天津一中高三第一次月考数学(理)试卷

天津一中2016-2017-1高三年级第一次月考数学（理）试卷
一、选择题：
1．设全集U =R ,集合A ={x|x 2-2x ≥0},B ={x|y =log 2(x 2-1)},则(∁U A )∩B =（ B ） A.
D.(-∞,-1)∪
2. 在复平面上，复数
2i
i
+对应的点在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．设函数2
3()x
x
f x e -=（e 为自然底数），则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ A ）
A.01x <<
B.04x <<
C. 03x <<
D. 34x <<
4．下列命题中是假命题的是（ C ） A.m R ∃∈，使243
()(1)m m f x m x
-+=-⋅是幂函数
B. ,R αβ∃∈，使cos()cos cos αβαβ+=+
C. R ϕ∀∈，函数()sin()f x x ϕ=+都不是偶函数
D. 0a ∀>，函数2
()ln ln f x x x a =+-有零点
5．设变量x ，y 满足：34,2y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
则z=|x-3y|的最大值为（ B ）
A ．3
B ．8
C ．
134 D ．92
6．在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是3，则输入x 的取值范围是（A ） A ．（4，10] B ．（2，+∞）
C ．（2，4]
D ．（4，+∞）
7．函数f (x )=(x 2-2x )e x 的大致图象是（ A ）
A.
B.
C.
D.
8．已知函数()2,1
1,1
x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩,若1212,,x x R x x ∃∈≠,使得()()12f x f x =成立, 则实
数a 的取值范围是（ A ）
A ．2a <
B ．2a >
C ．22a -<<
D ．2a >或
2a <-
二、填空题：9.若
（2x+）dx=3+ln2（a ＞1），则a 的值是 ．2
10.已知函数f (x )=22
4,0,4-,0,
x x x x x x ⎧+≥⎨<⎩若f (2-a 2
)>f (a ),则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】(-2,1)
11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ， 1=BC ， D 为斜边AB 的中点，则
⋅= . -1
12.如图，PB 为△ABC 外接圆O 的切线，BD 平分PBC ∠，交圆O 于D ，C,D,P
共线．若AB BD ⊥,PC PB ⊥,1PD =，则圆O 的半径是 ．-2 13.已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2c o s ()
2
π
ρθ=-+
，
cos()104
π
θ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为
14.已知函数||)(x
xe x f =，方程)(01)()(2
R t x tf x f ∈=++有四个实数根， 则t 的取值范围为
)1
2e
e +-∞-，（
三、解答题：
15.已知函数2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-，x R ∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44
ππ
-
上的最大值和最小值.
解：(Ⅰ) ∵sin2cos
cos2sin
sin2co ()=3
3
3
s
cos23
sin
cos2f x x x x x x π
π
π
π
⋅+⋅+⋅-⋅+
sin2cos224x x x π
=+=+（），……………………4分 ∴函数()f x 的最小正周期22
T π
π=
=。

……………………6分 （Ⅱ）∵函数()f x 在区间48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上是增函数，在区间84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上是减函数，………8分
又()=(
(
)114
8
4
=f f f π
π
π
-
-，，……………………11分
∴函数()f x 在[,
]44ππ
-
的最大值为，最小值为－1。

……………………13分
16.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 1
2C 23＝23，P (B )＝C 2
4C 35＝3
5
.
∵事件A 与B 相互独立，
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B ) ＝P (A )·＝23×25＝415.
⎝ ⎛⎭
⎪⎫或P （A B ）＝C 1
2
·C 3
4C 23·C 35＝415 (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 2
4C 35＝3
5
.
∵X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为
P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475
， P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )
＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075
，
P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )
＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375
， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875
，
∴X 的分布列为
∴X 的数学期望
E (X )＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝
14075＝28
15
.
17.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED 和△BFC 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合，记为点M ，得到一个四棱锥M ﹣CDEF ，点G ，N ，H 分别是MC ，MD ，EF 的中点． （1）求证：GH ∥平面DEM ； （2）求证：EM ⊥CN ；
（3）求直线GH 与平面NFC 所成角的大小．
【解答】证明：（1）连结NG ，EN ，
∵N ，G 分别是MD ，MC 的中点，∴NG ∥CD ，NG=CD ．
∵H 是EF 的中点，EF ∥CD ，EF=CD ，∴EH ∥CD ，EH=CD ， ∴NG ∥EH ，NG=EH ，
∴四边形ENGH 是平行四边形，
∴GH ∥EN ，又GH ⊄平面DEM ，EN ⊂平面DEM ， ∴GH ∥平面DEM ．
（2）∵ME=EF=MF ，∴△MEF 是等边三角形， ∴MH ⊥EF ，
取CD 的中点P ，连结PH ，则PH ∥DE ，
∵DE ⊥ME ，DE ⊥EF ，ME∩EF=E， ∴DE ⊥平面MEF ， ∴PH ⊥平面MEF ．
以H 为原点，以HM ，HF ，HP 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则E （0，﹣1，0），M （，0，0），C （0，1，2），N （，﹣，1）．
∴=（
，1，0），
=（﹣
，，1）．
∴=+1×+0×1=0．
∴
． ∴EM ⊥NC ．
（3）F （0，1，0），H （0，0，0），G （，，1），
∴
=（
，，1），
=（0，0，2），
=（﹣
，，1），
设平面NFC 的法向量为=（x ，y ，z ），则，即．
令y=1得=（，1，0），
∴cos ＜
＞=
=
．
∴直线GH 与平面NFC 所成角的正弦值为，
∴直线GH 与平面NFC 所成角为．
18.已知首项为2,公比不等于1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3,S 2,S 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)记b n =n|a n |,数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n .
【答案】(1)通解 设数列{a n }的公比为q ,由题意得2S 2=S 3+S 4,q ≠1, 化简得q 2+q-2=0,得q =-2,
又数列{a n }的首项为,∴a n =2×(-2)n-1. 又数列{a n }的首项为,∴a n =2×(-2)n-1.
(2)b n =n|a n |=n ×2×2n-1=n ×2n
,
∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =(1×2+2×22+3×23+…+n ×2n ), ① 2T n =(1×22+2×23+3×24+…+n ×2n+1), ② ① -②整理得 ∴T n =2+(n-1)×2n
.
19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(122
22
>>=+b a b
y a x 的离心率为，直线y=x 被
椭圆C 截得的线段长为．
（ I ）求椭圆C 的方程．
（Ⅱ）直线l 是圆O ：222r y x =+的任意一条切线，l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恒过原点，求圆O 的方程，并求出|AB|的取值范围．
解：（Ⅰ）椭圆方程
+
=1（a ＞b ＞0），a 2=b 2+c 2，
∵，
∴a 2
=2c 2
， ∴a 2
=2b 2
，
设直线与椭圆交于P ，Q 两点．不妨设P 点为直线和椭圆在第一象限的交点，
又∵弦长为，
∴， ∴
，
又a 2
=2b 2
，
解得a 2=8，b 2=4，∴椭圆方程为
．
（Ⅱ）（i ）当切线l 的斜率不存在时，设x=r （或x=﹣r ），代入椭圆方程得：y=±
∴A （r ，
），B （r ，﹣
），
∵以AB 为直径的圆恒过原点，
∴⊥，
∴r2﹣=0，
∴r2=，
∴圆O的方程为x2+y2=，
此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），
（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，
∵l与圆O相切
∴=r，即m2=（1+k2）r2，
将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①
△=8k2+4﹣m2＞0，②
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：
x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆恒过原点，
∴⊥，
∴x1x2+y1y2=0，
∴+=0，
∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），
又∵m2=（1+k2）r2，
∴3（1+k2）r2=8（1+k2），
∴r2=，
此时m2=（1+k2），代入②式后成立，
∴圆O的方程为x2+y2=，
此时|AB|=•，
=•，
=••，
=••，
=•，
=•，
=•；
（i ）若k=0，则|AB|=，
（ii ）若k ≠0，则|AB|=•∈（，2]，
综上，圆O 的方程为x 2+y 2
=，|AB|的取值范围是．
21．已知mx x x x f +=ln )(，且曲线)(x f y =在点（1，f （1））处的切线斜率为1． （1）求实数m 的值； （2）设
)
(2
)()(2
R a a x x a x f x g ∈+--=在其定义域内有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1
＜x 2，已知λ＞0，若不等式e 1+λ
＜x 1•x 2λ
恒成立，求λ的范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），由f′（1）=1求得m 值； （2）求出g （x ），求其导函数，可得lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，不等式e
1+λ
＜x 1•x 2λ
恒成立，转化
为恒成立，进一步转化为恒成立．令
，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令
，求导可得满足条件的λ的范围．
【解答】解：（1）f′（x）=1+lnx+m，
由题意知，f′（1）=1，即：m+1=1，解得 m=0；
（2）∵e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．
g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a=xlnx﹣x2﹣x+a，
由题意可知x1，x2分别是方程g′（x）=0，即：lnx﹣ax=0的两个根，
即lnx1=ax1，lnx2=ax2．
∴原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），
∵λ＞0，0＜x1＜x2，∴原式等价于．
又由lnx1=ax1，lnx2=ax2．
作差得，，即．
∴原式等价于，
∵0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．
令，t∈（0，1），
则不等式在t∈（0，1）上恒成立．
令，又h′（t）=，当λ2≥1时，可得t∈（0，1）时，h′（t）＞0，
∴h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，
h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．
当λ2＜1时，可得t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时，h′（t）＜0，
∴h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，
又λ＞0，∴λ≥1．。