同济高等数学公式大全

高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222⎰
⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
ππa
x x a
a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1
)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=
'='⋅-='⋅='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'
2
22212211cos 12sin u du
dx x tg u u u x u u x +=
=+-=+=，　，　，　
一些初等函数： 两个重要极限：
三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式： ·和差化积公式：
2
sin
2sin 2cos cos 2cos
2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2
cos
2sin 2sin sin β
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβ
αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=
±⋅±=
±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x
x
arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x
x
x x
x x
x -+=-+±=++=+-==+=
-=
----11ln
21)
1ln(1ln(:2
:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x
x
x x x x
·倍角公式：
·半角公式：
α
α
αααααααααααα
α
ααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
2
cos 12cos 2cos 12
sin -=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctg tg
·正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+=
·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin π
π
高阶导数公式——莱布尼兹〔Leibniz 〕公式：
)
()
()()2()1()(0)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(n k k n n n n n
k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+
'+==---=-∑
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=
---'=-)(F )()
()()()()())(()()(ξξξ
曲率：
.1;0.
)1(lim M s M M :.,13
202a
K a K y y ds d s K M M s
K tg y dx y ds s =
='+''==∆∆='∆'∆∆∆=
=''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：αααα
α α
ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=
-=-=α
α
αααααααααα
αα22222212221
2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=
-=
-=-=-==
定积分的近似计算：
⎰⎰⎰----+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
a
n n n b
a
n n b
a n y y y y y y y y n
a
b x f y y y y n a b x f y y y n
a
b x f )](4)(2)[(3)(])(2
1
[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：
定积分应用相关公式：
⎰⎰--==⋅=⋅=b
a
b a dt t f a b dx x f a b y k r
m
m k F A
p F s
F W )(1)(1
,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：
空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，
向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22
2
2
2
2
2
212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k
j i
b a
c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M M
d z
y
x z y x
z
y x
z
y
x
z y x
z
y x z y x z
z y y x x z z y y x x u u
⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==
（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：
同号）
（、抛物面：、椭球面：二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：
1
1
3,,2221
1};,,{,1
30
2),,(},,,{0)()()(122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt
z z nt
y y m t
x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D
Cz By Ax d c z
b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A
多元函数微分法及应用
z
y z x y x y x y x y x F F y z
F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y
v
dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x
v
v z x u u z x z y x v y x u f z t
v
v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z
u
dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -
=∂∂-=∂∂=⋅
-∂∂
-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
==∂∂⋅
∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：
时，，当
：
多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v
G u
G v F
u
F
v u G F J v u y x G v u y x F v
u v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩
⎨⎧== 隐函数方程组：
微分法在几何上的应用：
),,(),,(),,(30
))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0
),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()
()()
(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y
x y
x x z x z z y z y -=
-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨
⎧====-'+-'+-''-=
'-='-⎪⎩
⎪
⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线
ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：
上的投影。

在是单位向量。

方向上的
，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l
f
l j i e e y x f l
f j y
f i x f y x f y x p y x f z l x y f
x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(∂∂∴⋅+⋅=⋅=∂∂∂∂+∂∂=
=∂∂+∂∂=∂∂=
ϕϕϕϕ
ϕ
多元函数的极值及其求法：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极
为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x
重积分及其应用：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰++-=++=++==>===
=
==
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+==='
D
z D
y D
x z y x D
y D
x D
D
y D
x D
D D
a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M
M y d y x d y x x M
M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2
3
22
2
2
3
22
2
2
3
22
2
22D
2
2
)
(),()
(),()
(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ
ρσ
ρσ
ρσρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面
柱面坐标和球面坐标：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
ΩΩ+=+=+====
=
=
===⋅⋅⋅=⎪⎩
⎪⎨⎧=====⎪⎩⎪
⎨⎧===dv y x I dv z x I dv z y I dv
x M dv z M
z dv y M
y dv x M
x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z
z r y r x z y x r ρρρρρρρϕθϕϕ
θθϕϕθϕθ
ϕϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθθθπ
πθϕ)()()(1,1,1
sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )
,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220
)
,(0
2
2
2
， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：
曲线积分：
⎩⎨
⎧==<'+'=≤≤⎩⎨
⎧==⎰
⎰)()()()()](),([),(),(,)
()(),(2
2t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
ϕβαψϕψϕβαψϕβ
α
特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：
第一类曲线积分（对弧。

，通常设的全微分，其中：
才是二元函数时，＝在：
二元函数的全微分求积注意方向相反！
减去对此奇点的积分，，应。

注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；
、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为
和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·21
2,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00
)
,()
,(00==+=
+∂∂∂∂∂∂∂∂-==
=∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=
+'+'=+⎩
⎨
⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x
dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y
P x Q y
P
x Q G y x Q y x P G ydx
xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy
Pdx dxdy y P
x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D
L
D L
D L L
L
L
βαβαψψϕϕψϕψϕβ
α
曲面积分：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=
ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz
z y z y x P dydz z y x P dxdy
y x z y x R dxdy z y x R dxdy
z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy
y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx
yz
xy
xy
D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)]
,(,,[),,(22γβα系：两类曲面积分之间的关号。

，取曲面的右侧时取正
号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：
高斯公式：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂ds
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n
div )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ
Γ
∑
∑∑
Γ
⋅=++Γ∂∂
∂∂∂∂=
∂∂=
∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂
=∂∂∂∂∂∂++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ds
t A Rdz Qdy Pdx A R
Q P z y x A y P
x Q x R z P z Q y R R
Q
P
z y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R
的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k
j i rot cos cos cos )()()(
γβ
α
常数项级数：
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n
n n n q q q q q n n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++-
级数审敛法：
散。

存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛
，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞
→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ 级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n
幂级数：
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞===
≠==><+++++≥-<++++++++∞
→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n
n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρ
函数展开成幂级数：
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00
lim )(,)()!1()()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 一些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x
x x x x x x n n m m m x m m m x x n n n
m
欧拉公式：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix
ix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数：。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )sin cos (2)sin()(001
10ππωϕϕϕω-====++=
++=∑∑∞
=∞
= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n
傅立叶级数：
是偶函数 ，余弦级数：是奇函数
，正弦级数：（相减）
（相加）
其中，周期∑⎰∑⎰⎰⎰∑+=
==
======+-+-=++++=
+++=
+++⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=====++=--∞
=nx a a x f n nxdx x f a b nx b
x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n
n n n n n n n cos 2
)(2,1,0cos )(2
0sin )(3,2,1n sin )(2
012413121164
1312112461412185
1311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1
2)sin cos (2)(0
2
2222
2222
2
222
221
π
π
π
πππ
π
π
πππππππ
周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=====++=⎰⎰∑--∞
=l
l n l l
n n n n n dx l x n x f l b n dx l x
n x f l a l
l x
n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos
)(12)sin cos (2)(10 其中，周期ππππ
微分方程的相关概念：
即得齐次方程通解。

，
代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成
齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：
为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y
u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x
y
y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='⎰⎰)()(),(),()()()()()()(0
),(),(),(ϕϕϕ
一阶线性微分方程：
)
1,0()()(2))((0)(,0)()
()(1)()()(≠=+⎰
+⎰=≠⎰
===+⎰--n y x Q y x P dx
dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx
dy
n dx
x P dx
x P dx
x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：
全微分方程：
通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：
中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u
y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=∂∂=∂∂=+==+),()
,(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程：
时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(2
2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy
x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
2
122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：
为常数；，其中∆'''=++∆=+'+''式的通解：
出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r
型
为常数；型，为常数
，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''
求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
例1：求极限1
1
lim 41--→x x x
【说明】1→x 说明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1
)
1)(1)(1(lim
2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限
例2：求极限1
3lim 32
3+-∞→x x x x
【说明】
∞
∞
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 3
11323=
+-=+-∞→∞→x x
x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n
n
m m m
m n n n n x 0lim 01101
1 3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限)13(lim 22+-++∞
→x x x
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2
2
22222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
01
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例4：求极限3
sin 1tan 1lim
x
x
x x +-+→ 【解】x
x x x
x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim
3030
+-+-=+-+→→ 41
sin tan lim 21sin tan lim
sin 1tan 11
lim
30300
=-=-+++=→→→x x x x x x x
x x x x 【注】此题除了使用分子有理化方法外，及时别离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限
两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n
x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1
0)1(lim )1
1(lim )11(lim ，第一个重要极限
过于简单且可通过等价无穷小来实现。

主要考第二个重要极限。

例5：求极限x
x x x ⎪⎭
⎫
⎝⎛-++∞→11lim
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X
1
+
，最后凑指数部分。

【解】22
212
12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x
x x x =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫
⎝⎛-++∞
→x
x a x a x ，求a 。

5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -,
()abx ax x x b
~11,2
1~
cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．
； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。

例7：求极限0ln(1)
lim
1cos x x x x →+=-
【解】 002
ln(1)lim lim 211cos 2
x x x x x x
x x →→+⋅==-.
例8：求极限x
x
x x 30tan sin lim -→
【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 22
2102030-=-==-=-=→→→x
x x x x x x x x x 6．用罗必塔法则求极限
例9：求极限220)
sin 1ln(2cos ln lim x
x x x +-→ 【说明】
∞
∞或00
型的极限,可通过罗必塔法则来求。

【解】22
0)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x
x x
x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+-
-=→ 3sin 11
2cos 222sin lim
20-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim
⎰⎰--→x x
x dt
t x f x dt
t f t x
【解】 由于⎰
⎰⎰=-=
-=-0
00
)())(()(x x
x
u t x du u f du u f dt t x f ,于是
⎰⎰⎰⎰⎰
-=--→→x
x
x x x x
x du
u f x dt
t tf dt t f x dt
t x f x dt
t f t x 0
)()()(lim
)()()(lim
=⎰
⎰+-+→x
x
x x xf du u f x xf x xf dt t f 0
)
()()
()()(lim
=⎰
⎰+→x x
x x xf du u f dt
t f 0
)
()()(lim
=)
()()(lim
x f x du
u f x dt
t f x
x
x +⎰
⎰
→=
.2
1)0()0()0(=+f f f
7．用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限
例11：极限x
x x 20
)]1ln(1[lim ++→
【解】 x
x x 20
)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2
lim x x
x e
++→=.2)
1ln(2lim
)]
1ln(1ln[2lim
e e
e
x
x x
x x x ==+++→→
【注】对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可用公式
)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -
因为
===-+)1)(1ln()(lim ))(ln()(lim )()(lim x f x g x f x g x g e e x f )()1)(lim(x g x f e -
例12：求极限3
01
2cos lim 13x x x x
→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.
【解1】 原式2cos ln 33
1lim
x x x e
x +⎛⎫ ⎪
⎝
⎭→-=202cos ln 3lim x x x
→+⎛⎫
⎪⎝⎭= 20ln 2cos ln 3
lim x x x →+-=（）01
sin 2cos lim 2x x x x
→⋅-+=（）
011sin 1
lim
22cos 6
x x x x →=-⋅=-+ 【解2】 原式2cos ln 33
1lim
x x x e
x +⎛⎫
⎪
⎝
⎭→-=2
02cos ln 3lim x x x →+⎛⎫
⎪⎝⎭= 20
cos 1
ln 3lim
x x x
→-+
=（1）
20cos 11lim 36x x x →-==- 8．利用Taylor 公式求极限
例13 求极限 ) 0 ( ,2
lim
2
0>-+-→a x a a x x x . 【解】 ) (ln 2
ln 122
2ln x a x a x e
a a
x x +++==,
) (ln 2
ln 122
2x a x a x a
x
++-=-;
). (ln 2222x a x a a x x +=-+-
∴ a x
x a x x a a x x x x 2
2222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ . 例14 求极限011lim (cot )x x x x
→-.
【解】 00111sin cos lim (cot )lim sin x x x x x x x x x x x
→→--= 323
230()[1()]3!2!lim x x x x x x x x
οο→-+--+=
3
33011(
)()
1
2!3!lim 3x x x x ο→-+==.
9．数列极限转化成函数极限求解
例15：极限2
1sin lim n n n n ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∞→
【说明】这是∞1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，假设直接求有一定难度，假设转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

【解】考虑辅助极限6
1
1sin 1
10
11sin 222
lim lim 1sin lim -
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-+∞
→+∞→===⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+
e e e
x x y y y y x x x x x x
所以，6
1
2
1sin lim -
∞→=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
e n n n n
10．n 项和数列极限问题
n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.
例16：极限⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++++∞→2222221
211
1lim n n n n n 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成［0,1］定积分。

⎰=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→10)(211lim dx x f n n f n f n f n n 【解】原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪
⎭⎫ ⎝⎛+∞→22211
2111111lim n n n n n n 121
2ln
2111
10
2+--=+=⎰
dx x
例17：极限⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221
211
1lim
【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫
⎝⎛+
⎪⎭⎫
⎝⎛∞→n n f n f n f n n 211lim 的形式，因而用两边夹法则求解；
(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

【解】⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221
211
1lim 因为
1
1211
12
2
2
2
2
+≤
++
+++
+≤+n n n
n n n n
n n
又 n
n n
n +∞
→2
lim
11
lim
2=+=∞
→n n n
所以 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221
211
1lim ＝１ 12．单调有界数列的极限问题
例18：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== 〔Ⅰ〕证明lim n n x →∞
存在，并求该极限；
〔Ⅱ〕计算2
1
1lim n x n n n x x +→∞
⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.
【详解】 〔Ⅰ〕因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.
于是
1sin 1n n
n n
x x x x +=<，
〔因当0sin x x x ><时，〕， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞
存在.
设lim n n x l →∞
=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞
=.
〔Ⅱ〕 因 22
11
1sin lim lim n
n x x n n n n n n x x x x +→∞
→∞
⎛⎫
⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，由〔Ⅰ〕知该极限为1∞型，
6
1
sin 0
1sin 11003
2
22
1
lim lim sin 1lim -
-→⎪⎭
⎫
⎝⎛-→→===⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
++e e e x x x
x x x x x x x x x (使用了罗必塔法则)
故 22
1
1
116sin lim lim e n
n x x n n n n n n x x x x -+→∞
→∞
⎛⎫
⎛⎫== ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
.
求不定积分的方法及技巧小汇总~
1.利用基本公式。

〔这就不多说了~〕
2.第一类换元法。

〔凑微分〕
设f(μ)具有原函数F(μ)。

则
C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ
其中)(x ϕ可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。

当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。

如例1、例2： 例1：⎰
+-+dx x x x
x )
1(ln )1ln(
【解】)
1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=
-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2
)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：
⎰+dx x x x
2)ln (ln 1
【解】x x x ln 1)'ln (+=
C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1
)ln (ln )1(ln 122
3.第二类换元法：
设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式
⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。

常见的变换形式需要熟记会用。

主要有
以下几种：
acht
x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t
a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。

，有时倒代换当被积函数含有：：t
x c bx ax x t d
cx b
ax d cx b ax t
b ax b ax m n n
n
n 1
)6()5()4(2=++⋅=++++=++
4.分部积分法.
公式：⎰⎰-=νμμννμd d
分部积分法采用迂回的技巧，躲避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。

具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑： （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx x
x x ⎰
-⋅2
31arccos
【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则
=-=-=-⎰⎰⎰
tdt t dt t t t
t dx x x x 332
3cos )sin (sin cos 1arccos
C x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=
-+-=---=-=-⎰⎰⎰⎰arccos 1)2(3
1
3291cos 91
cos 32sin sin 31cos )1sin 31
(sin sin 31)sin sin 31
(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332
例4：⎰xdx 2arcsin 【解】
⎰
⎰--=dx
x x x x x xdx 2
2
211arcsin 2sin arcsin
C
x x x x x dx x
x x x x x x xd x x +--+=----+=-+⎰⎰2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22
222
上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在⎰⎰-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：
选取的函数不能改变。

，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(x
x e x P x x x ax ax e x P ax
m ax m ======
将以上规律化成一个图就是：
但是，当x x arcsin ln ==νμ，时，是无法求解的。

对于〔3〕情况，有两个通用公式：
C
bx b bx a e dx bx e I C bx b bx a b
a e dx bx e I ax ax
ax
ax
++=⋅=+-+=⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 2
222
21
〔分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx 的不定积分》中，常可以看到分部积分〕
5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分
有理函数
)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)
()
(*x Q x P 分解为假设干个部分分式之和。

〔对各部分分式的处理可能会比较复杂。

出现⎰
+=n
n x a dx
I )
(22时，记得用递推公式：121222)
1(23
2))(1(2----++-=
n n n I n a n a x n a x I 〕
例5：dx x x x x x ⎰+--+2
23246)1(2
4
【解】=++-++=+--+2
23222346223246)
1(2
4)1()1(24x x x x x x x x x x x x 22
322)1(241++-+x x x x x
2
22
242224222322
2)1(12)1(24)1(24)1ln(211x dx x x x xdx x x x dx x x x C
x dx x x =++=++=++++=+⎰⎰⎰⎰μ
C x x C d d d ++-=+-+=+-=
+-+=++⎰⎰⎰)
1(1111))1(11()1()1()1(12222
2222
222μμμμμμμμμμμμμμ
故不定积分求得。

〔2〕三角函数有理式的积分
万能公式：⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨
⎧
+-=
+=2tan 12tan 1cos 2tan 12
tan 2sin 22
2x x
x x x x 化为有理函数可用变换2
tan )cos ,(sin )cos ,(sin x t dx x x Q x x P =⎰的积分，但由于计算较烦，应尽量防止。

对于只含有tanx 〔或cotx 〕的分式，必化成
x
x
x x sin cos cos sin 或。

再用待定系数 x
b x a x b x a B x b x a A sin cos )
sin'cos'()sin cos (++++来做。

〔注：没举例题并不代表不重要~〕
（3）简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。

如：同时出现x x +1和时，可令t x 2tan =；同时出现
x x -1和时，可令t x 2sin =；同时出现x x arcsin 12和-时，可令x=sint ；同时出现
x x arccos 12和-时，可令x=cost 等等。