第一章 Fouier变换
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E, p ( t ) 0,
t ; 2 t
p ( t )
E.
2
.
.
o
.
2
t
2
Fourier变换物理意义-----频谱分析 例4 求矩形脉冲函数(E>0)
E, p ( t ) 0, t t
2
2
p ( t )
当 t 0, 右端为
f (0 0) f (0 0) 1 2 2
t0 t 0 t 0
于是
0 cos t sin t d 0 2 2 2 t e
Fourier变换物理意义-----频谱分析 在无线电技术、声学、振动理论中, Fourier 变换和频谱概念有密切联系. 时间变量的函数 f (t) 的Fourier变换F()称为 f (t)的频谱函数, 频谱函数 的模 F ( ) 称为振幅频谱(简称为幅谱), 称arg F() 为相谱(即相位). 由于是连续变化的, 我们称其幅
Dirac引进了满足以上性质的“函数”, 称为“d 函数”,
d ( x ) f ( x )dx f (0).
但是, 从古典意义下的函数积分概念来看, 这 些都是不合理的. 因为不是确定的数, 它表明变量
的变化趋势, 所以, d (0)=+无意义. 而积分值与函
数在个别点的值无关, 这样, 除一点外, 处处为零的
预备知识------ d 函数和d 型序列 函数积分也应为零. 从而, d 函数的上述性质在古典 意义下都不可能成立, 也是不合理的. 因此, 在很长 一段时期, d 函数没有被数学家们接受. 但以 Dirac 为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数. 因为
e
t 2
( 0, 为实数)
就很麻烦，需要利用留数定理（附录A）. 上式中令 0，
1 可得著名的高斯积分 2
e
t 2 / 2
dt 2
含参数的广义积分 例2 设 0 ，计算积分 F () e
1 f (t ) 2
t 2 j t
Dirichlet条件, 即只存在有限个第一类间断点和
有限个极值点； (2) f (t)在 ( , ) 上绝对可积, 即 收敛.
f ( t ) dt
1.1.2 Fourier 积分定理 则函数f (t)的Fourier变换存在，且在 f (t)的连 续点处
1 f (t ) 2
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
第一章 Fourier变换
1.1 Fourier积分和 Fourier变换的概念
1.1.1 主值意义下的反常积分
定义1 设函数 f (t ) 在实轴的任何有限区间上都
可积.若极限 lim
R R
R
f (t )dt 存在,则称在主值意
不满足狄氏条件的例子
f (t ) tg t 存在第二类间断点
1 f (t ) = sin( ) 在靠近0处存在着无限多个极值点 t
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化 函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函数都 是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近 似一些函数, 使得思维简单一些.
(1)
上式(1)称为函数 f (t )的复指数形式的Fourier积分公
式,而等号右端的积分式称为 f (t ) 的Fourier积分。
1.1.2 Fourier 变换的概念 定义2 若在某种条件下式子 F () f (t )e j t dt
f (t) 1 j t F ()e d 2
含参数的广义积分 例1 计算积分
e
( j ) t
dt
( 0, 为实常数）
解 被积函数是积分变量t 的偶函数，由偶函数 在对称区间上的积分性质得
e
( j ) t
dt 2 0 e( j )t dt
2 2 ( j ) t e 0 j j
F() f (t)e jtdt
1 f (t ) 2
F ( )e j t d 都有意义，则
称 F ( ) 为函数 f (t ) 的Fourier变换(象函数),记做
F ( )
=ℱ [ f (t ) ]
1
称 f (t )为函数 F ( ) 的Fourier逆变换(象原函数), 记作
再回顾一下
F [ f ( t )]
1
f ( t )e j t dt ,
1 F [ F ( )] 2
F ( )e j t d .
如果f (t)满足Fourier积分定理条件, 那么在f (t) 的连续点处成立Fourier变换的反演公式
f ( t ) = F 1 F [ f ( t )] .
谱和相谱都是连续频谱, 对一个时间函数f (t)作
Fourier变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱. 可以证明, 幅谱为偶函数, 相谱是奇函数, 即
arg F F () F () ，
arg F
预备知识------矩形脉冲函数
宽度为 , 幅度为 E ( E 0) 的矩形脉冲函数为
第一章 Fourier 变换
1.1 1.2 1.3 Fourier积分和变换的概念
d 函数的Fourier变换
Fourier变换的性质
第一章 Fourier变换
Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系.它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物 理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
e
dt ,
F ( )e j t d
解 F ( ) e
0
t 2 j t
e
dt e
t2
(cos t j sin t )dt
2
2 e
1 f (t ) 2
1 2
t2
e cos tdt
1 j 2 j 2
例子
1 1 j j t j t f (t ) F ( )e d e d 2 2 2 2 1 j (cos t j sin t )d 2 2 2
O
2
4
6
第一章 Fourier 变换
作业
P9 1(1)，2，4(1)
第一章 Fourier变换
1.2 d 函数的Fourier变换
预备知识------ d 函数和d 型序列 在物理学和工程技术中, 除了连续分布量之外，
还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、
质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处分布单位质
所谓弱极限就是对任何无穷可微函数f由极限式预备知识函数和d型序列所确定的新的元素把这样的新元素记为d并且规定dx的积分已不是通常意义下的积分为还有很多不同的d逼近函数例如预备知识函数和d型序列等都是d逼近函数其弱极限都是dx是具有以下性质的广义函数d函数又称为单位脉冲函数或称为dirac函数
第一章 Fourier 变换
sin t cos t 1 cos t sin t d j d 2 2 2 2 2 1 cos t sin t d 2 2 0
积分过程中，ω 可取任意实数值的常数. 对于固 定的β，积分值是ω 的函数，该积分是含实参数 ω 的积分。当正常数β在变化时，积分值是s= β+j ω的函数，这时积分是含复参数s的反常积分.
含参数的广义积分 含参数的反常积分在实际中经常遇到，在
许多情况下计算或证明其积分值很麻烦。如，
证明反常积分
2 / (4 ) cos tdt e
2
2
p ( t )e
j t
dt
.
Ee
.
2
dt ,
t
2
Fourier变换物理意义-----频谱分析
Ee j t F ( ) j
故幅谱为
F ( ) 2 E 1
2
2
2E
sin
2
.
sin
2
|F(|
.
E
(如图所示)
6 4 2
度分布的极限. 在直观上可以看作
, d ( x) 0,
x 0; x 0.
根据密度的定义，密度函数在区间内的积分应
该是在此区间上分布的总质量. 因此，应有
d ( x )dx 1.
预备知识------ d 函数和d 型序列 针对这类问题, 20世纪30年代, 英国物理学家 并且要求对任何连续函数f (x), 都有
例子 例3 求
0 f (t ) t e t0 t0 ( 0) Fourier变换
和Fourier积分表达式 解 F ()
f (t )e
j t
dt e t e jt dt
0
1 ( j ) t e 0 j
j t
/ (4 )
( )
2
F ( )e2Fra bibliotek1 d 2
e
/ (4 )
e j t d
2
e
/ (4 )
1 cos td 2
4 et
/ ( 1 )
e
t2
( t )
含参数的广义积分 从例2可以看出,函数 f (t ), F ( ) 存在如下关系
F ( )
1 f (t ) 2
f (t )e j t dt
F ( )e j t d
1 f (t ) 2
f ( )e j d e j t d
e d
i t
f ( x )e i xdx ,
而在 f (x)的间断点处
f ( t 0) f ( t 0) 1 2 2
e d
i t
f ( x )e i xdx .
间断点
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点 第一类间断点
量的情况.
如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻 1 , 域[-e ,e]之内, 这时[-e ,e]内的每一点的密度 e 2e 1 , x [e , e ]; e ( x ) 2e x [e , e ]. 0,
预备知识------ d 函数和d 型序列 很自然, 原点处分布单位质量的质点情形可认 为是上述情形当 e 0 时的极限, 并用d (x)表示密
义(principal value)下 f (t ) 在区间 (, ) 上的
反常积分收敛,记为
P.V.
f (t )dt lim
R R
R
f (t )dt
否则称该反常积分发散.
1.1.1 主值意义下的反常积分 注意：
1. 当函数在普通意义下的反常积分收敛时，它在
主值意义下也收敛，且积分值相等.反之不真. 2. 对于任何区间上可积的偶函数，两种意义下的 反常积分收敛性是一致的. 3. 两种反常积分其绝对收敛性是一致的. 4. 被积函数可以为实变复值函数 f (t)=u(t)+jv(t). 对于这种积分，积分的性质仍然成立.
的幅谱. 由频谱函数的定义 解 运行下面的 MATLAB语句 E ..
F ( )
>> syms t w E;syms tau positive j t
o >> g=sym('Heaviside(t+tau/2)');
>> h=sym('Heaviside(t-tau/2)');
f (t ) =ℱ
F ()
这时称 f (t ) 与 F ( ) 构成了一个Fourier变换对,
记作 ℱ f (t ) F ( )
1.1.2 Fourier 积分定理 Fourier积分定理 设f (t)在 ( , )满足下 列条件: (1) f (t)在实轴的任何有限区间[a,b]上满足
t ; 2 t
p ( t )
E.
2
.
.
o
.
2
t
2
Fourier变换物理意义-----频谱分析 例4 求矩形脉冲函数(E>0)
E, p ( t ) 0, t t
2
2
p ( t )
当 t 0, 右端为
f (0 0) f (0 0) 1 2 2
t0 t 0 t 0
于是
0 cos t sin t d 0 2 2 2 t e
Fourier变换物理意义-----频谱分析 在无线电技术、声学、振动理论中, Fourier 变换和频谱概念有密切联系. 时间变量的函数 f (t) 的Fourier变换F()称为 f (t)的频谱函数, 频谱函数 的模 F ( ) 称为振幅频谱(简称为幅谱), 称arg F() 为相谱(即相位). 由于是连续变化的, 我们称其幅
Dirac引进了满足以上性质的“函数”, 称为“d 函数”,
d ( x ) f ( x )dx f (0).
但是, 从古典意义下的函数积分概念来看, 这 些都是不合理的. 因为不是确定的数, 它表明变量
的变化趋势, 所以, d (0)=+无意义. 而积分值与函
数在个别点的值无关, 这样, 除一点外, 处处为零的
预备知识------ d 函数和d 型序列 函数积分也应为零. 从而, d 函数的上述性质在古典 意义下都不可能成立, 也是不合理的. 因此, 在很长 一段时期, d 函数没有被数学家们接受. 但以 Dirac 为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数. 因为
e
t 2
( 0, 为实数)
就很麻烦，需要利用留数定理（附录A）. 上式中令 0，
1 可得著名的高斯积分 2
e
t 2 / 2
dt 2
含参数的广义积分 例2 设 0 ，计算积分 F () e
1 f (t ) 2
t 2 j t
Dirichlet条件, 即只存在有限个第一类间断点和
有限个极值点； (2) f (t)在 ( , ) 上绝对可积, 即 收敛.
f ( t ) dt
1.1.2 Fourier 积分定理 则函数f (t)的Fourier变换存在，且在 f (t)的连 续点处
1 f (t ) 2
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
第一章 Fourier变换
1.1 Fourier积分和 Fourier变换的概念
1.1.1 主值意义下的反常积分
定义1 设函数 f (t ) 在实轴的任何有限区间上都
可积.若极限 lim
R R
R
f (t )dt 存在,则称在主值意
不满足狄氏条件的例子
f (t ) tg t 存在第二类间断点
1 f (t ) = sin( ) 在靠近0处存在着无限多个极值点 t
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化 函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函数都 是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近 似一些函数, 使得思维简单一些.
(1)
上式(1)称为函数 f (t )的复指数形式的Fourier积分公
式,而等号右端的积分式称为 f (t ) 的Fourier积分。
1.1.2 Fourier 变换的概念 定义2 若在某种条件下式子 F () f (t )e j t dt
f (t) 1 j t F ()e d 2
含参数的广义积分 例1 计算积分
e
( j ) t
dt
( 0, 为实常数）
解 被积函数是积分变量t 的偶函数，由偶函数 在对称区间上的积分性质得
e
( j ) t
dt 2 0 e( j )t dt
2 2 ( j ) t e 0 j j
F() f (t)e jtdt
1 f (t ) 2
F ( )e j t d 都有意义，则
称 F ( ) 为函数 f (t ) 的Fourier变换(象函数),记做
F ( )
=ℱ [ f (t ) ]
1
称 f (t )为函数 F ( ) 的Fourier逆变换(象原函数), 记作
再回顾一下
F [ f ( t )]
1
f ( t )e j t dt ,
1 F [ F ( )] 2
F ( )e j t d .
如果f (t)满足Fourier积分定理条件, 那么在f (t) 的连续点处成立Fourier变换的反演公式
f ( t ) = F 1 F [ f ( t )] .
谱和相谱都是连续频谱, 对一个时间函数f (t)作
Fourier变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱. 可以证明, 幅谱为偶函数, 相谱是奇函数, 即
arg F F () F () ，
arg F
预备知识------矩形脉冲函数
宽度为 , 幅度为 E ( E 0) 的矩形脉冲函数为
第一章 Fourier 变换
1.1 1.2 1.3 Fourier积分和变换的概念
d 函数的Fourier变换
Fourier变换的性质
第一章 Fourier变换
Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系.它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物 理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
e
dt ,
F ( )e j t d
解 F ( ) e
0
t 2 j t
e
dt e
t2
(cos t j sin t )dt
2
2 e
1 f (t ) 2
1 2
t2
e cos tdt
1 j 2 j 2
例子
1 1 j j t j t f (t ) F ( )e d e d 2 2 2 2 1 j (cos t j sin t )d 2 2 2
O
2
4
6
第一章 Fourier 变换
作业
P9 1(1)，2，4(1)
第一章 Fourier变换
1.2 d 函数的Fourier变换
预备知识------ d 函数和d 型序列 在物理学和工程技术中, 除了连续分布量之外，
还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、
质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处分布单位质
所谓弱极限就是对任何无穷可微函数f由极限式预备知识函数和d型序列所确定的新的元素把这样的新元素记为d并且规定dx的积分已不是通常意义下的积分为还有很多不同的d逼近函数例如预备知识函数和d型序列等都是d逼近函数其弱极限都是dx是具有以下性质的广义函数d函数又称为单位脉冲函数或称为dirac函数
第一章 Fourier 变换
sin t cos t 1 cos t sin t d j d 2 2 2 2 2 1 cos t sin t d 2 2 0
积分过程中，ω 可取任意实数值的常数. 对于固 定的β，积分值是ω 的函数，该积分是含实参数 ω 的积分。当正常数β在变化时，积分值是s= β+j ω的函数，这时积分是含复参数s的反常积分.
含参数的广义积分 含参数的反常积分在实际中经常遇到，在
许多情况下计算或证明其积分值很麻烦。如，
证明反常积分
2 / (4 ) cos tdt e
2
2
p ( t )e
j t
dt
.
Ee
.
2
dt ,
t
2
Fourier变换物理意义-----频谱分析
Ee j t F ( ) j
故幅谱为
F ( ) 2 E 1
2
2
2E
sin
2
.
sin
2
|F(|
.
E
(如图所示)
6 4 2
度分布的极限. 在直观上可以看作
, d ( x) 0,
x 0; x 0.
根据密度的定义，密度函数在区间内的积分应
该是在此区间上分布的总质量. 因此，应有
d ( x )dx 1.
预备知识------ d 函数和d 型序列 针对这类问题, 20世纪30年代, 英国物理学家 并且要求对任何连续函数f (x), 都有
例子 例3 求
0 f (t ) t e t0 t0 ( 0) Fourier变换
和Fourier积分表达式 解 F ()
f (t )e
j t
dt e t e jt dt
0
1 ( j ) t e 0 j
j t
/ (4 )
( )
2
F ( )e2Fra bibliotek1 d 2
e
/ (4 )
e j t d
2
e
/ (4 )
1 cos td 2
4 et
/ ( 1 )
e
t2
( t )
含参数的广义积分 从例2可以看出,函数 f (t ), F ( ) 存在如下关系
F ( )
1 f (t ) 2
f (t )e j t dt
F ( )e j t d
1 f (t ) 2
f ( )e j d e j t d
e d
i t
f ( x )e i xdx ,
而在 f (x)的间断点处
f ( t 0) f ( t 0) 1 2 2
e d
i t
f ( x )e i xdx .
间断点
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点 第一类间断点
量的情况.
如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻 1 , 域[-e ,e]之内, 这时[-e ,e]内的每一点的密度 e 2e 1 , x [e , e ]; e ( x ) 2e x [e , e ]. 0,
预备知识------ d 函数和d 型序列 很自然, 原点处分布单位质量的质点情形可认 为是上述情形当 e 0 时的极限, 并用d (x)表示密
义(principal value)下 f (t ) 在区间 (, ) 上的
反常积分收敛,记为
P.V.
f (t )dt lim
R R
R
f (t )dt
否则称该反常积分发散.
1.1.1 主值意义下的反常积分 注意：
1. 当函数在普通意义下的反常积分收敛时，它在
主值意义下也收敛，且积分值相等.反之不真. 2. 对于任何区间上可积的偶函数，两种意义下的 反常积分收敛性是一致的. 3. 两种反常积分其绝对收敛性是一致的. 4. 被积函数可以为实变复值函数 f (t)=u(t)+jv(t). 对于这种积分，积分的性质仍然成立.
的幅谱. 由频谱函数的定义 解 运行下面的 MATLAB语句 E ..
F ( )
>> syms t w E;syms tau positive j t
o >> g=sym('Heaviside(t+tau/2)');
>> h=sym('Heaviside(t-tau/2)');
f (t ) =ℱ
F ()
这时称 f (t ) 与 F ( ) 构成了一个Fourier变换对,
记作 ℱ f (t ) F ( )
1.1.2 Fourier 积分定理 Fourier积分定理 设f (t)在 ( , )满足下 列条件: (1) f (t)在实轴的任何有限区间[a,b]上满足