2013学年高考理科数学年大纲卷

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【考点】导数的应用，利用导数研究函数极值方程 二、填空题 11.【答案】 2 3i 【解析】复数 z1 2 3i 在复平面内的对应点 Z1(2, 3) ，它关于原点的对称点 Z2 为 (2,3) ，所对应的复数为 z2 2 3i . 【考点】复数的运算及代数表示 12.【答案】（Ⅰ）7 （Ⅱ）2
6 的长度比为 5：1 ，所以 m 3 【考点】区间和不等式的解集，几何概型 16.【答案】3
3/7
【解析】由题意盆内所盛水的上底面直径为 28 12 20 （寸），下底面半径为 6 寸，高为 9 寸，故体积为 2
V＝1 9 (π 102 +π 62 +π 10 6) 588π ，而盆上口面积为 π 142 196π ，故平地降雨量为 588π 3 （寸）.
【考点】逻辑联结词和复合命题
4.【答案】D 【解析】正相关指的是 y 随 x 的增大而增大，负相关指的是 y 随 x 的增大而减小，故不正确的为①④
【考点】两个变量的相关性，正相关和负相关的判断
5.【答案】C 【解析】根据题意，刚开始距离随时间匀速减小，中间交通堵塞停留了一段时间，所以这一段时间距离不再
【考点】函数的图像和性质
9.【答案】C
【考点】本题主要考查二元一次不等式组解决实际问题的能力。
x y 21
【解析】根据已知，设需要
A
型车
x
辆，
B
型车
y
辆，则根据题设，有
y x

x7 0，y

0
，画出可行域，
36x 60 y 900
求出三个顶点的坐标分别为 A(7,14) ， B(5,12) ， C(15,6），目标函数（租金）为 k 1600x 2400y ， 如图所示：
(1,) ，
f
(x)

a(x 1) (ax b) (x 1)2

ab (x 1)2
.
当 a b 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在 (, 1) ， (1, ) 上单调递增；
当 a b 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在 (, 1) ， (1, ) 上单调递减.
B 6 4 24 ，有 A B 成立，输出 i 4 .
【考点】程序框图
14.【答案】4
【解析】由题意得该圆的圆心在原点，而圆半径为
5 2 ，圆心到该直线的距离为
|x|
1，且
cos2 sin2
r d 5 1 1 d ，故圆上有 4 个点到该直线的距离为 1，即 k 4 .
【解析】初始值 m 2 ， A 1， B 1， i 0 ，第一次执行程序，得 i 1， A 2 ， B 1，因为 A B 不成 立，则第二次执行程序，得 i 2 ， A 2 2 4 ， B 1 2 2 ，还是 A B 不成立，第三次执行程序，得
i 3 ， A 4 2 8 ， B 23 6 ，仍是 A B 不成立，第四次执行程序，得 i 4 ， A 8 2 16 ，
解得 b 1 ， c 1， a 1 2
故当 N 71， L 18 时， S 71 1 18 1 79 . 2
三、解答题
18.【答案】（Ⅰ）由 cos 2A 3cos(B C) 1，得 2cos 2 A 3cos A 2 0 ，即 (2cos A 1)(cos A2) 0 ，解
【考点】等比数列的性质，等差数列的性质，等比数列的通项公式及前 n 项和公式，分类讨论思想
20【. 答案】（Ⅰ）依题意 A1A2 平面 ABC ，B1B2 平面 ABC ，C1C2 平面 ABC ，所以 A1A2∥B1B2∥C1C2 ，
又 A1A2 d1 ， B1B2 d2 ， C1C2 d3 ，且 d1 d2 d3 .因此四边形 A1A2B2B1 、 A1A2C2C1 均是梯形. 由 AA2∥平面 MEFN ， AA2 平面 AA2B2B ，且平面 AA2B2B 平面 MEFN ME ，可得 AA2∥ME ， 即 A1A2∥DE . 同理可证 A1A2∥FG ，所以 DE∥FG .又 M 、 N 分别为 AB 、 AC 的中点，则 D 、 E 、 F 、G 分别为 A1B1 、
A2B2 、 A2C2 、 A1C1 的中点，即 DE 、 FG 分别为梯形 A1A2B2B1 、 A1A2C2C1 的中位线.
因此
DE

1 2
( A1A2

B1B2
)

1 2
(d1

d2
)
，FG

1 2
( A1A2

C1C2
)

1 2
(d1

d3 )
，而
d1
d2
d3
，故 DE FG
，
所以中截面 DEFG 是梯形.
，即
a1qa(11q2
q
a1q3 q2
a1q2 ) 18
，
解得 qa132 ，故数列{an} 的通项公式为 an 3(2)n1
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
Sn

3
[1 (2)n ] 1 (2)
1 (2)n
，若存在
n ，使得
Sn

2013 ，则1(2)
设切点为 (x0 , y0 ) ，则切线的斜率 k

1 x0
，切线方程为
y

1 x0
x 1 .切点在切线上，则
y0

x0 x0
1 0 ，又切点
在曲线 y ln x 上，则 ln x0 0 ， x0 1即切点为 (1, 0) .切线方程为 y x 1.再由直线 y 2ax 1 与曲线 y ln x 有两个交点，知直线 y 2ax 1 位于两直线 y 0 和 y x 1 之间，如图所示，其斜率 2a 满足： 0 2a 1，解得 0 a 1 .
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）答案解析
一、选择题 1.【答案】B 【解析】 B {2,3,4} ， U A {3,4,5} ，故 B U A {2,3,4} {3,4,5} {3,4}
【考点】集合的补集和交集运算
2.【答案】D
【解析】对于


0,
将点 B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为： k 16005 240012 36800 （元）.
10.【答案】B 【解析】 f (x) ln x 1 2ax ，由 f (x) x(ln x ax) 由两个极值点，得 f (x) 0 有两个不等的实数解，即
ln x 2ax 1有两个实数解，从而直线 y 2ax 1与曲线 y ln x 有两个交点.过点 (0, 1) 作 y ln x 的切线，
（Ⅱ）V估 V .证明如下：
由 A1A2 平面 ABC ， MN 平面 ABC ，可得 A1A2 MN .而 EM∥A1A2 ，所以 EM MN ，同理可得
FN MN .由 MN 是 △ABC 的中位线，可得 MN 1 BC 1 a 即为梯形 DEFG 的高，
2Leabharlann 2因此 S中【考点】直线与圆的位置关系 15.【答案】3 【解析】因为区间[2, 4] 的长度为 6，不等式| x | m 的解区间为[2, 4] ，其区间长度为 2m .那么在区间[2, 4] . 上随机地取一个数 x ，要使 x 满足| x | m 的概率为 5 ， m 将区间[2, 4] 分为[2，m] 和[m，4] ，且两区间
【解析】（Ⅰ）平均数为 1 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 7
10
（Ⅱ） s
1 10
(10

7)2

2(9

7)2

(8

7)2

3(7

7)2

(5

7)2

2(4

7)2


40 2 10
【考点】统计中的平均数和标准差
13.【答案】4
（Ⅱ）（i）
f
(1)

a
2
b

0
，
f

b a


2ab ab

0
d2

d3 )

ah 8
(2d1

d2

d3 )

ah 24 [(d2

d1 )

(d3

d1)]
.
由 d1 d2 d3 ，得 d2 d1 0 ， d3 d1 0 ，故V估 V .
【考点】空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识
21.【答案】（Ⅰ） f (x) 的定义域为 (,1)
π 6


2 cos
x
，其图像关于
y
轴对称.
【考点】三角函数的性质和三角函数平移变换 7.【答案】A 【解析】 AB (2,1) ， CD (5,5) ，则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影为
1/7
AB CD AB CD (2,1) (5,5) 3 2
| AB |


.
| AB || CD | | CD |
52 52
2
【考点】平面向量的数量积的几何意义及平面向量的坐标运算
8.【答案】D
【解析】函数 f (x) x [x]表示实数 x 的小数部分，有 f (x 1) x 1 [x 1] x [x] f (x)，所以函数
f (x) x [x]是以 1 为周期的周期函数.
S梯形DEFG

1 ( d1 2
d2 2

d1
d3 ) 2
a 2

a 8 (2d1
d2
d3 ) ，即V估
S中
h

ah 8 (2d1
d2
d3) .
又
S

1 2
ah
，所以V

1 3 (d1

d2

d3 )S

ah 6
(d1

d2

d3 )
.
于是V
V估

ah 6
(d1

2013n
4/7
，即 (2) n2012
当 n 为偶数时， (2)n 0 ，上式不成立；当 n 为奇数时， (2)n 2n 2012 ，即 2n 2012 ，则 n 11.
综上，存在符合条件的正整数 n ，且所有这样的 n 的集合为{n | n 2k 1，k N，k 5}
又由正弦定理得 sin Bsin C

b sin a
A
c sin a
A
bc a2
sin
2
A
20 21
3 4

5 7
.
【考点】三角函数，三角形的面积公式，正弦定理和余弦定理等知识的综合应用
19.【答案】（Ⅰ）设数列{an} 的公比为 q ，则 a1 0 ， q 0 ，
由题意得
aS22aS34aS4 3S128
3
196π
【考点】台体的体积计算
17.【答案】（Ⅰ）3，1，6
（Ⅱ）79 【解析】（Ⅰ） S S△DFG S△DEF 1 2 3 ， N 1， L 6 . （Ⅱ）根据格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 对应的 S，N，L 分别是 3，1，6 可得，
4b c 1 6b c 2 a 6b c 3
π 4

，在双曲线
C1
：
x2 sin2

y2
cos2
1 与 C2 ：
y2 cos2
x2
sin2
1 中，
都有 c2 sin2 cos2 1，即焦距相等.
【考点】双曲线的标准方程及其几何意义
3.【答案】A 【解析】因为 p 是“甲降落在指定范围”， q 是“乙降落在指定范围”，则 p 是“没有降落在指定范围”， q 是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 (p) (q) .
得 cos A 1 或 cos A 2 （舍去）， 2
因为 0 A π ，所以 A π . 3
（Ⅱ）由 S 1 bcsin A 1 bc 3 3 bc 5 3 得 bc 20 ，又 b 5 ，知 c 4 .
2
224
由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A 25 16 20 21 ,故 a 21 .
变化，后为了赶时间加快速度行驶，故应随时间变化距离变化增大，故选 C.
【考点】函数 6.【答案】B
【解析】因为 y 3cos x sin x ( x R) 可化为 y 2cos(x π) (x R) ，将它向左平移 π 个单位得
6
6
y

2 cos

x

π 6