华南理工大学大二理学专业高等数学试卷及答案 (2)

华南理工大学2021~2021学年第二学期高数期末考试题
一. 填空题 (每题4分,共20分)
(){}2
2
1.42,16,181.z x y gradz ==+9点的梯度
()()4422
1,1,1,12.(,)2.
f x y x y x xy y =+-----
的极值点是
2
2
2
23..
L
L x y a a π+==⎰
假设为圆周的右半部分,则()()
221,0,14.sin 20.
x A e yi xy z j xzy k divA
+=设=++,则
()()()2
2
12322
2125.3,3,3222266
,.
3x
x
y y x y x e x x y x y x y x y C x C e ==+=++'''---+-=-=++设都是方程
的解则该方程的通解为 二. (
此
题
8
分
)
计
算
三
重
积
分
()222222,1.
x y z dv x y z Ω
++Ω++=⎰⎰⎰其中是由所围成的闭球体
21
220
sin 45
d d r r dr
ππθϕϕπ=⋅=⎰
⎰⎰原式
三. (
此
题
8
分
)
()():(,)0,0,
(0,0)(0,0),0,0.x y f x y f f =
证明处连续与存在但在处不可微
(
)()()(
)()0
00
01lim
0(0,0),(,)0,0(,0)(0,0)2(0,0)lim (0,0)0,
(0,0)(0,0).
(0,0)(0,0)3lim (,)0,0.
x y x x y x y x y x y f f x y f x f f x
f f f f f x f y f x y →→∆→∆→∆→===
∆-=∆=⎡⎤∆-∆+∆因为所以处连续.
=0,同理所以与存在因为,所以在处不可微 四. (
此
题
8
分
)
(),cos ,sin ,
u x y x r y r u u
x y r y x
θθθ==∂∂-∂∂设函数有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式将变换为,下的表达式
.
cos ,sin arctan ,sin cos cos ,sin ,,.
x r y r y
r x
r r x y x r y r
u u u x y y x θθθθθθθθθθ
====∂∂∂∂===-=∂∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂由得到
从而
于是 五. (
此
题
8
分
)
计
算
()()()()
()()
222
2
,:
111121L xdy ydx
L x y x y x y -+-+-=+=⎰其中为圆周按反时针方向闭曲线按反时针方向
()()()
()
()()()()
22
222
2
2
2222
1111,0,0,
21:,,2L L l x y Q P x y x y xdy ydx x y x y l x y xdy ydx xdy ydx
x y x y
ε
εεπ-
-
+-=∂
∂≠∂∂-=++
=+=--=
=++⎰⎰⎰
圆周按反时针方向由于=,,利用格林公式闭曲线按反时针方向作小圆取顺时针方向则在复连通区域上用格林公式有
六. (此题
8
分
)
计
算
22
4
.
ydS x y z x y ∑
∑++=+⎰⎰,是平面被圆柱面=1截出的有限部分
22:4,:0()
D
z x y dS xoy x y ydS ∑
∑=--=∑+≤==⎰⎰⎰⎰在面的投影区域为D 1则对称性
七. (此题8分) 计算曲面积分
2,
.
I yzdzdx dxdy z ∑
=+∑=⎰⎰其中为上半球面
{}()()2
2
22:,
,,,cos ,cos :422212D
z n x y z y dzdx dxdy dxdy z xoy D x y I yzdzdx dxdy y dxdy
y dxdy α
γ
π
∑
∑
∑===
=∑+≤=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰取上侧即法向量利用对坐标的转换在面的投影区域为则
八. (此题6分)
sin .dy y x
dx x x +=求微分方程的通解
cos .C x
y x
-=通解为:
九. (
此
题
6
分
)
22.x y y y e '''+-=求微分方程的通解
12
12x x x y C e
C e e -=++通解为:
十. (非
化
工
类做
)(
此题6分)
()
121
1
1.4
n n n
n x
n -∞
-=-⋅∑
求幂级数的收敛域
[]2,2-收敛域为
十一. (非
化
工
类做
)
(
此题
7
分
)
2
(),2.
x
f x x x
=+-将函数展开成麦克劳林级数并确定其成立区间()()1
2
0111,1,1232n n n n x x x x x ∞-=⎡⎤=-+∈-⎢⎥+-⎣⎦
∑ 十二. (非
化
工
类做
)
(
此题
7
分
)
[)()2,
1,0,(),
1,0,.
f x x f x x πππππ--≤<⎧-=⎨≤<⎩设函数是以为周期的周期函数它在上的表达式为将其展开成傅立叶级数并确定其成立范围()14
1
()sin 21,0,,2,321
0,,2,3,()n f x n x x n x f x πππ
ππππ∞
==-≠±±±-=±±±∑时的傅立叶级数收敛于0.
十.
(化工类做) (此题6分)求微分方程
()()2
2
2
3
36640.
x
xy dx x y y dy ++=+的通解3
2
2
4
3x x y y C ++=通解为:
十一. (化工类做) (此题7分)计算
2
,.
L
xds L y x y x ==⎰
其中为直线及抛物线所围成区域的整个边界
(
)
1
111122
L
xds x ==-+⎰
⎰⎰
+
十二. (化工类做) (此题7分)
22.
1y y y
'''+-求微分方程=0的通解 121
1y C x C =-
+通解为。