【精编】北师大版高中数学选修1-2课件3.1.2类比推理-精心整理

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2.合情推理 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实
和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.
名师点拨归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是
从特殊过渡到一般的思想方法,类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方 法,归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想,许多数学知识都是通过归 纳与类比发掘出来的.学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、 联想能力和创新能力.
合情推理思维过程流程图: 从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜 想
探究一
探究二
探究三
等差数列与等比数列之间的类比
等差数列与等比数列的定义、通项公式、性质都非常类似,所以,可根 据等差(比)数列具有某些性质,类比得出等比(差)数列也有这些性质.在由 等差数列类比等比数列得到某些性质时,运算往往要升级.
∴������1������2
=
1 ������������2
+
1 ������������2
+
������1������2,故猜想正确.
探究一
探究二
探究三
圆锥曲线中的类比
在理解新概念的基础上,利用类比推理和归纳推理得出一般性的结论.
探究一
探究二
探究三
【典型例题 3】 有对称中心的曲线叫作有心曲线,显然,椭圆、双曲线 都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径.
(2)三角形的中位线等于第三 边的一半且平行于第三边 (3)三角形的三条内角平分线 交于一点,且这个点是三角形 内切圆的圆心
(4)三角形的面积为 S=1(a+b+c)r(r 为三角形内切
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圆的半径)
四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的 1,且平行于第四个面
探究一
探究二
探究三
【典型例题 2】 在△ABC 中,若 AB⊥AC 且 AD⊥BC 于 D,则有
1 ��2
+
������1������2,那么在四面体
A-BCD
中,类比上述结论,你能得到怎样的猜
想?并说明理由. 思路分析:要依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论,并予
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2.若数列{an}(n∈N+)是等差数列,则通项公式为 bn=������1+������2+������������3+…+������������(n∈N+) 的数列{bn}也是等差数列. 类比上述性质,相应地:
若数列{cn}(n∈N+)是等比数列,且 cn>0,则通项公式为 dn=
而等比数列{cn}中,设公比为 q,由 c1cn=c2cn-1=…,
得 dn=������
������1 ·������2 ·������3 ·…·������������
������
=
������
������1(������1q)(������1������2)…(������1������������-1) =
1.2 类比推理
课程目标 1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单 的推理,掌握类比推理解决问题的思维过程; 2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数 学发展中的作用.
学习脉络
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1.类比推理 由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的 其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,这种推理过程称为类比 推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理. 利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
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四面体的四个面的二面角的平分面交于一点, 且这个点是四面体的内切球的球心
四面体的体积为 V=13(S1+S2+S3+S4)r(S1,S2,S3,S4 为四面体四个 面的面积,r 为内切球的半径)
②由|a|=|b|⇒a=±b(a,b∈R)类比得|a|=|b|⇒a=±b;
③由 ax+y=ax·ay(a∈R)类比得 sin(α+β)=sin α·sin β;
④由(ab)c=a(bc)(a,b,c∈R)类比得(a·b)·c=a·(b·c).
答案:①
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5.找出三角形和四面体的相似性质,并用三角形的下列性质类比四面体的 有关性质. (1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的中位线等于第三边的一半且平行于第三边; (3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心;
而 AF⫋平面 ACD,∴AB⊥AF.
在 Rt△ABF 中,AE⊥BF,
∴������1������2
=
1 ������������2
+
������1������2.
在 Rt△ACD 中,AF⊥CD,AC⊥AD,
∴������1������2
=
1 ������������2
+
������1������2.
������1������
������(������-1)
������-1
·������ 2 =c1������ 2 ,
仍为等比数列. 答案:D
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3.圆与椭圆都是有心二次曲线,在圆中有性质“过圆 x2+y2=r2 上一点(x0,y0)的
圆的切线方程为 x0x+y0y=r2”类比上述性质可得椭圆的一个性质
探究一
探究二
探究三
解:(1)在椭圆中的推广:过椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)上异于直径两端点的 任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为 定值-������������22.
(2)在双曲线中的推广:过双曲线������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)上异于直径两端点 的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积 为定值������������22.
以证明.
探究一
探究二
探究三
解:猜想四面体 A-BCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD 于 E,
则������1������2
=
1 ������������2
+
1 ������������2
+
������1������2.
如图所示,连接 BE 并延长交 CD 于 F.
∵AB⊥AC,AB⊥AD,∴AB⊥平面 ACD.
a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0, 所以 a1+a2+…+an+…+a19=0, 即 a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1, 又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1, ∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n. 相应的,在等比数列{bn}中,若 b9=1,则可得 b1b2…bn=b1b2…b17-n(1≤n<17,n∈N+).
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名师点拨类比推理的特点
(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究中的 事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.
(2)类比推理以旧的知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能,类比 在数学发现中具有重要作用,但必须明确,类比并不等于论证.
(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类 似特征,所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类 似特征.
探究一
探究二
探究三
平面图形与空间几何体的类比
平面图形都有一些性质,特别是一些规则的图形.有些性质也可以类比 到空间图形中,如由三角形的性质可类比得到三棱锥的性质,由圆的性质可 类比得到球的性质.
一般地,平面中的一些元素与空间中的元素的类比如下:
平面 点 线 圆 三角形 角
边长 周长 面积 ……
空间 线 面 球 三棱锥 二面角 面积 表面积 体积 ……
N+)的数列{dn}也是等比数列. A.������1+������2+���������3��� +…+������������
B.������1·������2·���������3��� ·…·������������
C.������ ������1 + ������2 + … + ������������
探究一
探究二
探究三
【典型例题 1】 已知一个等差数列{an},其中 a10=0,则有 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(1≤n<19,n∈N+).一个等比数列{bn},其中 b9=1,类比等差数列{an}有何结论?
思路分析:可结合定义、通项公式、求和公式等求解.
解:在等差数列{an}中,由 a10=0,得
定理:过圆 x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的 两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.
(1)写出定理在椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)中的推广;
(2)写出定理在双曲线������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)中的推广,你能从上述结论中 得到有心圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线)的一般性结论吗?请写出你的结 论.
(4)三角形的面积为 S=12(a+b+c)r(r 为三角形内切圆的半径). 解:三角形与四面体有下列共同性质:
三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形; 四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形. 根据三角形的性质可以推测空间四面体的性质如下:
制作不易 尽请参考
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三角形 (1)三角形的两边之和大于第 三边
D.������ ������1·������2·������3·…·������������
(n∈
解析:等差数列中由 a1+an=a2+an-1=…,得
bn=������1+������2+������������3+…+������������ = (������1+2������������������)n=������1+2������������ = ������1+������1+2 (n-1)d=a1+���2���(n-1), 仍为等差数列.
为
.
答案:过椭圆������������22 + ������������22=1 上一点(x0,y0)的椭圆的切线方程为������������02x + ������������02y=1
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4.下面类比推理所得结论正确的是
.
①由(a+b)2=a2+2ab+b2 类比得(a+b)2=a2+2a·b+b2;
在有心圆锥曲线中的推广:过有心圆锥曲线 Ax2+By2=1(AB≠0)上异于
直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连线所在直线 的斜率之积为定值-������������.
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1.平面内平行于同一条直线的两条直线平行,由类比思想,我们可以得到 () A.空间中平行于同一条直线的两条直线平行 B.空间中平行于同一个平面的两条直线平行 C.空间中平行于同一条直线的两个平面平行 D.空间中平行于同一个平面的两个平面平行 答案:D