必修二圆的标准方程与一般方程题型归纳及其测试

圆的标准方程与一般方程
1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,3的圆的方程是（ ）
A ．()2
221x y +-= B ．()2
221x y ++= C ．()2231x y +-= D ．()2
231x y ++= 【解析】设圆心坐标为()0,a ，
圆的半径为1，且过点()1,3()()2
2
0131a ∴-+-=，解得3a =，
∴所求圆的方程为()2
231x y +-=.故选：C.
2．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>始终平分圆22
2410x y x y ++-+=的圆周，则
12
a b
+的最小值为（ ）
A ．3+
B ．3+
C ．4
D ．5
【解析】圆2
2
2410x y x y ++-+=的圆心是：()1,2-，
因为直线220(0,0)ax by a b -+=>>始终平分圆2
2
2410x y x y ++-+=的圆周，所以圆心在直线上， 所以2220a b --+=，即1a b +=，
所以
12a b +()233321b a a b a b a b ⎛⎫=+=++≥+=+ ⎝⎭+⎪
当且仅当
2,1b a
a b a b =+=，即1,2a b ==-.
所以12
a b
+的最小值为：3+故选：A
3．若圆C 430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．()()2
2
121x y -+-= B ．()()22
211x y -+-= C ．()()2
2
125x y -+-=
D ．()()2
2
215x y -+-=
【解析】根据题意，设圆C 的圆心C 的坐标为()(),0,0m n m n >>， 由于圆C 与x 轴相切，则圆C 的半径n r =，
225m n +=，
圆C 与430x y -=
相切，则有r =:2
2
|43|
25m n n -=，解得：2m =，1n =，
则圆的标准方程为：()()22
211x y -+-=.故选：B ．
4．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是
A ．()()22112x y +++=
B ．()()22114x y -++=
C ．()()22112x y -++=
D ．()()22
114x y +++= 【解析】圆2
2
220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-
()1,1-与直线40x y --=垂
直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --=
的距离为
=
，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=
的左上方，则=0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为
()()
2
2
112x y -++=.故选C ．
5．已知方程222220x y mx my ++--=表示的曲线恒过第三象限内的一个定点A ，若点A 又在直线l ：
10mx ny ++=上，则22m n +=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】方程22
2220x y mx my ++--=可化为()2
2
220x y m x y +-+-=.
曲线恒过定点A ，∴22200
x y x y ⎧+-=⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或1
1x y =-⎧⎨
=-⎩. 点A 在第三象限，()1,1A ∴--，代入直线l 的方程10mx ny ++=， 可得1,222m n m n +=∴+=.故选：B .
6．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)2x y ++-= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)2x y -+-=
D ．22(1)(1)2x y +++=
【解析】圆心在0x y +＝上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C 、D ；
验证：A 中圆心(11)
-，到两直线0x y -=
=
圆心(11)
-，到直线40x y --=
=≠A 错误．故选：B ． 7．已知圆221x y +=，点1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（ ） A ．2212
x y += B ．2214
x y +=
C ．221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭
D ．22
1144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭
【解析】
设BC 中点为D ，圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，60BOD ∴∠=，
在直角三角形BOD 中，由1122OD OB ==，故中点D 的轨迹方程是：221
4
x y +=， 如图，由BAC ∠的极限位置可得，1
4
x <.故选：D
8．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过(5,2)A ，(1,4)B -两点，则圆C 的方程是（ ）．
A ．22(2)17x y ++=
B ．22(2)13x y -+=
C ．22(1)20x y -+=
D ．22(1)40x y ++=
【解析】由题意，设圆心坐标为(,0)C a ，∵圆过(5,2)A ，(1,4)B -两点，∴
2222
(5)(02)(1)(04)a a -+-=++-，解得1a =，则圆半径为r ==
∴圆方程为2
2
(1)20x y -+=． 故选：C ．
9．若直线240mx ny +-=始终平分圆224240x y x y +-+-=的周长，则m 、n 的关系是（ ）． A ．20m n --=
B ．20m n +-=
C ．40m n +-=
D ．40m n -+=
【解析】2
2
4240x y x y +-+-=标准方程为2
2
(2)(1)9x y -++=，圆心为(2,1)-， ∵直线240mx ny +-=始终平分圆2
2
4240x y x y +-+-=的周长， ∴22(1)40m n ⨯+⨯--=，即20m n --=．故选：A ． 10．若坐标原点在圆2
2()()4x
m y
m 的内部，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）1
1m （B ）3
3m
（C ）
2
2m
（D ）
2
2m
【解析】∵(0,0)在2
2
()()4x
m y
m 的内部，则有22(0)(0)4m m -++<，
解得
22m ，选C.
11．圆
22
(2)5x y ++=关于原点(0,0)O 对称的圆的方程为（ ） A ．22(2)(2)5x y +++=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)5x y -+= D ．22(2)5x y ++=
【解析】根据已知条件，圆22
(2)5x y ++=的标准方程中，圆心为（-2，0），
那么（-2，0）关于原点的对称点（2，0）即为所求的圆的圆心，
2
2
(2)5x y -+=，故选C.
12．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是
A ．[]26，
B ．[]48，
C ．
D ．⎡⎣
【解析】 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =
点P 在圆2
2x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =
=
故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为
则[]221
2,62
ABP
S
AB d =
=∈故答案选A.
13．已知点()2,0A ，()0,4B ，O 为坐标原点，则AOB ∆外接圆的标准方程是__________. 【解析】由题知OA OB ⊥，故ABO ∆外接圆的圆心为AB 的中点()1,2
，半径为
1
2
AB =， 所以ABO ∆外接圆的标准方程为()()2
2
125x y -+-=.故答案为()()2
2
125x y -+-=. 14．圆228x y +=内有一点()2,1P -，AB 为过点P 的弦，则AB 的中点Q 的轨迹方程为______. 【解析】设AB 的中点为Q (),x y ，则AB 的斜率为1
2
AB y k x +=
-，又OQ AB ⊥， ∴1OQ AB k k ⋅=-，即
112
y y x x +⋅=--，整理可得2220x y y x ++-=， ∴过点P 的弦中点Q 的轨迹方程为2220x y y x ++-=.故答案为：2220x y y x ++-=
15．已知圆M 与直线340x y -=及34100x y -+=都相切，圆心在直线4y x =--上，则圆M 的方程为______.
【解析】因为圆心在直线4y x =--上，可设圆心坐标为(,4)a a --， 因为圆M 与直线340x y -=及34100x y -+=都相切，
所以r r ⎧=⎪⎪=，即7165
7265a r a r ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得31a r =-⎧⎨=⎩, 所以圆心的坐标为(3,1)--，所以圆M 的方程为()()22311x y +++=．故答案为：()()22
311x y +++= 16．圆2224110x y x y +---=关于点()2,1P -对称的圆的方程是________. 【解析】圆2
2
24110x y x y +---=，化为标准方程：()()22
1216x y -+-=，
设关于点()2,1P -对称的圆的圆心为(),a b ，则1
22
212
a b +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得50a b =-⎧⎨=⎩，
所以圆2
2
24110x y x y +---=关于点()2,1P -对称的圆的方程是：
()
2
2516x y ++=，
故答案为：()2
2516x y ++=
17．已知动点P 到点M （-3，0）的距离是点P 到坐标原点O 的距离的2倍，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）若直线10x y -+=与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的值. 【解析】（1）设(),P x y .由题，知||2||PM PO =
= ∴2233690x y x +--=.
∴曲线C 的方程为2
2
(1)4x y -+=.
（2）由题，曲线C 的圆心()1,0到直线10x y -+=的距离为
=
∴AB ==
18．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
【解析】
以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)，
设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设A ′(x 0，－3)(x 0＞0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得2x 0＝2，即当水面下降1米
后，水面宽2米．
19．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上.
（1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
【解析】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0． (2)由360320x y x y --=⎧⎨
++=⎩,得0
2x y =⎧⎨=-⎩
,∴点A 的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，
∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |=
∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．
20．已知圆C 的圆心在直线1y x =+上，且圆C 经过点()3,6P 和点()5,6Q . （1）求圆C 的方程；
（2）过点()3,0的直线l 截圆所得弦长为2，求直线l 的方程.
【解析】（1）由题意可知，设圆心为(),1a a +，则圆C 为：2
2
()[(1)]2x a y a -+-+=，
圆C 经过点()3,6P 和点()5,6Q ，2222
(3)[6(1)]2(5)[6(1)]2
a a a a ⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩，解得4a =， 则圆C 的方程为：2
2
(4)(5)2x y -+-=；
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()3y k x =-，即30k y k --=，
∴过点()3,0的直线l 截圆所得弦长为2，
1d ∴=
=，解得125
k =，
∴直线l 的方程为125360x y --=，
当直线l 的斜率不存在时，直线l 为3x =，此时弦长为2符合题意. 综上，直线l 的方程为3x =或125360x y --=.
21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.
（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；
（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.
【解析】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()2
2
329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，
①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l
的距离为2d =
=，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；
②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，
此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =； （2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<， 则圆心()3,2C -到直线m
的距离d =
==，
22320k k ∴+-=，解得1
2
k =
或2k =-， 又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，
设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22
210
329
x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=， 则线段AB 的中点的横坐标为
12
12
x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：
1
22
AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()2
2
134x y -++=.
22．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线y 1
2
=x 上. （1）求圆的标准方程；
（2）求圆上的点到直线3x ﹣4y+23＝0的最小距离. 【解析】（1）A （2，5），B （﹣2，1）中点为（0，3）， 经过A （2，5），B （﹣2，1）的直线的斜率为
51
122
-=+， 所以线段AB 中垂线方程为3y x =-+，联立直线方程y 1
2
x =
解得圆心坐标为（2，1），
所以圆的半径4r ==.所以圆的标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝16. （2）圆的圆心为（2，1），半径r ＝4. 圆心到直线3x ﹣4y +23＝0的距离d
5=
=.
则圆上的点到直线3x ﹣4y +23＝0的最小距离为d ﹣r ＝1.。