试问BE+CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）BE+CF 的值是定值，为等边△ABC 边长的一半．
【解析】
试题分析：（1）连结OB、OD，如图1，由于D为BC的中点，由垂径定理的推理得
OD⊥BC，∠BOD=∠COD，即可得到∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，于是得到AB是⊙O的切线；
（2）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，由△ABC为正三角形，D为BC 的中点，得到AD平分∠BAC，∠BAC=60°，利用角平分线性质得DM=DN，得
∠MDN=120°，由∠EDF=120°，得到∠MDE=∠NDF，于是有△DME≌△DNF，得到ME=NF，
得到BE+CF=BM+CN，由BM=1
2
BD，CN=
1
2
OC，得到BE+CF=
1
2
BC，即可判断BE+CF的值是
定值，为等边△ABC边长的一半．
试题解析：（1）连结OB、OD，如图1，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，
∴∠ODB=90°，∵∠BMC=1
2
∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC为正三
角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切线；
（2）BE+CF的值是为定值．
作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DM=DN，∠MDN=120°，∵∠EDF=120°，
∴∠MDE=∠NDF，在△DME和△DNF中，∵∠DME=∠DNF．DM=DN，∠MDE=∠NDF，∴△DME≌△DNF，∴ME=NF，∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN，在Rt△DMB中，
∵∠DBM=60°，∴BM=1
2
BD，同理可得CN=
1
2
OC，∴BE+CF=
1
2
OB+
1
2
OC=
1
2
BC，∴BE+CF
的值是定值，为等边△ABC边长的一半．
考点：1．切线的判定；2．等边三角形的性质；3．定值问题；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．
9．解决问题：
()1如图①，半径为4的O外有一点P，且7
PO=，点A在O上，则PA的最大值和最小值分别是______和______．
()2如图②，扇形AOB的半径为4，45
AOB
∠=，P为弧AB上一点，分别在OA边找点E，在OB边上找一点F，使得PEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直
接写出PEF 周长的最小值；
拓展应用
()3如图③，正方形ABCD 的边长为42；E 是CD 上一点(不与D 、C 重合)，CF BE ⊥于F ，P 在BE 上，且PF CF =，M 、N 分别是AB 、AC 上动点，求PMN 周长的最小值．
【答案】（1）11，3；（2）图见解析，PEF 周长最小值为423）41042．
【解析】
【分析】
()1根据圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；
()2作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求，此时PEF 周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；
()3类似()2题作对称点，
PMN 周长最小12PP =，然后由三角形相似和勾股定理求解． 【详解】
解：()1如图①，圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP 上，
此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离． PA ∴的最大值227411PA PO OA ==+=+=，
PA 的最小值11743PA PO OA ==-=-=，
故答案为11和3；
()2如图②，以O 为圆心，OA 为半径，画弧AB 和弧BD ，作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求．
连接1OP 、2OP 、OP 、PE 、PF ，
由对称知识可知，1AOP AOP ∠∠=，2BOP BOP ∠∠=，1
PE PE =，2PF P F = ∴1245AOP BOP AOP BOP AOB ∠∠∠∠∠+=+==，
12454590POP ∠=+=，
12POP ∴为等腰直角三角形，
121PP ∴==
PEF 周长1212PE PF EF PE P F EF PP =++=++=，此时PEF 周长最小．
故答案为；
()3作点P 关于直线AB 的对称1P ，连接1AP 、1BP ，作点P 关于直线AC 的对称2P ， 连接1P 、2P ，与AB 、AC 分别交于点M 、N ．如图③
由对称知识可知，1
PM PM =，2PN P N =，PMN 周长1212PM PN MN PM P N MN PP =++=++=，
此时，PMN 周长最小12PP =．
由对称性可知，1BAP BAP ∠∠=，2EAP EAP ∠∠=，12AP
AP AP ==， ∴1245BAP EAP BAP EAP BAC ∠∠∠∠∠+=+==
12454590P AP ∠=+=，
12P AP ∴为等腰直角三角形，
PMN ∴周长最小值12PP =，当AP 最短时，周长最小． 连接DF ．
CF BE ⊥，且PF CF =，
45PCF ∠∴=，PC CF
=45ACD ∠=，
PCF ACD ∠∠∴=，PCA FCD ∠∠=，
又AC CD
=， ∴在APC 与DFC 中，AC PC CD CF
=，PCA FCD ∠∠= C AP ∴∽DFC ，
AP AC DF CD
∴== ∴
AP =
90BFC ∠=，取AB 中点O ．
∴点F 在以BC 为直径的圆上运动，当D 、F 、O 三点在同一直线上时，DF 最短．
DF DO FO OC =-===
AP ∴最小值为AP =
∴此时，PMN 周长最小值
()
12222222102241042PP AP DF ==⋅=⋅-=-．
【点睛】
本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．
10．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 坐标为（2，0），以OA 为边在第一象限内作等边△OAB ，C 为x 轴正半轴上的一个动点（OC ＞2），连接BC ，以BC 为边在第一象限内作等边△BCD ，直线DA 交y 轴于E 点．
（1）求证：△OBC ≌△ABD
（2）随着C 点的变化，直线AE 的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE 的解析式．
（3）以线段BC 为直径作圆，圆心为点F ，当C 点运动到何处时，直线EF ∥直线BO ；这时⊙F 和直线BO 的位置关系如何？请给予说明．
【答案】（1）见解析；（2）直线AE 的位置不变，AE 的解析式为：33y x =-（3）C 点运动到(4,0)处时，直线EF ∥直线BO ；此时直线BO 与⊙F 相切，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质可得到OB=AB ，BC=BD ，∠OBA=∠DBC ，等号两边都加上∠ABC ，得到∠OBC=∠ABD ，根据“SAS”得到△OBC ≌△ABD.（2）先由三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，由等边△BCD ，得到∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE 中，由OA 的长，根据tan60°的定义求出OE 的长，确定出点E 的坐标，设出直线AE 的方程，把点A 和E 的坐标代入即可确定出解析式.（3）由
EA ∥OB ，EF ∥OB ，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF 与EA 重合，所以F 为BC 与AE 的交点，又F 为BC 的中点，得到A 为OC 中点，由A 的坐标即可求出C 的坐标；相切理由是由F 为等边三角形BC 边的中点，根据“三线合一”得到DF 与BC 垂直，由EF 与OB 平行得到BF 与OB 垂直，得证.
【详解】
（1）证明：∵△OAB 和△BCD 都为等边三角形，
∴OB=AB ，BC=BD ，∠OBA=∠DBC=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC ，
即∠OBC=∠ABD ，
在△OBC 和△ABD 中，
OB AB OBC ABD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△OBC ≌△ABD.
（2）随着C 点的变化，直线AE 的位置不变，
∵△OBC ≌△ABD ，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=2，
在Rt △AOE 中，tan60°=
OE OA
， 则
∴点E 坐标为（0，
设直线AE 解析式为y=kx+b ，把E 和A 的坐标代入得：
02k b b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩
，
解得，k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AE
的解析式为：y =-
（3）C 点运动到(4,0)处时，直线EF ∥直线BO ；此时直线BO 与⊙F 相切，理由如下： ∵∠BOA=∠DAC=60°，EA ∥OB ，又EF ∥OB ，
则EF 与EA 所在的直线重合，
∴点F 为DE 与BC 的交点，
又F 为BC 中点，
∴A 为OC 中点，又AO=2，则OC=4，
∴当C 的坐标为（4，0）时，EF ∥OB ，
这时直线BO与⊙F相切，理由如下：
∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，
∴直线BO与⊙F相切，
【点睛】
本题考查了一次函数；三角形全等的判定与性质；等边三角形的性质和直线与圆的位置关系.熟练掌握相关性质定理是解题关键.。