具有信息干预的随机SIRS模型的平稳分布和灭绝性

具有信息干预的随机SIRS模型的平稳分布和灭绝性
夏焕新;包康博
【摘要】提出一个带有信息干预和环境噪声影响的SIRS流行病模型.给出了可以作为流行病持久和灭绝阈值的随机基本再生数Rs.当噪声强度很大时,Rs＜1流行病将会灭绝;当噪声强度很小时,Rs＞1并得到了平稳分布存在的充分条件,即流行病将会持久.研究结果表明信息干预和白噪声对疾病有很大的影响.通过数值模拟验证了主要结果.
【期刊名称】《宁夏师范学院学报》
【年(卷),期】2018(039)010
【总页数】11页(P14-24)
【关键词】SIRS流行病模型;信息干预;环境噪声;平稳分布;灭绝性
【作者】夏焕新;包康博
【作者单位】宁夏建设职业技术学院基础部,宁夏银川750021;宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021
【正文语种】中文
【中图分类】O29
疾病对人们的健康、社会和经济产生了很大的影响.当疾病爆发时，如何预防和治疗疾病一直是人们关心的热点问题之一.众所周知，通过加大宣传和健康教育能够使人们提高意识，在一定程度上可以预防或延缓疾病的发生.例如，自从H7N9禽
流感爆发后，公共媒体每天都对感染者数量、死亡病例数量、感染疾病的症状和预防措施进行了大量的报道，从而极大地减小了疾病感染率，对疾病的控制起了很大的作用.对于疾病的治疗，除了药物治疗外，结合非药物治疗可以起到事半功倍的效果.信息干预(媒体宣传，健康教育，心理疗法)作为一种非药物治疗措施，是一种预防和治疗疾病的重要方法.
目前，考虑信息干预因素的流行病模型的研究成果也很多.例如，Joshi等[1]人研究了基于信息干预的SIR流行病模型并发现信息可以降低感染水平.Xiao 等[2]人发现媒体的影响不仅可以延缓疾病的峰值，还可以降低疾病爆发的严重程度.最近，Kumar等[3]人将治疗和信息的影响作为控制干预，提出了下面的SIRS流行病模型：
(1)
其中，S、I、R和Z分别表示易感人群、感染人群、康复人群和人群中信息的密度.Λ表示易感者的常数补充率，γ表示感染人群的康复率，μ表示自然死亡率，δ表示因病死亡率，β表示接触率，δ0表示对恢复者免疫丧失率，m表示由于信息干预使得人们行为的改变率，0≤μ1≤1表示人们对信息的反应强度，a表示信息的增长率，b表示饱和常数，a0表示信息的自然消失率.模型(1)中的所有参数都假定为非负的.
在模型(1)中，基本再生数R0=Λβ/[μ(μ+δ+γ)]可以作为疾病持久和灭绝的阈值.若R0<1，模型有一个无病平衡点E0=(Λ/μ,0,0,0)而且在中是全局稳定的，其中
(2)
若R0>1，E0是不稳定的，而存在一个全局渐进稳定的地方病平衡点
E*=(S*,I*,R*,Z*)，其中
(3)
I*是方程AI2+BI+C=0的唯一正根，这里
(4)
然而，模型(1)只是一个确定性模型.事实上，环境白噪声对流行病有很大的影响[4-6].很多学者研究了随机的流行病模型[7-9].May[10]指出因为环境噪声，出生率、死亡率、转移系数和确定性系统的其它参数可能表现出某种程度的随机扰动.Mao 等[11]人发现随机噪声的引入可以改变疾病的基本再生数.而目前未见到对模型(1)考虑环境噪声影响的研究成果.所以本文在系统(1)的基础上引入白噪声来干扰系数m和γ，即m→m+σ1dB1(t)和γ→γ+σ2dB2(t)，其中B1(t)和B2(t)表示相互独立的标准Brownian运动，σ1和σ2代表白噪声的强度.于是得到了下面的随机SIRS流行病模型：
(5)
本文对于模型(5)，研究环境噪声和信息干预对疾病的传播的影响，并且给出平稳分布的存在充分条件，进一步研究随机SIRS模型的动力学行为.通过数值算例验证了结论.
1 疾病的灭绝性
通过与文献[5]相同的方法，能够证明模型(5)存在唯一的正的全局解.为了简便，首先定义一个有界集Γ如下：
⊂
(6)
在模型(1)中，基本再生数R0=Λβ/[μ(μ+δ+γ)]是控制疾病动力学的一个阈值.但是
对于模型(5)，将证明随机基本再生数Rs可以作为模型(5)中疾病持久和灭绝的阈值.记
(7)
将讨论随机基本再生数Rs可以作为模型(5)中疾病持久和灭绝的阈值.为了给出模型(5)持久和灭绝的充分条件，首先给出正解的存在唯一性定理.
引理1 对于任意初始值模型(5)在t>0时存在唯一正解，且解依然在内.
证明采用与文献[5]相同的方法可以得到引理1的结果.
定理1 对任意给定的初始值设(St,It,Rt,Zt)是模型(5)的一个解.若Rs<1，那么模型(5)的解有如下性质：
(8)
即随机模型(5)中的疾病将会依概率一灭绝，其中c=(μ+δ+γ)(1-Rs).
证明由It公式，两边从0到t积分可得
(9)
根据局部鞅的强大数定律[12]，有因为对任意的t≥0有S(t)≤Λ/μ,所以
(10)
因此,得到
(11)
记由(11)有R(Ω1)=1，即对任意的ε1>0，存在常数T1=T1(ω,ε1)使得对任意的t>T1有I(t)<ε1.
由模型(5)的最后一个方程得
(12)
其中，ω∈Ω1,t≥T1.根据比较原理[13]
(13)
其中，ω∈Ω1,t≥T1.那么
(14)
其中ω∈Ω1,t≥T1.由ε1的任意性得根据引理1可得，因此，记
⊂Ω1,
(15)
则对任意的ε2>0，存在常数T2=T2(ω,t)≥T1使得对任意的t>T2有Z(t)<ε2.
对模型(5)的第三个方程，两边从0到t积分并用t进行划分得
(16)
因为对任意的t≥0，S(t)≤Λ/μ且Z(t)≤aΛ/[a0(μ+bΛ)]，由局部鞅的强大数定律可得
(17)
再由ε1和ε2的任意性有
(18)
另一方面，R(t)≥0，因此令
⊂Ω2,
(19)
则对任意的ε3≥0，存在常数T3=T3(ω,t)≥T2使得对任意的t>T3有R(t)<ε3,a.s.由模型(5)的前三个方程，对任意的ω∈Ω3，有
d(St+It+Rt)=[Λ-μ(St+It+Rt)-δIt]dt,
(20)
两边从0到t积分并用t进行划分得
(21)
其中
(22)
而且由ε1和ε3的任意性
(23)
由于S≤Λ/μ，因此
(24)
证毕.
2 持久性、平稳分布和遍历性
本节给出模型(5)的疾病持久性的条件，主要结果由下面的定理给出.
定理2 对任意给定的初始值设(St,It,Rt,Zt)是模型(5)的一个解.若Rs>1，那么
(25)
证明采用与文献[6]相同的方法能够得到上述结果.
下面讨论模型(5)解的平稳分布的存在性及其遍历性.令X(t)为定义在d维空间d上的齐次Markov过程，且由下面的随机微分方程给出：
(26)
其扩散矩阵定义为
(27)
引理2 Markov过程X(t)有一个唯一的遍历平稳分布π(·)，如果存在一个具有规则边界的有界开区域U⊂d且满足下面的条件：
(i)存在一个正数使得aij(x)ξiξj≥|ξ|2，其中x∈U,ξ∈Ed(见文献[14]中Rayleigh′s 定理).
(ii)存在一个非负二阶连续可微函数V使得对每一个x∈d\U有LV为负.令ρ(·)是一个在测度π(·)下的可积函数，则对任意的x∈d\U，
(28)
下面给出关于平稳分布存在性和遍历性的定理.
定理3 对任意给定的初始值如果Rs>1，那么(St,It,Rt,Zt)是正常返的且存在遍历的
平稳分布.
证明设α1和α2为充分大的正数，令
(29)
可以将系统(5)表示为系统(30)的形式：
(30)
模型(5)的扩散矩阵为
(31)
由于⊂且ξ∈dR{(ξ1,ξ2,ξ3)∈d:ξ1=ξ2=ξ3}，则存在一个正数C使得
(32)
那么引理1中的条件(i)成立.
考虑函数V1(I)、V2(S,I)和V3(S,R,Z)：
(33)
其中，q为正常数，其值将在后文中给出.定义Lyapunov函数
V(S,I,R,Z) =V1(I)+V2(S,I)+V3(S,R,Z)
(34)
根据It公式和模型(5)可得
计算LV2(S,I)得
(36)
对函数V3(S,R,Z)，有
(37)
联立(35)-(37)得
(38)
根据定理2,对任意的t≥T，存在常数T(ω)>0使得I(t)>H/2,a.s. 因此，重新组合(38)得
(39)
其中
(40)
由于Rs>1，并选取q充分小使得
另一方面
(42)
则对(S,I,R,Z)∈ΓRU有S<1/α1,I<1/α1，R<1/α1或Z<1/α2.容易从(14)式看出对充分大的α1或α2有LV≤-1，其中(S,I,R,Z)∈ΓRU.这样引理1的条件满足.因此，模型(5)存在唯一遍历的不变分布π(·).由(St,It,Rt,Zt)的遍历性得
(43)
其中,χΓ是Γ的特征函数，证毕.
3 数值算例
本节中用数值算例来验证环境噪声和信息干预对疾病的影响.首先，用Milstein′s 方法[15]离散随机模型(5)：
Sk+1= Sk+[Λ-βSkIk-μSk-μ1mZkSk+δ0Rk]Δt-
(44)
其中，τk,(k=1,2,…)是独立的Gaussian 随机变量N(0,1).在图1-4中，选定系统的参数值如下：Λ=2.8、β=0.002、μ=0.02、δ0=0.01、δ=0.1、γ=0.1、
μ1=0.0～1.0、m=0.017、a=0.01、a0=0.045、b=1.0.
方程初始值为：S(0)=479、I(0)=20、R(0)=1、Z(0)=10.容易计算出基本再生数
R0=Λβ/[μ(μ+γ+δ)]=1.2727>1.无病平衡点
E0=(140.0000,0.0000,0.0000,0.0000)
(45)
和地方病平衡点
E*=(110.0000,3.1021,11.3877,0.1680).
(46)
为了更清晰地和随机模型(5)的值作比较，在图1中给出初始值.
(S1,I0,R0,Z0)=(479.0,20.0,1.0,10.0)
(47)
时，确定模型(1)的时间序列图.
图1 确定模型(1)的解S(t)、I(t)和R(t)的路径
下面讨论疾病的持久性.
在图2中，取环境噪声强度σ1=0.1、σ2=0.1，则Rs=1.2500>1.由定理2知疾病是持久的，数值结果如图2所示.其中初始值
(S0,I0,R0,Z0)=(479.0,20.0,1.0,10.0)，
(48)
跟图1相比，图2显示出了较小的波动.如果将噪声强度σ1和σ2增大至
0.2(Rs=1.1818>1)、0.3(Rs=1.0682>1)，波动的幅度变得更大.进行10,000次数值模拟，得到了I(150)的概率密度函数的柱状图.从图中可以看出，随着噪声强度σ1和σ2的增大，I(t)的分布变得更倾斜.这也就是说，噪声的强度对I(t)的值有很大的影响.
(a)σ1=0.1,σ2=0.1
(b)σ1=0.2,σ2=0.2
(c)σ1=0.3,σ2=0.3图2 在不同的噪声强度下模型(5)的解S(t)、I(t)和R(t)的路径和
I(150)的概率密度函数柱状图
下面讨论疾病的灭绝性.
取环境噪声强度σ1=0.1,σ2=0.35.根据定理1有Rs=0.9943<1，I(t)的值依指数
形式趋于零，即疾病将依概率1趋于灭绝，数值模拟结果如图3 所示.其中初始值(S0,I0,R0,Z0)=(479.0,20.0,1.0,10.0)，
(49)
继续增大σ1至0.2和0.3、增大σ2至0.38(Rs=0.9445<1)和0.4(Rs=0.9091<1)，则疾病将依概率1趋于灭绝.这就说明大的噪声强度能使疾病灭绝.
同样进行10,000次数值模拟，得到了疾病的平均灭绝时间.在不同噪声强度下的
平均灭绝时间分别是132.5930、125.9268、和 119.3161.因此，随着噪声强度的增大，模型(5)中的疾病的平均灭绝时间变短.
(a)σ1=0.1,σ2=0.35 (b)σ1=0.2,σ2=0.38
(c)σ1=0.3,σ2=0.40图3 模型(5)的解S(t)、I(t)和R(t)在不同的噪声强度下的路径
4 总结
本文研究了一个具有信息干预和环境噪声影响的随机SIRS流行病模型的动力学行为.若随机基本再生数Rs<1，疾病依概率—灭绝.若Rs>1，模型(5)解存在一个平
稳分布，即意味着疾病是持久的.信息干预作为重要的非药物治疗措施，对疾病的
传播有很大影响，可以降低感染人数的峰值.
参考文献:
【相关文献】
[1] Joshi H,Lenhart S,Albright K,et al.Modeling the effect of information campaigns on the HIV epidemic in Uganda[J].Mathematical Biosciences and Engineering,2008,5(4)：757-770.
[2] Xiao Y,Tang S,Wu J.Media impact switching surface during an infectious disease outbreak[J].International Journal of Scientific Reports,2015,5：7838.
[3] Kumar A,Srivastava P,Takeuchi Y.Modeling the role of information and limited optimal treatment on disease prevalence[J].Journal of Theoretical Biology,2017,414：103-119. [4] Zhu L,Hu H.A stochastic SIR epidemic model with density dependent birth
rate[J].Advances in Difference Equations,2015,(1):1-12.
[5] Lahrouz A,Omari L.Extinction and stationary distribution of a stochastic SIRS epidemic model with non-linear incidence[J].Statistics and Probability Letters,2013,83(4)：960-968.
[6] 张启敏等.具有信息干预的随机SIRS传染病模型正解的存在性与灭绝性[J].河南师范大学学报(自然科学版),2018,46(4)：1-8.
[7] Zhang X,Jiang D,Alsaedi A,et al.Stationary distribution of stochastic SIS epidemic model with vaccination under regime switching[J].Applied Mathematics Letters,2016,59：87-93.
[8] Cai Y,Kang Y,Banerjee M,et al.A stochastic SIRS epidemic model with infectious force under intervention strategies[J].Journal of Differential Equations,2015,259(12)：7463-7502.
[9] Li D,Cui J,Liu M,et al.The evolutionary dynamics of stochastic epidemic model with nonlinear incidence rate[J].Bulletin of Mathematical Biology,2015,77(9)：1705-1743. [10] May R.Stability and Complexity in Model Ecosystems[M].Princeton:Princeton University Press,2001.
[11] Dalal N,Greenhalgh D,Mao X.A stochastic model of AIDS and condom use[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,325(1)：36-53.
[12] Mao X.Stochastic Differential Equations and Applications[M].Chichester:Horwood Publishing,2007.
[13] Ikeda N,Watanabe S.Stochastic Differential Equations and Diffusion
Processes[M].New York:North Holland Publishing,1981.
[14] Strang G.Linear Algebra and Its Applications[M].CA:Cengage Learing Inc,2005.
[15] Higham D.An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations[J].SIAM Review,2001,43(3)：525-546.。