湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高一下学期期末测试+数学答案

高一数学参考答案
选择题题号12345
67891011答案C B
A
D
B
C
C
D
AC
CD
ACD
8.D
解析：max
25
5
h A O AO '===,2
2
22min 2553
5102h A E A O OE ⎛⎫⎛⎫''==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,11
325,33615A BCD BCD V S h h '-⎛⎫=⋅=∈ ⎪ ⎪⎝⎭
△11.ACD 解析：()sin sin 2sin cos A B B B A +=+，sin()sin A B B -=，A B B -=，故A 项正确.因为A 、B 、C 均为锐角，所以π02
π02π02A B C ⎧
<<⎪⎪⎪
<<
⎨⎪⎪
<<⎪⎩
，即π022π02π0π32B B B ⎧
<<⎪⎪
⎪
<<⎨⎪⎪
<-<⎪⎩
，解得π6π4B <<，故B 项错误．对于C 项，由正弦定理得
sin sin22cos sin sin a A B
B b B B ===，ππ(,)64
B ∈，2cos 2,3)a B b =∈．故
C 项错误．对于
D 项，由A 项知，2A B =，由B 项知，
π6π4
B <<，所以ππ
32A <<，
112sin tan tan A B A -+()sin tan tan sin cos sin cos 2sin 2sin 2sin tan tan sin sin sin sin A B A B A B B A A A A B A B A B A
---=+=+=+=
sin 12sin 2sin sin sin sin B A A B A A +=+，ππ(,)32A Î，令sin t A =，则3
(2t ∈，所以
1112sin 2tan tan A t B A t -+=，3(2t ∈，令1()2h t t t =+，3
(2
t ∈，则222
121()20t h t t t -'=-+=>，所以()h t 在3(2上单调递增，又353(
23h =(1)3h =，所以53()h t ∈，即
112sin tan tan A B A -+范围为53(3，故D 项正确.三、填空题12.
52
13.4
14.−3
2
14.−3
2解析：因ABC 的面积为10，且25sin A 则有1sin 102bc A =，解得105bc =由图知AD x AB - 表示直线AB 上一点到点D 的向量，而AD xAB -
则表示直线AB 上一点到点D 的距离，由
AD xAB DE -≥ 对任意x 恒成立可知，DE
的长是点D 到直线AB 上的点的最短距离，此时DE AB ⊥,同理
可得DF AC ⊥.如图所示,因4BC BD = ，由115
242
ABD ABC S c DE S =⨯== 可得：5c DE ⨯=，由
1315
242
ACD ABC S b DF S =
⨯== 可得：15b DF ⨯=，由锐角ABC 可得A 是锐角，故πEDF A ∠=-是钝角，于25
cos cos(π)cos 1sin 5
EDF A A A ∠=-=-=--=-
，于是515553||||cos ()()552105
DE DF DE DF EDF c b ⋅=⋅∠=⨯⨯-=-=- .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
15.（1）1233i z z +=-，121i z z --=-，125i z z ⋅=-，(3,3)A ∴-，(1,1)B --，(0,5)C -，------6分(1,4)BC ∴=- ，22
1(4)17BC ∴=+-= 分
（2）A
=（−4,2），D
=（−s −5−）,A
=D
,故D=（4，-7）cos BA
，BC
=
4∙1+（−2）（−4）
42+（−2）
2
12+（−4）
2
=
685
85
cos ∠ABC =
685-----13分
16.（1）取PA 的中点M ，连接BM ，ME ，则ME //AD 且ME=AD ，
又因为BC //AD 且BC=AD ，所以ME //BC 且ME=BC ，
所以四边形MECB 为平行四边形，所以BM //CE ，
又CE ⊄平面PAB ，BM ⊂平面PAB ，所以CE //平面PAB.------5分（2）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥DC ，又因为AC2+CD2=2+2=AD2，
所以DC ⊥AC ，因为AC∩PA=A ，AC ，PA ⊂平面PAC ，所以DC ⊥平面PAC.又因为DC ⊂平面PDC ，所以平面PAC ⊥平面PDC.------10分（3）解：取PC 的中点F ，连接EF ，则EF //DC ，由（2）知DC ⊥平面PAC ，则EF ⊥平面PAC ，所以∠ECF 为直线EC 与平面PAC 所成的角.因为1322
CF PC =
=
EF=122
2所以tan ∠ECF=
EF FC 6EC 与平面PAC 6
分18.（1）由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，所以0.030a =.------3分
（2）成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，
显然第75百分位数(80,90)m ∈，由0.65(80)0.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84.------6分
（3）由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以[)60,70的平均数为x,方差为t 210562065621020
z ⨯+⨯=
=+； =10×56+20×
30=62,则x=65由样本方差计算总体方差公式，得总方差为2=
1
10+20=107+(56−62)2+20t 2+(65−62)2
=23,计算可得方差为4----15分
18.解析：（1）连接1AC ，与1AC 交于E ，连接DE ，
因为1111,1,2A A C AC C AC ==∥，所以1111
2
A AC EC AC E ==，又
1
2BD DC =，所以1C
A EC E BD D =，1DE A
B ∥，又1A B ⊄平面1A
C
D ，D
E ⊂平面1AC D ，所以1A B 平面1AC D .------6分
（2）取AC 的中点F ，1AC 的中点G ，连接,,BF FG GB ，
所以1C F AC ∥，又1AA ⊥平面ABC ，则1C F ⊥平面ABC ，在直角1C FC △中，111,1C F AA CF ===，则12CC =又12AC =，2AC =，则222
11AC CC AC +=，得11CC AC ⊥，
因为AC 的中点F ，1AC 的中点G ，所以1GF CC ∥，则1GF AC ⊥，112
2GF ==因为1C F ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以1C F BF ⊥在直角1C FC △中，13
1,32
C F BF ==
=，则12BC =，所以1ABC 为等腰三角形，又12AC =，G 为1AC 的中点，
所以2
21214
,222BG AC BG ⎛⎫⊥- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以BGF ∠为平面1ABC 与平面11AAC C 的夹角，2
2
2
71
3
722cos 2142
222
BG GF BF BGF BG GF +-+-∠===⋅⨯⨯
所以平面1ABC 与平面11AAC C 夹角的余弦值
7
7
.------17分19.解析：（1）解：()2sin cos 36h x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
2sin
cos 2cos
sin cos cos sin sin 3
366x x x x π
π
ππ⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭
31133sin sin sin 2222
x x x x x x =--
+=-+，
所以函数()h x 的相伴向量1322OM ⎛=- ⎝⎭
．------4分
（2）解：由题知：()0sin 2cos 2cos f x x x x =⋅+⋅=，所以()()3sin |12cos 23|sin |1g x f x x x x =+-=+-．
①当[0,]x π∈时，()2cos 3sin 14sin 16g x x x x π⎛
⎫=+-=+- ⎪⎝⎭；
②当(,2]x ππ∈时，()2cos 2314sin 16g x x x x π⎛
⎫=--=--- ⎪⎝
⎭．
所以()[](]4sin 1,0,64sin 1,,26x x g x x x πππππ⎧⎛
⎫+-∈ ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨⎛⎫⎪---∈ ⎪⎪⎝⎭⎩
，
可求得()g x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，5,3ππ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递增，
5,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减且5(0)1,3()33(2,),,133g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫
===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∵()g x 图像与y k =有且仅有四个不同的交点，
13
k ∴≤<所以实数k 的取值范围为[)1,3------10
分
（3）解：OM
的“相伴函数”22()sin cos sin()f x a x b x a b x ϕ=+++，其中22
cos a b ϕ=
+22
sin a b ϕ=
+tan b a
ϕ=
．当22
x k πϕπ+=+
，k ∈Z 即022x k π
πϕ=+-，k ∈Z 时()f x 取得最大值．
所以0sin 2cos 2tan tan 22sin cos 22k a
x k b
k ππϕπϕπϕπϕπϕ⎛⎫
+- ⎪
⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭
，
当
1a b =时0tan 1x =，此时024x k ππ=+，0242
x k π
π=+，k ∈Z ，所以0tan 2x 无意义，
当1a b ≠时，所以002
2022tan 2tan 21tan 1a
x b x b a x a a b b ⨯
===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，令b m a
=，则02
tan 21x m m
=
-，()(
0,11,3m ∈ ，因为1
y x x
=-在(
3上单调递增，所以()(
0,13m ∈ 时()1
23,03m m ⎛-∈-∞ ⎝⎦
，所以0tan 2(,0)[3,)x ∈-∞⋃+∞．------17分。