初一下学期数学经典题型集锦

初一下册数学经典题型集锦
1、某地区的民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价。

某户8月份白天时段
用电量比晚间时段多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%，求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数
（1）解：设白天电价为a，晚上电价为b；8月份白天电量为x，则8月晚上用电量为x×2/3，8月总电量为x+x×2/3；9月份白天用电量为（1-60%）x，9月份总电量为（1+20%）×（x+x×2/3）；9月份晚上用电量为（1+20%）×（x+x×2/3）-（1-60%）x；则有：8月份电费：x×a+x×2/3×b；
9月份电费：（1-60%）x×a+【（1+20%）×（x+x×2/3）-（1-60%）x】×b；根据题意，：（1-60%）x×a+【（1+20%）×（x+x×2/3）-（1-60%）x】×b=（1-10%）×【x×a+x×2/3×b】整理得b=0.5a，晚上的电价比白天低50%。

（2）解设8月用电为1，晚上比白天低x
[3/5+2/5*(1-x)]*(1-10%)=3/5*(1-60)+[120%-3/5(1-60)](1-x)
（3）设8月份晚间用电量为X
则8月份白天用电量为（1+50%）X
9月份白天用电量为（1—60%）（1+50%）X=0.6X
8月份用电总量为（1+1+50%)X=2.5X
9月份用电总量为（1+1+50%）X（1+20%）=3X
9月晚间用电量为3X-0.6X=2.4X
（4）解：设该地区白天时段的用电单价为a，晚间时段单价为b .把8月份晚间看作单位“1”。

则：8月份：白天：1 晚间：1*（1+50%）=3/2
9月份：白天：1*（1-60%）=2/5
晚间：9月份用电量{（1+3/2）*（1+20%）=3} - 白天用电量
即：3-2/5=13/5
那么根据“9月份的电费却比8月份少了10%”
有:（a+3b/2）*(1-10%)=2a/5+13b/5
解得a/b=5/2
则b=2/5a=（1-60%）a
即地区晚间时段的用电单价比白天时段低的百分数=60%
2、如图是一个长为400米的环形跑道，其中A，B为跑道对称轴上的两点，且A、B
v 之间有一条50米的直线通道.甲、乙两人同时从A点处出发，甲按逆时针方向以速度
1
v沿跑道跑步，沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进；乙按顺时针方向以速度
2
当跑到B点处时沿直线通道跑回到A点处.假设两人跑步时间足够长.求：
（1）如果1v :2v = 3:2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A 点处相遇？
（2）如果1v :2v = 5:6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B 点处相遇？
解：（1）设甲跑了n 圈后，两人首次在A 点处相遇.再设甲乙两人的速度分别为13v m =，22v m =.
由题意可得，在A 处相遇时，他们跑步的时间是
4003n m
，乙跑的路程是400800233n m n m ⨯=⨯. 因为乙跑BA 通道跑回到A 点处，所以
8003
n 应是250的整数倍，从而知n 的最小值是15. 所以，甲跑了15圈（即6000米）后，两人首次在A 点处相遇.
（2）设乙跑了(250200)p +米，甲跑了(400200)q +米时两人首次在B 点处相遇.
设甲乙两人的速度分别为15v m =，26v m =.
由题意可得
40020025020056q p m m
++= 即 845456q p ++= 所以 4824252
q p +=+ 即 48425q p +=（,p q 均为正整数）
所以,p q 的最小值为 2,4,p q ==此时乙跑的路程为25042001200⨯+=（米）. 所以 乙跑了1200米时，两人首次在B 点处相遇.
3、老师带着两名学生到离校33千米的博物馆参观，现老师骑一辆摩托车，速度25千米/小时，摩托车可以带一名学生，带人后速度为20千米/小时，学生步行速度为5千米/小时，。

请你设计一种方案，是的师生三人人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时。

老师先带一个学生甲走L 千米，另一个学生同时开始步行；（用时t1)
老师放下学生，该学生继续走（到终点用时t2)
老师空返，去接另一个学生乙(与学生碰面用时t3),
接到学生后，行进到终点(用时t4).
t2=t3+t4, 总时间为T：t1+t2.
老师送第一个学生甲到L处所花时间t1=L/20
随后该学生步行到终点用时t2=(33-L)/5
在t1时间里，学生乙已经步行距离为5t1=5×L/20 =L/4
然后老师和学生乙相向而行，t3时间后碰面
t3=(L-L/4)/(25+5)=L/40
这段时间学生乙所走的路程是：5t3=5×L/40=L/8
此时，离终点的距离为33-L/4-L/8=33-3L/8
然后老师带着学生乙前进，到终点用时t4=(33-3L/8)/20
t2=t3+t4
即：(33-L)/5=(33-3L/8)/20+L/40
(33-L)×32=33×8-3L+4L
33×32-32L=33×8+L
33×24=33L
L=24
因此t1=L/20=24/20=1.2
t2=(33-L)/5=(33-24)/5=1.8
t=t1+t2=3
所以答案是，同时出发，老师先带一个学生乘摩托车到24公里处，用时1.2小时，再放下学生，让其步行9千米，然后回头带领学生乙到终点，用时1.8小时，共计3小时。

4、如图，甲乙两人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走，甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲每分钟行走60m，乙每分钟走80m，则A和B相距多少米？
解：设AE=X BE=Y
根据开始到第二次相遇甲乙所用时间可得：(X+2y)/60=(2X+Y)/80+14 （1）
根据第一次相遇到第二次相遇甲乙所用时间可得：2Y/60=2X/80 +14 （2）
（1）-（2）得：X/60=Y/80 X=3Y/4 （3）
（3）代入（2）得y=960 X=720 X+Y=1680m
4、方程|X+1|+|X-3|=4的整数解有（5 ）个
方法：分别让|X+1|=0和|X-3|=0 解得:x=-1和x=3 然后分区间讨论.
画一条数轴，|X+1|即为某点到-1的距离，|X-3|即为某点到3的距离，
要求两者之和为4，明显-1到3之间的数都符合[-1，0，1，2，3]
1.当x≤ -1时去绝对值-x-1-x+3=4
解得:x=-1
2.当-1<x<3时 x+1-x+3=4
解得：x 为[0，1，2] 3.当x≥ 3时 x+1+x-3=4
解得：x=3
所以关于X 的整数解有5个，它们分别是[-1，0，1，2，3]
5、解方程|x-|3x+1||=4
(1) x-|3x+1|=4，先设|3x+1|=0，解得X=-1/3
当x>-1/3 x-(3x+1)=4 -2x-1=4 x=-5/2 不符合x>-1/3
当x<-1/3 x+(3x+1)=4 4x+1=4 x=3/4不符合x<-1/3
(2)x-|3x+1|=-4 先设|3x+1|=0，解得X=-1/3
当x>-1/3 x-(3x+1)=-4 -2x-1=-4 x=3/2符合x>-1/3
①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；
当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；
当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=
； ②当x b >时，原方程的解为2
a b c x ++=． 解：先分别让|X-5|=0，X=5；|X-1|=0，X=1。

然后分区间讨论.
当X ≤1时，去掉绝对值，原式变为-X+5-X+1=4， 解得X=1，
当1<X<5时，去掉绝对值，原式变为：-X+5+X-1=4，解得1<X<5
当X ≥5时，去掉绝对值，原式变为：X-5+X-1=4， 解得X=5
所以关于X 的解是：1≤X ≤5
7、已知关于x 的方程 ，│x -2│+│x -3│=a ，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．
用数轴上点来解
│x -2│+│x -3│表示数轴上点X(x)到点A(2),B(3)的距离之和a
当点X(x)在线段AB 上时，距离之和最小a=3-2=1 所以a≥1时才有解。

(1).当a=1时,X(x)在线段AB 上，原方程解为2≤X ≤3
(2)当a>1时,X(x)在线段AB 延长线上或线段BA 延长线上，
原方程解为X=（5±a ）/2
（3）当a<1时，原方程无解。

8、若a ＞0,b ＜0,则使|x-a|+|x-b|=a-b 成立的x 的取值范围是（ ）
解:因为a>0,b<0,
当x>a 时,x-b>0,x-a>0,原方程|x-a|+|x-b|变为(x-a)+(x-b)=2x-a-b;
当x<b时,x-b<0,x-a<0, 原方程|x-a|+|x-b|变为-(x-a)-(x-b)=a+b-2x;
当b≦x≦a时,x-b>=0,x-a<=0,|x-a|+|x-b|=-(x-a)+(x-b)=a-b;
综上所述,使|x-a|+|x-b|=a-b成立的x的取值范围是(b≦x≦a).
9、关于X的方程||X-2|-1|=a有三个整数解，则a的值为( )
解：先设X-2=0，则X=2
当x≥2时原方程变为：|x-3|=a 再设X-3=0，则X=3
当2≤x≤3时方程|x-3|=a变为-（X-3）=a，3-x=a，则X=3-a
当x≥3时方程|x-3|=a变为x=a+3
当x≤2时原方程变为|-（x-2)-1|=|-x+1|=a 再设-x+1=0，则X=1
当x≤1 -x+1=a x=1-a
当1≤x≤2x=1+a
X=3-a
x=a+3
x=1-a
x=1+a
因为关于X的整数解只有3个，所以a只能为1
10、若关于x的方程|2x-3|+m=0无解，|3x-4|+n=0只有一个解，|4x-5|+k=0有两个解，则m,n,k的大小关系是
解：先说点基本知识：任意数绝对值大于或等于零
对于任意|x|=y 必定有；
1) y=0时，x有唯一解x=0
2) y>0时，x有两个解：x=y，x=-y
3) y<0时，x无解
由第一个方程可知：因为|2x-3|+m=0无解，且|2x-3|≥0，只有当m>0原方程才能无解. 由第二个方程可知：因为|3x-4|+n=0，只有一个解,且|3x-4|≥0，所以当n=0原方程才能只有一个解.
由第三个方程可知：因为|4x-5|+k=0有两个解，且|4x-5|≥0，所以当k<0原方程才有两个解
所以：m>0,n=0,k<0 m>n>k
11、如果关于x的方程|x+1|+|x-1|=a有实根，那实数a的取值范围是（）
解：先设x+1=0，则X=-1,设x-1=0，则X=1，分区域讨论
当X＞1时，原方程变为X+1+X-1=a，X=a/2,满足条件，a＞2；
当-1≤X≤1时，原方程变为X+1-X+1=a，则a=2
当X＜-1时，原方程变为-X-1-X+1=a,则X=-a/2满足条件, a＞2
所以a≥2
12、小明爸爸骑着摩托车车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在12：00时看到的里程表上的数吗？
（12：00时，是一个两位数，它的两个数字之和为7；13：00时十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了；14：00时比12：00时看到的两位数中间多了个0）
解：如果设小明在12:00时看到的数的是十位数字是x，个位数字是y，那么
12:00是小明看到的数是XY，根据两个数字和是7，可列出方程X+Y=7
12:00是小明看到的路程应是10X+Y
13:00是小明看到的数可表示为：YX
12:00～13:00间摩托车行驶的路程是10Y+X
14:00是小明看到的数可表示为：X0Y
13:00～14:00间摩托车行驶的路程是：100X+Y
12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托车的行驶路程的关系
解得这个方程组
所以小明在12:00时看到的里程数是16。

13、如图，正方形ABCD 的周长为40米，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米
（1）出发（ 2 ）分钟后，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇；
（2）如果用记号（a ，b ）表示两人行走了a 分钟，并相遇b 次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点的位置时，对应的记号应是[ 6，
13 ]
第一种解法： 由于两人不是在同一顶点出发，所以两人第一次在同一顶点相遇，需要通过的距离之和等于正方形周长的整数倍再加一条边的长度，即（55+30）x=40y+10，其中y 是第一次在同一顶点相遇之前通过的正方形周长的圈数．
解：（1）设x 分钟后第一次相遇于正方形顶点，且甲乙共走过y 圈，则：（55+30）x=40y+10 把方程(55+30)x=40y+10化简为17x=8y+2。

显然y 越大x 也越大，所以y 最小时x 也最小。

由于y 为正整数，所以y 最小为1，于是x 最小为10/17。

如果要求x 为整数，则需要8y+2是17的整倍数，或者反过来，17的整倍数减2能被8整除。

于是容易知道17的2倍34，减2正好是8的4倍32。

所以x 最小为2，故填2．
（2）设x 分钟后两人第一次分别在正方形的两个相对顶点处，y 是第一次处在相对顶点前通过的周长的圈数．则根据题意列方程：（55+30）x=40y+30
化简方程：17x=8y+6
解得最小x=6，即a=6， 85x=85×6 = 510米，
第一次相遇双方共走了10米，此后每40米相遇一次， 所以b=[（510-10）÷40]+1=12+1=13， 故填（6，13）．
第二种解法：
⎩⎨⎧+-+=+-+=+)
10()10()10()100(7y x x y x y y x y x ⎩⎨⎧==6
1y x
甲走过一条边要用10÷55=2/11分，乙走过一条边要用10÷30=1/3分，设从出发到顶点相遇，甲共走了m条边，乙共走了n条边，则相遇时：M×2/11=n×1/3 M/n=11/6 设m=11t ，n=6t甲比乙多走：m-n=5t
从图上可看出，甲乙要走到同一个顶点上，甲除了比乙多走过整数圈（边的4倍数）外，还必须多走1条边（相当乙在B点不动，甲走一条边从A到B），由于5=4×1+1，所以t=1是符合条件的最小值，m=11，a=11×2/11=2，需要2分钟。

也就是出发2分钟后，甲走了11条边，乙走了6条边时，它们相遇在正方形的顶点。

第2小题同理，甲、乙要走到相对的两个顶点上，甲除了要比乙多走某一整数圈外，还要多走3条边（相当乙在B点不动，甲走过3条边到达D点），由于15=4×3+3，所以t=3是符合条件的最小值，m=11×3=33，a=33×2/11=6，需要6分钟。

n=6×3=18，m+n=51，在第一条边内甲乙相遇了一次，以后每合走4条边相遇一次，所以相遇次数b=[(51-1)/4]+1=13。

14、某出租汽车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6钟就有一辆出租汽车进站，回站的出租汽车在原有的出租汽车依次开出后又依次每隔4分钟开出一辆，问第一辆出租汽车开出后，经过至少多长时间车站内无车？
解：站内原有的6辆车全部开出用时为4×（6-1）＝20分。

此时站内又有出租车（20-2）÷6+1＝4（辆）
设再经过x分钟站内无车。

x/6+4=x/4 x=48
48+20=68(分）
答：经过至少68分站内无车。