人教A版数学必修课件：简单的三角恒等变换

(2)已知 2sin π4＋α＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋12cos 2β＝0.
[解析]
(1)cos12α＋tan
2α＝cos12α＋csoins
2α 2α
＝scions2αα＋－csoins 2αα2＝scions
α＋cos α－sin
αα＝t1a－n tαa＋n α1＝2
半角公式与倍角公式的关系及应注意的问题 (1)半角公式与倍角公式是相对而言的，即 2α 是 α 的二倍角，α 是 2α 的半角． (2)由于在新课标中不要求记忆半角公式，故在三角函数问题中用到半角公式时， 通常借助于倍角公式推导出再应用，亦可直接利用半角公式求解． (3)在利用半角公式解题时，注意判断角的范围，以免产生增根．
1－cos 2α
1＋cos 2α
2．降幂公式：sin2α＝
2
；cos2α＝
2
.
[双基自测] 1．已知 cos α＝35，且 0<α<π，则 sin α2＝________.
解析：因为 0<α<π，所以 0<α2<π2，sin α2＝
答案：
5 5
1－cos 2
α＝
1－2 35＝
5 5.
2．已知 cos 2θ＝275，则 cos θ＝________. 解析：因为 cos 2θ＝2cos2θ－1＝275，所以 cos2θ＝1265，cos θ＝±45.
1．已知 α 为钝角，β 为锐角，且 sin α＝45，sin β＝1123，求 cos α－2 β的值． 解析：因为 α 为钝角，β 为锐角，sin α＝45，sin β＝1123，
所以 cos α＝－35，cos β＝153，所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×153＋
3.2 简单的三角恒等变换
考纲定位
ห้องสมุดไป่ตู้
重难突破
1.了解半角公式及推导过程． 重点：灵活运用三角公式，特
2.能利用两角和与差公式进行
别是倍角公式进行三角
简单的三角求值、化简及证
恒等变换．
明．
难点：1.体会三角恒等变换的
3.掌握三角恒等变换在三角函
特点．
数图象与性质中的应用.
2.三角恒等变换的应用.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
∴cos θ＝－ 1－sin2θ＝－35.
∵cos θ＝2cos2θ2－1，∴cos2
θ2＝1＋c2os
θ .
又54π＜θ2＜32π，
∴cos θ2＝－
1＋cos 2
θ＝－
1－2 35＝－
5 5.
θ
4
tan
θ2＝csions
2θ2＝2csoins2θ
θ＝1＋sincoθs 2
θ＝1－5 35＝2.
012.
(2)证明：由 2sin π4＋α＝sin θ＋cos θ，得 2cos α＋ 2sin α＝sin θ＋cos θ，两边 平方得，2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，① 又 2sin2β＝sin 2θ，② 由①②两式消去 sin 2θ，得 2(1＋sin 2α)＝1＋2sin2β，即 2sin 2α＋cos 2β＝0，所
以 sin 2α＋12cos 2β＝0. [答案] (1)2 012
三角函数化简与证明的常见方法 (1)从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简． (2)两边化简，使其都等于中间某个式子，即左右归一． (3)把式子中的切函数化为弦函数，即化切为弦． (4)利用分析法、综合法找与原式等价的式子，即等价化归．
45×1123＝3635，又因为π2<α<π，0<β<π2，所以 0<α－β<π，所以 0<α－2 β<π2，
所以 cos α－2 β＝
1＋cos2α－β＝
1＋23635＝7
65 65 .
探究二 化简与证明
[典例 2] (1)若11＋－ttaann αα＝2 012，则cos12α＋tan 2α＝________.
1 2sin
2α＋
3 6
cos 2α－
63＝
1 3
3 2 sin
2α＋12cos
2α
答案：±45
3．已知π2<θ<34π，sin 2θ＝－45，则 tan θ＝________.
解析：因为π2<θ<34π，所以 π<2θ<32π，又 sin 2θ＝－45，
所以 cos 2θ＝－35，所以 答案：－2
tan
θ＝1＋sinco2sθ2θ＝1－－4535＝－2.
探究一 半角公式的应用
[典例 1] 已知 sin θ＝45，且52π＜θ＜3π.求 cos θ2和 tan θ2的值． [解析] ∵sin θ＝45，52π＜θ＜3π，
[解析] 连接 OA，设∠AOP＝α，过 A 作 AH⊥OP，垂足
为 H，在 Rt△AOH 中，OH＝cos α，
AH＝sin α，所以 BH＝taAnH60°＝ 33sin α，
所以
OB＝OH－BH＝cos
α－
3 3 sin
α，设平行四边形
ABOC
的面积为
S，则
S＝
OB·AH＝cos α－ 33sin α·sin α＝sin αcos α－ 33sin2α＝12sin 2α－ 63(1－cos 2α)＝
2．求证：
1
cos2α α－tan
α＝14sin 2α. 2
tan 2
证明：左边＝co1s－2αttaann2α2α2＝12cos2α12－tatnanα22α2
＝12cos2αtan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边．
∴原式成立．
探究三 三角恒等变换在实际问题中的应用 [典例 3] 福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生 产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题： 如图所示，有一块扇形钢板，半径为 1 米，圆心角 θ＝π3，施 工要求按图中所画的那样，在钢板 OPQ 上裁下一块平行四边形钢板 ABOC，要 求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定 A 的位置，才能使裁下的钢板符 合要求？最大面积为多少？
课时作业
[自主梳理]
一、半角公式 1．正弦半角公式：sin α2＝ ± 2．余弦半角公式：cos α2＝ ± 3．正切半角公式：tan α2＝ ±
1－cos α
2
.
1＋cos α
2.
1－cos α 1＋cos α
＝1＋sincoαs
α＝1－sincoαs
α .
二、升降幂公式 1．升幂公式：1＋cos α＝ 2cos2α2 ；1－cos α＝ 2sin2α2 .