【北师大版】九年级数学上期中试题(带答案)

一、选择题
1．某单位进行内部抽奖，共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．若每张抽奖券获奖的可能性相同，则1张抽奖券中奖的概率是（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.6
2．我们要遵守交通规则，文明出行，做到“红灯停，绿灯行”，小刚每天从家到学校需经过三个路口，且每个路口都安装了红绿灯，每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ）
A ．18
B ．38
C ．58
D ．12
3．为了解历下区九年级男生的身高情况，随机抽取了100名九年级男生，他们的身高()x cm 统计如下,根据以上结果，抽查一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm 的概率是（）
A ．0.85
B ．0.57
C ．0.42
D ．0.15
4．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A 、B 、C 三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A ．19
B ．13
C ．29
D ．23
5．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2+b 2+a +b 的值是（ ） A ．0 B ．2020 C ．4040 D ．4042
6．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＞AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿A→B→C 运动．设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AB 边的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．若关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2
8．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm ，宽40cm ．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为650cm ，设丝绸花边的宽为xcm ，根据题意，可列方程为（ ）
A ．()()60240650x x -⋅-=
B ．()()60402650x x -⋅-=
C ．2402650x x x ⋅+⋅=
D ．()240602650x x x ⋅+⋅-= 9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若112,AEF ∠=︒则1∠等于（ ）
A ．43
B ．44
C ．45︒
D ．46︒
10．如图，以△ABC 的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF ，GH ，DJ ，如果△ABC 的面积为8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．28
B ．24
C ．20
D ．16
11．□ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD 是菱形，那么这个条件可以是（ ）
A ．AB=CD
B ．AC=BD
C ．AC ⊥B
D D ．AB ⊥BD 12．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠ABC ＝60°，M 为AD 中点，P 为对角线BD 上一动点，连接PA 和PM ，则PA ＋PM 的最小值是( )
A ．3
B ．3
C ．3
D ．6
二、填空题
13．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．小明决定从九（1）班的4位家长中随机选择2位进行深入调查，其中包含小亮的爸爸和妈妈，小亮的爸爸和妈妈被同时选中的概率是__________．
14．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，最终停在阴影区域的概率为_______．
15．如果一个直角三角形的两边长是一元二次方程27120x x -+=的两个根，那么这个直角三角形的斜边长为_______________．
16．若m 是方程x 2＋2x －1＝0的一个根，则m 2＋2m －4＝______．
17．若12x x 、是一元二次方程2310x x -+=的两个根，则1
211+x x ＝___________． 18．已知，在△ABC 中，∠BAC
＝45°，AB ＝1，AC ＝8，以AC 为一边作等腰直角△ACD ，使∠CAD ＝90°，连接BD ，则线段BD 的长度为________．
19．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，P 是AC 上的一个动点，过点P 分别作AB 和BC 的垂线，垂足分别是点F 和E ，若菱形的周长是12cm ，面积是6cm 2，则PE +PF 的值是_____cm ．
20．如图，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（3，2），则对角线AC ＝_____．
三、解答题
21．从一副扑克牌中取出红桃J ，Q ，K 和黑桃J ，Q ，K ．这两种花色的六张扑克牌．
(1)将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，直接写出这张牌是K 的概率_________
(2)将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J 一张是Q 的概
率．
22．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣3）x 2﹣6x +m 2﹣9＝0的常数项为0，求m 的值及此方程的解．
23．解下列方程：
（1）（x ﹣1）2﹣x 2＝3（x ﹣3）；
（2）2121124
x x x x -+=---． 24．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A ，B ，C ，D 四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A 小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A 小区，同时乙组抽到C 小区的概率． 25．如图，点E 为边长为3的正方形ABCD 的边CB 延长线上一点，1BE =，连接AE ，将ABE △绕着正方形的顶点A 旋转得到ADF ．
（1）写出上述旋转的旋转方向和旋转角度数：
（2）连接EF ，求AEF 的面积：
（3）如图中，ADG 可以看作由BAE △先绕着正方形的顶点B 顺时针旋转90︒，再沿着BA 方向平移3个单位的二次基本运动所成，那么ADG 是否还可以看作由BAE △只通过一次旋转运动而成呢？如果可以，请写出（同时在图中画出）旋转中心、旋转方向和旋转角度数，如果不能，则说明理由．
26．已知：如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且CE BF =，连接DE 、CF ，两线相交于点P ，过点E 作EG DE ⊥，且EG DE =，连接FG ．
（1）若5DE =，求FG 的长．
（2）若点E 、F 分别是BC 、AB 延长线上的点，其它条件不变，试判断FG 与CE 的关系，并予以证明．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
直接利用概率公式进行求解，即可得到答案．
【详解】
解：∵共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个． ∴1张抽奖券中奖的概率是：
102030100
++＝0.6， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 2．B
解析：B
【分析】
画树状图得出所有情况数和遇到两次红灯的情况数，根据概率公式即可得答案．
【详解】
根据题意画树状图如下：
共有8种等情况数，其中遇到两次红灯的有3种，
则遇到两次红灯的概率是3
8
，
故选：B．
【点睛】
本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；根据树状图得到遇两次红灯的情况数是解题关键．
3．D
解析：D
【分析】
先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】
样本中身高不低于180cm的频率=15
100
=0.15，
所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．
故选D．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
4．B
解析：B
【分析】
画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率=31 93 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．5．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a+b=-1，ab=-2021，将其代入a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab中即可求出结论．
【详解】
解：∵a，b是方程x2+x-2020=0的两个实数根，
∴a+b=-1，ab=-2021
∴a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab=1-1+4042=4042．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系找出a+b=-1，ab=-2021是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP 面积最大为6，得到AB与BC的积为24；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为10，得到AB 与BC的和为10，构造关于AB的一元二方程可求解．
【详解】
解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为6．
∴1
2AB·
1
2
BC=6，即AB•BC=24．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为10，
∴AB+BC=10．
则BC=10-AB，代入AB•BC=24，得AB2-10AB+24=0，解得AB=4或6，
因为AB＞BC，所以AB=6．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解一元二次方程，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
7．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a 的范围，确定出所求即可．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，
∴△＝1−8（a−2）≥0，且a−2≠0，
解得：a≤178
且a≠2， 则整数a 的最大值为1．
故选C ．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解本题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
找出丝绸花边的总面积与丝绸花边的宽之间的关系式即可列出方程．
【详解】
解：由题意知：三条丝绸花边的面积和-两个重叠部分的面积=丝绸花边的总面积， ∴设丝绸花边的宽为 xcm ，根据题意，可列方程为：
2×40x+60x-2x×x=650,即2x ⋅40+x ⋅(60−2x)=650，
故选D ．
【点睛】
本题考查方程的列法，仔细分析题中含有未知数所表示的量之间的数量关系并把各数量正确地表示出来是解题关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据矩形的对边平行，可得∠AEF+∠BFE=180°，继而求得∠BFE=68°，再利用折叠的性质和平角的定义求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∵112AEF ∠=︒，
∴∠BFE=68°，
∴∠1=180°-2∠BFE=44°，
故选B ．
【点睛】
本题考查了折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
过E 作EM ⊥FA 交FA 的延长线于M ，过C 作CN ⊥AB 交AB 的延长线于N ，根据全等三角形的性质得到EM ＝CN ，于是得到S △AEF ＝S △ABC ＝8，同理S △CDJ ＝S △BHG ＝S △ABC ＝8，于是得到结论．
【详解】
解：过E 作EM ⊥FA 交FA 的延长线于M ，过C 作CN ⊥AB 交AB 的延长线于N ， ∴∠M ＝∠N ＝90°，∠EAM+∠MAC ＝∠MAC+∠CAB ＝90°，
∴∠EAM=∠CAB
∵四边形ACDE 、四边形ABGF 是正方形，
∴AC=AE ，AF ＝AB ，
∴∠EAM ≌△CAN ，
∴EM ＝CN ，
∵AF ＝AB ，
∴S △AEF ＝12AF•EM ，S △ABC ＝12
AB•CN ＝8， ∴S △AEF ＝S △ABC ＝8，
同理S △CDJ ＝S △BHG ＝S △ABC ＝8，
∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，正确的作辅助线是解题的关键． 11．C
解析：C
【分析】
根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可．
【详解】
解：A. AB=CD，无法判断四边形ABCD是菱形，不合题意；
B. AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意；
C. AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD是菱形，符合题意；
D. AB⊥BD，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD 是矩形，不合题意．
故选：C
【点睛】
本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．
【详解】
解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，
∴△ACD是等边三角形，PA=PC，
∵M为AD中点，
∴DM=1
AD=3，CM⊥AD，
2
∴22
CD DM
3，
∴3
故选C．
【点睛】
此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P的位置是解此题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．【分析】设4位家长为ABCD小亮和小明的家长分别为AB画出树状图即可【详解】解：设小亮小明的家长分别用AB表示另外两个家长用CD表示列树状图如下：∴一共有12种等可能的结果同时选中小亮和小明家长有2
解析：1
6
．
【分析】
设4位家长为A、B、C、D，小亮和小明的家长分别为A、B，画出树状图即可．
【详解】
解：设小亮、小明的家长分别用A、B表示，另外两个家长用C、D表示，列树状图如下：
∴一共有12种等可能的结果，同时选中小亮和小明家长有2种情况，
∴P（小亮和小明的家长被同时选中）=2÷12=1
6
．
故答案为：1
6
．
【点睛】
此题考查了概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值再根据其比值即可得出结论【详解】∵由图可知黑色方砖5块共有25块方砖∴黑色方砖在整个地板中所占的比值∴它停在黑色区域的概率是故答案为：【点睛】本题考查了几
解析：1 5
【分析】
先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】
∵由图可知，黑色方砖5块，共有25块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值51
255
，
∴它停在黑色区域的概率是
15． 故答案为：
15
． 【点睛】 本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A ）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A ）发生的概率．
15．5或4【分析】解方程可得直角三角形的两边是34然后分这两边都是直角边和边长为4为直角边两种情况解答即可【详解】解：（x-3）（x-4）=0x-3=0x-4=0∴方程的根为34∴直角三角形的两边为34
解析：5或4．
【分析】
解方程27120x x -+=可得直角三角形的两边是3、4，然后分这两边都是直角边和边长为4为直角边两种情况解答即可．
【详解】
解：27120x x -+=
（x-3）（x-4）=0
x-3=0，x-4=0
∴方程的根为3、4
∴直角三角形的两边为3、4
；
当两边有一条边是直角边时，斜边长为4．
故答案为5或4．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、解一元二次方程等知识点，正确的解一元二次方程和分类讨论成为解答本题的关键．
16．－3【分析】由于可知m 是方程的解可得将其带入求值即可；【详解】∵∴∵m 是的一个根∴∴故答案为：-3【点睛】本题考查了方程的解的定义此类型的题的特点是：利用方程解的定义找到相等的关系再把所求的代数式化 解析：－3
【分析】
由于2210x x +-=可知221x x +=，m 是方程的解，可得221m m += ，将其带入求值即可；
【详解】
∵2210x x +-=，
∴ 221x x +=，
∵ m 是2210x x +-=的一个根，
∴ 221m m +=，
∴ 224143m m +-=-=- ，
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了方程的解的定义，此类型的题的特点是：利用方程解的定义找到相等的关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值；
17．3【分析】根据韦达定理可得将整理得到代入即可【详解】解：∵是一元二次方程的两个根∴∴故答案为：3【点睛】本题考查韦达定理掌握是解题的关键 解析：3
【分析】
根据韦达定理可得123x x +=，121=x x ，将
12
11+x x 整理得到1212x x x x +，代入即可． 【详解】
解：∵12x x 、是一元二次方程2310x x -+=的两个根，
∴123x x +=，121=x x ， ∴121212
113x x x x x x ++==， 故答案为：3．
【点睛】 本题考查韦达定理，掌握12b x x a +=-，12c x x a
=是解题的关键． 18．或【分析】AC 作为直角边有两种情况需要分情况讨论画出图后进行计算
【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E ∠BAC ＝45°∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线中线所以CE=DE 因为∠BAC ＝
【分析】
AC 作为直角边，有两种情况，需要分情况讨论，画出图后进行计算．
【详解】
解：情况一：延长AB 交CD 于E
∠BAC ＝45°，∠CAD ＝90°
所以AE 是等腰直角△ACD 的高线，中线
所以，AE CD ⊥，CE=DE 因为8AC ＝，AE CD ⊥，∠BAC ＝45°
所以△ACE 也是等腰直角三角形，根据勾股定理，AE=CE=2
所以BE=AE-AB=2-1=1
又因为DE=CE=2，AE CD ⊥
所以，BD=22145BE DE +=+=
情况二：延长直线AB ，分别过C 、D 作垂线，交直线AB 于F 、E ．
与情况一类似，可以证出CF=AF=2，BF=AF-AB=2-1=1
所以，BE=EF-BF ；
因为∠BAC ＝45°，CF AB ⊥
所以，∠ACF ＝180°-∠BAC-∠F=45°
因为△ACD 是等腰直角三角形，∠CAD ＝90°
所以∠ACD ＝45°
所以 ，∠FCD ＝∠ACD+∠ACF=45°+45°=90°
又因为,DE AB CF AB ⊥⊥
所以四边形DEFC 是矩形
所以DE=CF=2，EF=DC ；
因为在等腰直角△ACD 中，∠CAD ＝90°，8AC ＝
所以，根据勾股定理，CD=4
所以，BE=EF-BF=DC-BF=4-1=3 因此，22223213BD DE BE =+=+=
故答案为5或13．
【点睛】
这道题考察的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握这些知识点，画出辅助线，是解题的关键．
19．2【分析】连接BP 根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝AB•PE ＋BC•PE 把相应的值代入即可【详解】解：连接BP ∵四边形ABCD 是菱形
解析：2
【分析】
连接BP ，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝12ABCD S 菱形，S △ABP ＋S △BPC ＝
12AB•PE ＋12
BC•PE 把相应的值代入即可． 【详解】
解：连接BP ，
∵ 四边形ABCD 是菱形，且周长是12cm ，面积是6cm 2
∴AB ＝BC ＝
14
×12＝3（cm ）， ∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴ S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝
12ABCD S 菱形＝3（cm 2）， ∴S △ABP ＋S △BPC ＝
12AB•PE ＋12BC•PE ＝3（cm 2）， ∴12×3×PE ＋12
×3×PF ＝3， ∴PE ＋PF ＝3×
23
＝2（cm ）， 故答案为：2．
【点睛】
此题考查菱形的性质，S△ABP＋S△BPC＝S△ABC＝1
2ABCD
S
菱形
是解题的关键．注意掌握辅助线
的作法和数形结合思想的应用．
20．【分析】连接ACBO依据点B的坐标为（32）即可得到OB＝再根据四边形ABCO是矩形即可得出对角线AC的长【详解】解：如图连接ACBO∵点B的坐标为（32）∴OB＝＝∵四边形ABCO是矩形∴AC＝B
解析：13
【分析】
连接AC，BO，依据点B的坐标为（3，2），即可得到OB＝13，再根据四边形ABCO是矩形，即可得出对角线AC的长.
【详解】
解：如图，连接AC，BO，
∵点B的坐标为（3，2），
∴OB＝22
32
＝13，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝BO＝13，
故答案为：13.
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，勾股定理，熟知矩形的对角线相等是解答此题的关键.
三、解答题
21．（1）1
3
；（2）
2
9
．
【分析】
（1）由概率公式即可求解；
（2）画出树状图，共有9个等可能的结果，其中一张是J一张Q的结果有2个，由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，则这张牌是K 的概率为2163=， 故答案为：13
； （2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，其中一张是J 一张Q 的结果有2个，
∴其中一张是J 一张Q 的概率为
29． 【点睛】
本题考查了列表法或树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
22．m ＝－3；x 1＝0，x 2＝−1．
【分析】
直接利用常数项为0，进而得出关于m 的等式，计算后可求出m 的值，利用所求m 的值则求出方程的解．
【详解】
解：由题意，得m 2−9＝0，且m−3≠0，
解得m ＝－3．
当m ＝－3时，代入（m ﹣3）x 2﹣6x+m 2﹣9＝0，
得－6x 2－6x ＝0，
－6x （x ＋1）＝0
解得x 1＝0，x 2＝−1．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的定义及解法是解题的关键．
23．（1）2x =；（2）12157157x x +-=
=． 【分析】
（1）先利用平方差公式将方程左边进行整理，再解一元一次方程即可；
（2）方程两边同时乘以()()22x x +-，整理得到一元二次方程，求解即可．
【详解】
解：（1）原方程可整理成12390x x --+=，
移项、合并同类项可得：510x =，
解得2x =；
（2）原方程可整理成()()1211222x x x x x -+=--+-， 方程两边同时乘以()()22x x +-，可得：()()212214x x x x -+=+-+，
移项、合并同类项可得：2270x x -=-，
∴()()2
241427570b ac =-=--⨯⨯-=>， 解一元二次方程可得157x ±=
． 经检验，157x ±=
都是原方程的解． ∴12157157x x +-==，． 【点睛】
本题考查解一元二次方程、解分式方程，掌握方程的求解方法是解题的关键．
24．（1）
14；（2）甲组抽到A 小区，同时乙组抽到C 小区的概率为112
． 【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲组抽到A 小区，同时乙组抽到C 小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）共有A ，B ，C ，D 四个小区 ∴甲组抽到A 小区的概率是
14． 答案为：14
． （2）根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果数，
其中甲组抽到A 小区，同时乙组抽到C 小区的结果数为1，
∴甲组抽到A 小区，同时乙组抽到C 小区的概率为
112
． 【点睛】
本题考查了树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．（1）旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；（2）5；（3）可以，图见解析，BAE △
绕点O顺时针旋转90°得到ADG
【分析】
（1）根据图形和正方形的性质即可得出结论；
（2）根据正方形的性质和旋转的性质可得AD=DC=BC=3，DF=BE=1，从而求出EC和CF，最后利用AEF
S=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF即可求出结论；
（3）根据旋转中心、旋转方向和旋转角的定义即可得出结论．
【详解】
解：（1）由图易知：由ABE
△到ADF的旋转方向为逆时针旋转，
∵四边形ABCD为正方形
∴∠BAD=90°
即旋转角为90°
综上：旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；
（2）∵正方形ABCD的边长为3，1
BE=
∴AD=DC=BC=3，DF=BE=1
∴EC=BE＋BC=4，CF=DC－DF=2
∴
AEF
S=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF
=1
2
DC（AD＋EC）－
1
2
AD·DF－
1
2
EC·CF
=1
2
×3×（3＋4）－
1
2
×3×1－
1
2
×4×2
=10.5 1.54
--
=5；
（3）可以，
∵在BAE
△和ADG中，点A的对应点是点D，点B的对应点是点A，点E的对称点是点G
∴作线段AD的对称轴和线段BA的对称轴交于点O，根据旋转中心的定义，由BAE
△到ADG，点O即为旋转中心，由图易知旋转方向为顺时针旋转
连接OA、OB，则∠BOA=90°
即旋转角为90°
综上：BAE △绕点O 顺时针旋转90°得到ADG ．
【点睛】
此题考查的是图形的旋转，掌握旋转的性质、旋转中心、旋转方向和旋转角的定义是解题关键．
26．（1）FG=3；（2）GF EC =，//GF EC ，理由见解析
【分析】
（1）首先证明四边形GECF 是平行四边形得FG=CE ，再依据勾股定理求出CE 的长即可得到结论；
（2）证明四边形GECF 是平行四边形即可得到结论．
【详解】
（1）解：四边形ABCD 是正方形
BC CD ∴=
90B BCD ∠=∠=︒
BF CE =
BCF CDE ∴∆≅∆
DE CF ∴=，BCF CDE ∠=∠
90BCF DCP ∠+∠=︒
90CDF DCP ∴∠+∠=︒
90CPD ︒∴∠=
即DE CF ⊥
DE EG ⊥
//CF EG ∴
EG DE
CF EG ∴=
∴四边形GECF 是平行四边形
FG EC ∴=
5DE =
4CD =
90DCE ∠=︒
3CE ∴=
3FG ∴=
（2）GF EC =，//GF EC
理由：延长FC 交DE 于点M ．
四边形ABCD是正方形
∴=
BC CD
∠=∠=︒
ABC DCB
90
∴∠=∠=︒
CBF DCE
90
=
BF CE
BCF CDE
∴∆≅∆
∴=
CF DE
∠=∠
BCF CDE
∠+∠=︒
BCF DCM
90
∴∠+∠=︒
90
CDE DCM
∴⊥
CM DE
⊥
DE EG
EG DE
=
CF EG
∴
//
=
CF BG
∴四边形EGFC是平行四边形
∴=
GF EC
GF EC
//
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。