液体压强竞赛题

以下是一道液体压强的竞赛题：
在一个上下温度相同、重力加速度g已知的容器中，盛有一定量的液体，液体对容器底部的压强为p，现将一个质量为m的实心小球浸没在液体中，小球体积为V，密度为ρ。

（1）求小球浸没在液体中时，液体对容器底部的压强变化量Δp。

（2）若小球在液体中上升了h高度（未露出液面），求液体对容器底部的压强变化量Δp'。

（3）若小球在液体中下沉了h高度（未触及容器底部），求液体对容器底部的压强变化量Δp''。

【分析】
（1）小球浸没在液体中时，液体上升的体积就等于小球的体积，利用$\Delta p = \rho_{液}g\Delta h$求液体对容器底部的压强变化量；
（2）若小球在液体中上升了$h$高度（未露出液面），此时小球受到的浮力等于其重力加向上的拉力，而浮力又等于排开液体的重力，据此求排开液体的体积，利用$\Delta p = \rho_{液}g\Delta h$求液体对容器底部的压强变化量；（3）若小球在液体中下沉了$h$高度（未触及容器底部），排开液体的体积加上小球的体积等于其自身的体积，据此求排开液体的体积，利用$\Delta p = \rho_{液}g\Delta h$求液体对容器底部的压强变化量。

【解答】
（1）小球浸没在液体中时，液体上升的体积就等于小球的体积，即V_{排} = V，液体对容器底部的压强变化量为：$\Delta p = \rho_{液}g\Delta h =
\rho_{液}gV_{排} = \rho_{液}gV}$；
（2）若小球在液体中上升了$h$高度（未露出液面），此时小球受到的浮力等于其重力加向上的拉力，而浮力又等于排开液体的重力，即$F_{浮} = G +
F$，则排开液体的重力为：G_{排} = F_{浮} - G = F_{浮} - m_{球}g =
\rho_{液}gV_{排} - m_{球}g；液体上升的体积就等于小球的体积减去排开液体的体积，即$\Delta V = V - V_{排}$，则液体对容器底部的压强变化量为：$\Delta p^{\prime} = \rho_{液}g\Delta h = \rho_{液}g\Delta V =
\rho_{液}g(V - V_{排}) = \rho_{液}g(V - \frac{F_{浮} -
m_{球}g}{\rho_{液}g}) = p - \frac{F_{浮} - m_{球}g}{\rho_{球}} = p - \frac{\rho_{液}gV_{排} - m_{球}g}{\rho_{球}} = p - \frac{\rho_{液}V - m_{球}}{\rho_{球}}g$；
（3）若小球在液体中下沉了$h$高度（未触及容器底部），此时小球受到的浮力加上其重力等于向下的压力，而浮力又等于排开液体的重力，即F_{浮} + G = F + m_{球}g，则排开液体的重力为：G_{排}\prime = F + m_{球}g - G = F + m_{球}g - m_{球}g = F；液体上升的体积就等于小球的体积减去排开液体的体积，即$\Delta V\prime = V - V\prime$，则液体对容器底部的压强变化量为：$\Delta p\mspace{2mu}^{''} = \rho_{液}g\Delta h\mspace{2mu}^{''} = \rho_{液}g\Delta V\mspace{2mu}^{''} = \rho_{液}g(V - V\prime) =
\rho_{液}gV(1 - \frac{F}{p\rho g}) = p(1 - \frac{F}{p\rho g})$。