北师大版八年级数学下册解题技巧专题：勾股定理与面积问题 勾股定理中的思想方法

解题技巧专题：勾股定理与面积问题
——全方位求面积，一网搜罗类型一三角形中利用面积法求高
1．直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为()
B．13
2．(2019·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段所在直线的距离是．
类型二结合乘法公式巧求面积或长度
3．已知△中，∠C＝90°，若a＋b＝12，c＝10，则△的面积是()
A．482B．242C．162D．112
4．若一个直角三角形的面积为62，斜边长为5，则该直角三角形的周长是()
A．7 B．10
C．(5＋) D．12
5．(2019·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()
A．3 B．4 C．5 D．6
类型三巧妙利用割补法求面积
6．如图，已知＝5，＝12，＝13，＝10，⊥，求四边形的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，＝4，＝2，求四边形的面积．【方法6】
类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9，则正方形A，B，C，D的面积之和为2.
参考答案与解析
1．D
2.解析：如图，连接，，设点C到线段所在直线的距离是h.∵S△＝3×3－×2×1－×2×1－×3×3－1＝9－1－1－－1＝，＝＝，∴×h＝，∴h＝.故答案为.
3．D4 5
6．解：连接，过点C作⊥交于点E.∵⊥，∴∠＝90°.在△中，由勾股定理得＝＝＝13.∵＝13，∴＝.∵⊥，∴＝＝×10＝5.在△中，由勾股定理得＝＝＝12.∴S四边形＝S△＋S△＝·＋·＝×5×12＋×10×12＝90.
7．解：延长，交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.∴＝2＝8.在△中，由勾股定理得＝＝＝4.∵∠＝90°，∴∠＝90°，∴＝2＝4.在△中，由勾股定理得＝＝＝2.∴S四边
形＝S△－S△＝·－·＝×4×4－×2×2＝6.
8．81
思想方法专题：勾股定理中的思想方法
类型一分类讨论思想
一、直角边与斜边不明需分类讨论
1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为【易错3】()
A．13 B．5
C．13或5 D．4
2．直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面积是．
二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论
3．★(2019·东营中考)在△中，＝10，＝2，边上的高＝6，则的长为【易错4】() A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
4．在等腰△中，已知＝＝5，△的面积为10，则＝．【易错4】
类型二方程思想
一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长
5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为．
二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长
6．如图，将长方形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点C′上．若＝6，＝9，求的长．【方法4】
三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长
7．(2019·益阳中考)如图，在△中，＝15，＝14，＝13，求△的面积．
类型三利用转化思想求最值
8．(2019·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B 点，那么它的最短路线的长是.【方法5】
9．如图，A，B两个村在河的同侧，且＝，A，B两村到河的距离分别为＝1，＝3.现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．【方法5】
参考答案与解析
1．C 2.24或6
3．C解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，＝10，＝2，＝6.在△和△中，根据勾股定理得＝＝＝8，＝＝＝2，此时＝＋＝8＋2＝10；图②中，同理可得＝8，＝2，此时＝－＝8－2＝6.综上所述，的长为6或10.故选C.
4．2或4解析：如图①，△为锐角三角形，过点C作⊥，交于点D.∵S△＝10，＝5，∴·＝10，解得＝4.在△中，由勾股定理得＝＝＝3，∴＝－＝5－3＝2.在△中，由勾股定理得＝＝＝2；
如图②，△为钝角三角形，过点C作⊥，交的延长线于点D.同上可得＝4.在△中，＝5，由勾股定理得＝＝＝3.∴＝＋＝5＋3＝8.在△中，由勾股定理得＝＝＝4.综上所述，的长度为2或4.
5．17m
6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴＝C′F.设＝x.∵＝9，∴C′F＝＝－＝9－x.∵C′是的中点，＝6，∴′＝＝3.在△C′中，由勾股定理得C′F2＝2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4，即的长为4.
7．解：过A作⊥交于点D.在△中，＝15，＝14，＝13，设＝x，则＝－＝14－x.在△和△中，由勾股定理得2＝2－2＝152－x2，2＝2－2＝132－(14－x)2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.在△中，由勾股定理得＝＝＝12.∴S△＝·＝×14×12＝84.
8．4
9．解：如图，作点A关于的对称点A′，连接′交于O，点O即为水厂的位置．过点A′作A′E∥交的延长线于点E，过点A作⊥于点F，则＝A′E，＝＝1，＝A′C＝1.∴＝－＝3－1＝2()．在△中，2＝2－2＝13－22＝9，∴＝3.∴A′E＝3.在△A′中，＝＋＝4，由勾股定理得A′B ＝＝＝5()．∴W＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总费用为15000元．
核心素养专题：古代问题中的勾股定理
类型一勾股定理应用中的实际问题
1．【“引葭赴岸”问题】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是()
A．10尺B．11尺
C．12尺D．13尺
第1题图第2题图2．(2019·西城区期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．
注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去．
解决下列问题：
(1)示意图中，线段的长为尺，线段的长为尺；
(2)设户斜长x，则可列方程为．
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为尺．
4．(2019·东营中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度为尺．类型二勾股定理的证明问题
5．(2019·丽水中考)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且∥，则正方形的边长为．
6．中国古代对勾股定理有深刻的认识．
(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图①所示的直角三角形拼成一个如图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求(a＋b)2的值；
(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法：第一步＝m；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘以k，得三边长．当面积S＝150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．
参考答案与解析
1．D 2.(1)42(2)(x－4)2＋(x－2)2＝x2 3.14.5
4．25解析：将圆柱侧面展开，如图，＝3尺，＝＝4(尺)，∴＝＝5(尺)，∴葛藤的最短长度为5×5＝25(尺)．
5．10
6．解：(1)根据勾股定理可得a2＋b2＝13，四个直角三角形的面积是×4＝13－1＝12，即2＝12，则(a＋b)2＝a2＋2＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25.
(2)当S＝150时，k＝＝＝＝＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长为15，20，25.。