浙江省嘉兴市高二数学下学期期末试卷(含解析)

2016—2017学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）
A．60°B．120°C．135°D．150°
2．过点（2，2）且垂直于直线2x+y+6=0的直线方程为（）
A．2x﹣y﹣2=0 B．x﹣2y﹣2=0 C．x﹣2y+2=0 D．2x+y+2=0
3．已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，则其圆C和半径r分别为（）
A．C(1，﹣2）,r=5 B．C（﹣1，﹣2），r=5 C．C(1，2)，r=25 D．C(1，﹣2），r=25 4．抛物线y2=4x的焦点到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（)
A．B．C．D．
5．已知实数x，y满足,则x+2y的取值范围为（）
A．［﹣3，2] B．[﹣2，6］C．[﹣3,6] D．［2，6]
6．已知直线x﹣y﹣=0经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦点和顶点,则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
7．已知抛物线y2=4px(p＞0）上一点M到该抛物线焦点F的距离|MF|=3p,则直线MF的斜率为（）
A．±2B．±1 C．±D．±
8．已知圆C1：x2+y2﹣2ax+a2﹣1=0和圆C2：x2+y2﹣2by+b2﹣4=0恰有三条公共切线，则的最小值为（）
A．1+B．2 C．3﹣D．4
9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2且与x轴垂直的直线与双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，若△ABF1为等腰直角三角形，且|AB|=4，P（x，y）在双曲线上,M(，），则｜PM|+｜PF2｜的最小值为（)
A．﹣1 B．2 C．2﹣2 D．3
10．已知圆M:（x﹣1)2+y2=,椭圆C： +y2=1，若直线l与椭圆交于A，B两点，与圆M相切于点P，且P为AB的中点，则这样的直线l有( ）
A．2条B．3条C．4条D．6条
二、填空题:本大题共8小题，每小题3分，共24分）。

11．双曲线x2﹣2y2=4的离心率为．
12．已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣6y+10=0，则过点（1,2）的最短弦的长度为．13．椭圆+y2=1上一点P，M（1,0），则|PM|的最大值为．
14．过点(2，2）且与﹣y2=1有相同渐近线的双曲线方程为．
15．已知直线l：mx﹣y﹣m+2=0与圆C：x2+y2+4x﹣4=0交于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则m= ．
16．已知A（1，1）,B（﹣2,3），O为坐标原点，若直线l:ax+by+1=0与△ABO所围成的区域(包括边界）没有公共点,则a﹣3b的取值范围为．
17．已知抛物线y2=2px(p＞0）的焦点F关于直线x+y=1的对称点仍在抛物线上,则p的值等于．
18．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)上存在点P，满足P到y轴和到x轴的距离比为，则双曲线离心率的取值范围是．
三、解答题:本大题共4小题，共36分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
19．已知直线l1过点A（2,1)，直线l2:2x﹣y﹣1=0．
（Ⅰ）若直线l1与直线l2平行，求直线l1的方程；
（Ⅱ）若直线l1与y轴、直线l2分别交于点M，N，｜MN｜=|AN|，求直线l1的方程．
20．已知圆M过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线y=x﹣3上．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）若过点（﹣4,1)的直线l与圆M相切，求直线l的方程．
21．已知抛物线C:y2=2px（p＞0），直线l与抛物线C相交于A,B两点,P为抛物线上一点，当直线l过抛物线焦点时，|AB｜的最小值为2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程;
（Ⅱ）若AB的中点为（3，1），且直线PA，PB的倾斜角互补,求△PAB的面积．
22．如图,已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ)若直线l分别交直线y=x，y=﹣x于P,Q两点，求的取值范围．
2016—2017学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）
A．60°B．120°C．135°D．150°
【考点】I2:直线的倾斜角．
【分析】设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ，则θ∈［0°，180°）．则tanθ=﹣,解得θ．
【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ，则θ∈[0°,180°）．
则tanθ=﹣，解得θ=150°．
故选：D．
2．过点（2，2）且垂直于直线2x+y+6=0的直线方程为（）
A．2x﹣y﹣2=0 B．x﹣2y﹣2=0 C．x﹣2y+2=0 D．2x+y+2=0
【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】设与直线2x+y+6=0的直线方程为x﹣2y+m=0，把点（2,2）代入上述方程可得m．【解答】解:设与直线2x+y+6=0的直线方程为x﹣2y+m=0，
把点（2,2）代入上述方程可得:2﹣4+m=0，解得m=2．
∴满足条件的方程为:x﹣2y+2=0．
故选：C．
3．已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，则其圆C和半径r分别为（)
A．C（1，﹣2），r=5 B．C(﹣1，﹣2）,r=5 C．C（1，2)，r=25 D．C(1，﹣2）,r=25【考点】J2：圆的一般方程．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径，从而得出结论．
【解答】解:圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，即（x﹣1）2+（y+2)2 =25,
表示以C（1，﹣2）为圆心、半径等于5的圆，
故选：A．
4．抛物线y2=4x的焦点到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（）
A．B．C．D．
【考点】KI:圆锥曲线的综合．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解:抛物线y2=4x的焦点(1，0）到双曲线﹣y2=1的渐近线x±2y=0的距离为： =．
故选：B．
5．已知实数x，y满足，则x+2y的取值范围为( ）
A．［﹣3，2］B．[﹣2，6] C．[﹣3，6] D．[2，6]
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=x+
2y对应的直线进行平移，可得当x=y=2时，z取得最大值；当x=y=﹣1时,z取得最小值﹣3,由此可得x+2y的取值范围．
【解答】解：作出实数x，y满足,表示的平面区域
得到如图的△ABC及其内部，
其中A（2，2)，B(﹣2,0），C(﹣1，﹣1）
设z=F(x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值，得z最大值=F（2,2）=6；
当l经过点C时，目标函数z达到最小值，得z最小值=F（﹣1，﹣1）=﹣3
因此，x+2y的取值范围是［﹣3，6］
故选:C．
6．已知直线x﹣y﹣=0经过椭圆C： +=1（a＞b＞0)的焦点和顶点，则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】K4:椭圆的简单性质．
【分析】求出直线与x，y轴的交点,得到椭圆的焦点和顶点,然后求解椭圆的离心率．
【解答】解：直线x﹣y﹣=0经过椭圆C： +=1(a＞b＞0）的焦点和顶点,
可得椭圆的一个焦点坐标（,0)，一个顶点坐标（0，﹣1），
所以c=，b=1，则a=,
所以e==．
故选:B．
7．已知抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到该抛物线焦点F的距离｜MF|=3p，则直线MF的斜率为( ）
A．±2B．±1 C．±D．±
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】设P(x0，y0）根据定义点M与焦点F的距离等于M到准线的距离，求出x0，然后代入抛物线方程求出y0即可求出坐标．然后求解直线的斜率．
【解答】解：根据定义，点M与准线的距离也是3P，
设M（x0，y0),则M与准线的距离为:x0+p，
∴x0+p=3p，x0=2p，
∴y0=±2p，
∴点M的坐标（2p，±2p）．
直线MF的斜率为： =±2．
故选：A．
8．已知圆C1:x2+y2﹣2ax+a2﹣1=0和圆C2：x2+y2﹣2by+b2﹣4=0恰有三条公共切线,则的最小值为( ）
A．1+B．2 C．3﹣D．4
【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出两圆的半径和圆心,根据两圆外切得出a,b的关系，根据几何意义得出最小值．【解答】解：圆C1的圆心为C1(a，0），半径为r1=1，
圆C2的圆心为C2（0,b），半径为r2=2，
∵两圆有三条公共切线，∴两圆外切．
∴=3，
∴点（a，b)在半径为3的圆x2+y2=9上．
而表示点(a，b）到点（3，4）的距离．
∴的最小值为﹣3=2．
故选B．
9．已知双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2且与x轴垂直的直线与双曲线两条渐近线分别交于A,B两点,若△ABF1为等腰直角三角形,且|AB|=4,P （x，y）在双曲线上，M(，），则|PM|+|PF2｜的最小值为（）
A．﹣1 B．2 C．2﹣2 D．3
【考点】KC:双曲线的简单性质．
【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x=c,解得y，可得|AB|
，由等腰直角三角形的性质和双曲线的基本量的关系,解得a，b,c,可得双曲线的方程，讨论P在左支和右支上,运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．
【解答】解:双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0)，F2（c，0）,
渐近线方程为y=±x，
令x=c，解得y=±，
可得|AB|=，
若△ABF1为等腰直角三角形，且｜AB｜=4，
即有=4，2c=2，c2=a2+b2，
解得a=1,b=2,c=，
即有双曲线的方程为x2﹣=1，
由题意可知若P在左支上,由双曲线的定义可得｜PF2|=2a+|PF1｜，
｜PM|+|PF2|=｜PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+2=+2=7，
当且仅当M，P,F1共线时，取得最小值7；
若P在右支上，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a,
|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1｜﹣2a≥｜MF1|﹣2=﹣2=3，
当且仅当M，P，F1共线时,取得最小值3．
综上可得，所求最小值为3．
故选：D．
10．已知圆M：（x﹣1)2+y2=，椭圆C： +y2
=1，若直线l与椭圆交于A，B两点，与圆M相切于点P，且P为AB的中点，则这样的直线l 有( ）
A．2条B．3条C．4条D．6条
【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．
【分析】讨论直线AB的斜率不存在和存在，利用点差法求得直线AB的斜率,根据k MP•k AB=﹣1，求得P点横坐标，确定在椭圆内，即可得到所求直线的条数．
【解答】解:当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时,P在x轴上，
故满足条件的直线有两条；
当直线AB斜率存在时，设A（x1,y1）,B（x2,y2），P（x0,y0），
由+y12=1， +y22=1，
两式相减,整理得： =﹣•，
则k AB=﹣，k MP=，k MP•k AB=﹣1，
则k MP•k AB=﹣•=﹣1,解得：x0=,
由＜,可得P在椭圆内部，
则这样的P点有两个，即直线AB斜率存在时，也有两条．
综上可得,所求直线l有4条．
故选:C．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分）.
11．双曲线x2﹣2y2=4的离心率为．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】化简双曲线方程为标准方程，然后求解离心率即可．
【解答】解：双曲线x2﹣2y2=4的标准方程为:,可得a=2,b=，则c=,
所以双曲线的离心率为:e=．
故答案为：．
12．已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣6y+10=0,则过点（1，2）的最短弦的长度为 2 ．
【考点】J8:直线与圆相交的性质．
【分析】把圆方程化为标准方程,找出圆心M坐标与半径r,当MC⊥AB时，AB的长最短，利用勾股定理可求得最短弦的长度．
【解答】解：将圆方程化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2=3，即圆心C（2,3），半径r=，
当点M(1，2）为弦AB的中点,即MC⊥AB时,AB的长最短，CM=
∴AB=2
故答案为:2．
13．椭圆+y2=1上一点P，M（1,0）,则｜PM|的最大值为1+．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】设出椭圆上任意一点的参数坐标，由两点间的距离公式写出|PM|,利用配方法通过三角函数的有界性求其最大值．
【解答】解：∵椭圆+y2=1，
设P点坐标是（cost，sint）
则｜PM|==
==｜cost﹣|∈［,1+］．
∴当cost=﹣1时，|PM｜取得最大值为:1．
故答案为:1+．
14．过点（2，2）且与﹣y2=1有相同渐近线的双曲线方程为．
【考点】KC:双曲线的简单性质．
【分析】设双曲线的方程是﹣y2=λ，把点（2,2）代入方程解得λ，从而得到所求的双曲线的方程．
【解答】解：由题意可知，可设双曲线的方程是﹣y2=λ,（λ≠0，且λ≠1），
把点（2，2)代入方程，
得1﹣4=λ解得λ=﹣3，
故所求的双曲线的方程是﹣y2=﹣3即，
故答案为：．
15．已知直线l：mx﹣y﹣m+2=0与圆C:x2+y2+4x﹣4=0交于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则m= 0或．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】圆心C（﹣2，0），半径r=4,由直线l：mx﹣y﹣m+2=0与圆C：x2+y2+4x﹣4=0交于A，B两点,△ABC为直角三角形，得到|AB|=8，圆心C（﹣2，0)到直线l：mx﹣y﹣m+2=0的距离为4，由此能求出结果．
【解答】解：圆心C(﹣2,0)，半径r==4，
∵直线l:mx﹣y﹣m+2=0与圆C：x2+y2+4x﹣4=0交于A,B两点，△ABC为直角三角形，
∴|AB|===8，
∴圆心C（﹣2，0）到直线l：mx﹣y﹣m+2=0的距离：
d===4，
解得m=0或m=．
故答案为：0或．
16．已知A(1,1),B（﹣2，3），O为坐标原点,若直线l：ax+by+1=0与△ABO所围成的区域(包括边界）没有公共点,则a﹣3b的取值范围为（﹣∞，）．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】根据所给的三个点的坐标和直线与△ABO所围成的区域(包括边界)没有公共点，得到关于a，b的不等式组,根据不等式组画出可行域，求出目标函数的取值范围．
【解答】解：A（1，1），B（﹣2，3）,O为坐标原点,
直线l：ax+by+1=0与△ABO所围成区域（包含边界）
没有公共点，
得不等式组，
令z=a﹣3b，
画出不等式组表示的平面区域，
判断知，z=a﹣3b在A取得最大值，
由，解得M（﹣，﹣），
可得a﹣3b＜．
∴a﹣3b的取值范围是（﹣∞，）．
故答案为：（﹣∞，）．
17．已知抛物线y2=2px(p＞0）的焦点F关于直线x+y=1的对称点仍在抛物线上，则p的值等于6．
【考点】KN:直线与抛物线的位置关系．
【分析】抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（，0)，设焦点F关于直线x+y=1的对称点为(a，b），由抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F关于直线x+y=1的对称点仍在抛物线上,利用中点坐标公式、直线的斜率公式、抛物线性质列出方程组，能求出p的值．
【解答】解:抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），
设焦点F关于直线x+y=1的对称点为(a，b）,
∵抛物线y2=2px（p＞0)的焦点F关于直线x+y=1的对称点仍在抛物线上,
∴,解得，∴(1﹣)2=2p，
解得p=6．
故答案为：6．
18．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上存在点P，满足P到y轴和到x轴的距离比为,则双曲线离心率的取值范围是（,+∞）．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】设P（x，y)，由题意可得,｜x｜=｜y|，即为y2=x2，代入双曲线的方程，由双曲线的x的范围，结合离心率公式，即可得到所求范围．
【解答】解：设P（x，y），
由题意可得,|x|=|y｜，
即有x2=3y2，即y2=x2，
∴﹣=1，
∴1≥a2（﹣)，且﹣＞0，
∴3b2＞a2,
∴e==＞=．
故答案为：（，+∞）．
三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
19．已知直线l1过点A（2，1)，直线l2:2x﹣y﹣1=0．
（Ⅰ)若直线l1与直线l2平行,求直线l1的方程；
(Ⅱ）若直线l1与y轴、直线l2分别交于点M，N，｜MN｜=｜AN｜，求直线l1的方程．
【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】(I）由直线l1与直线l2平行，可设直线l1的方程:2x﹣y+m=0,把点A（2，1）代入可得m．
（II）由已知可设直线l1的方程为y=k（x﹣2）+1，可得M(0，1﹣2k)，根据｜MN|=|AN｜，可得N（1，1﹣k)，代入直线l2的方程可得k．
【解答】解:（I)∵直线l1与直线l2平行,可设直线l1的方程：2x﹣y+m=0,把点A（2,1）代入可得：4﹣1+m=0,解得m=﹣3．可得直线l1的方程为2x﹣y﹣3=0．
（II）由已知可设直线l1的方程为y=k（x﹣2）+1,可得M（0，1﹣2k），
∵｜MN｜=｜AN｜，
∴N（1，1﹣k），
代入直线l2的方程可得k=0．
∴直线l1的方程为y=1．
20．已知圆M过点A(1，3），B（4，2），且圆心在直线y=x﹣3上．
（Ⅰ）求圆M的方程;
（Ⅱ）若过点(﹣4,1）的直线l与圆M相切，求直线l的方程．
【考点】J7:圆的切线方程;J1：圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）求出线段AB的中点坐标为（，），直线AB的斜率k AB=﹣,从而得到AB 的中垂线方程为y=3x﹣5，再由圆心M在直线y=x﹣3上，联立方程组,求出圆心M，从而求出r=|MA｜，由此能求出圆M的方程．
(Ⅱ)当直线l的方程为x=﹣4时，符合条件，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx ﹣y+4k+1=0,则圆心M到直线l的距离d==5，求出k，由此能求出直线l的方程．
【解答】解:（Ⅰ）∵圆M过点A(1，3），B(4,2），
∴线段AB的中点坐标为（，)，直线AB的斜率k AB==﹣，
∴AB的中垂线方程为y﹣=3（x﹣），即y=3x﹣5，
∵圆心M在直线y=x﹣3上．∴由,得M（1,﹣2），
∴r=｜MA｜==5，
∴圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2)2=25．
（Ⅱ）当直线l的方程为x=﹣4时，符合条件，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣1=k（x+4），即kx﹣y+4k+1=0，
圆心M到直线l的距离d==5，解得k=,
∴y=,
综上，直线l的方程为x=﹣4或y=．
21．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，P为抛物线上一点，当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若AB的中点为（3,1），且直线PA，PB的倾斜角互补，求△PAB的面积．
【考点】KN:直线与抛物线的位置关系；K7：抛物线的标准方程．
【分析】(Ⅰ）当直线l过抛物线焦点时，｜AB|的最小值为2,由此得到2p=2，从而能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣2my﹣2n=0，利用韦达定理结合AB 的中点为（3,1），求出m=1，从而直线l的方程为x=y+2，由此利用弦长公式、直线PA，PB 的倾斜角互补、点到直线的距离公式,结合已知条件能求出△PAB的面积．
【解答】解：(Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）,直线l与抛物线C相交于A，B两点，P为抛物线上一点，
当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2，
∴2p=2，解得p=1，
∴抛物线C的方程为y2=2x．
（Ⅱ）设A（x1,y1)，B（x2，y2)，P(x0,y0），
设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣2my﹣2n=0，
y1+y2=2m，y1y2=﹣2n,
∵AB的中点为（3，1），∴2m=2,即m=1，
∴直线l的方程为x=y+2，
∴y1+y2=2，y1y2=﹣4，
∴|AB|==2，
∵k AP+k BP===0，
∴2y0+y1+y2=0，∴y0=﹣1，
∴P(），点P到直线l的距离d=，
∴△PAB的面积为｜AB|d=．
22．如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点,△F1MN的周长为8．
（Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ）若直线l分别交直线y=x，y=﹣x于P，Q两点，求的取值范围．
【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，联立，得：（3m2+4)y2+6my﹣9=0,由此利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8．
∴,解得a=2，b=，c=1,
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，
联立,消去x，整理，得：(3m2+4）y2+6my﹣9=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2)，则，，
设P（x3，y3），N（x4,y4），
联立，得，同理，
|PQ｜==，
∴==，
当0≤m2≤4时， =∈［0，]，
当m2＞4时， =∈（0，)，
∴的取值范围是［0，]．
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