2018年全国高考新课标1卷文科数学试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的XX 和XX 号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2}，则A ∩B=
A ．{0,2}
B ．{1,2}
C ．{0}
D ．{-2,-1,0,1,2} 解析：选A 2．设z=
1-i
1+i
+2i ，则|z|= A ．0 B ．1
2C ．1 D ． 2
解析：选C z=1-i
1+i
+2i=-i+2i=i
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：选A
4．已知椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
4＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为
A ．13
B ．12
C ．22
D ．
22
3
解析：选C ∵ c=2，4=a 2
-4 ∴a=22∴e=
22
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
解析：选B 设底面半径为R,则(2R)2=8 ∴R=2,圆柱表面积=2πR ×2R+2πR 2
=12π
6．设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2
+ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A ．y=-2xB ．y=-xC ．y=2xD ．y=x
解析：选D ∵f(x)为奇函数∴a=1 ∴f(x)=x 3+x f′(x)=3x 2
+1 f′(0)=1 故选D 7．在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →= A ．34AB → - 14AC →B ．14AB → - 34AC →C ．34AB → + 14AC →D ．14AB → + 34
AC →
解析：选A 结合图形，EB →=-12(BA →+BD →)=-12BA →-14BC →=-12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14AC →
8．已知函数f(x)=2cos 2
x-sin 2
x+2，则
A ．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B ．f(x) 的最小正周期为π，最大值为4
C ．f(x) 的最小正周期为2π，最大值为3
D ．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 解析：选B f(x)=32cos2x+5
2
故选B
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面
上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A ．217
B ．25
C ．3
D ．2
解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
10．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为300
，则该长方体的体积为 A ．8 B ．6 2 C ．8 2 D ．8 3
解析：选C ∵AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为300
，AB=2 ∴AC 1=4 BC 1=23BC=2 ∴CC 1=2 2 V=2×2×22=8 2
11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=2
3，
则|a-b|=
A ．15
B ．55
C ．255
D ．1
解析：选B ∵cos2α=23 2cos 2α-1=23 cos 2α=56∴sin 2α=16∴tan 2
α=15
又|tan α|=|a-b| ∴|a-b|=
5
5
12．设函数f(x)=⎩⎪⎨
⎪
⎧
2-x
，x ≤0 1，x>0
，则满足f(x+1)<f(2x)的x 的取值X 围是
A ．(-∞,-1]
B ．(0,+∞)
C ．(-1,0)
D ．(-∞,0)
解析：选Dx ≤-1时，不等式等价于2-x-1<2-2x
,解得x<1,此时x ≤-1满足条件
-1<x ≤0时，不等式等价于1<2-2x
,解得x<0,此时-1<x<0满足条件 x>0时，1<1不成立 故选D
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f(x)=log 2(x 2
+a)，若f(3)=1，则a=________． 解析：log 2(9+a)=1,即9+a=2,故a=-7
14．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x-2y-2≤0
x-y+1≥0 y ≤0
，则z=3z+2y 的最大值为_____________．
解析：答案为6
15．直线y=x+1与圆x 2+y 2
+2y-3=0交于A,B 两点，则|AB|=________．
解析：圆心为(0,-1),半径R=2,线心距d=2,|AB|=2R 2
-d 2
=2 2
16．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知bsinC+csinB=4asinBsinC ，b 2+c 2-a 2
=8，则△ABC 的面积为________．
解析：由正弦定理与bsinC+csinB=4asinBsinC 得2sinBsinC=4sinAsinBsinC ∴sinA=1
2
由余弦定理与b 2
+c 2
-a 2
=8得2bccosA=8,则A 为锐角，cosA=32, ∴bc=833
∴S=12bcsinA=233
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分） 已知数列{a n }满足a 1=1，na n+1=2(n+1)a n ，设b n =a n
n ．
（1）求b 1,b 2,b 3；
（2）判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； （3）求{a n }的通项公式．
解：（1）由条件可得a n+1=2(n+1)
n
a n ．
将n=1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n=2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．
（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得a n+1n+1=2a n
n ，即b n+1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得a n n
=2n-1，所以an=n ·2n-1
．
18．（12分）
如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3,∠ACM=900
，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP=DQ=2
3
DA ，求三棱锥Q-ABP 的体积．
18．解：（1）由已知可得，∠BAC=90°，BA ⊥AC ． 又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ．
又AB 平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ． （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32．
又BP=DQ=2
3DA ，所以BP=22．
作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE//DC ，且QE=1
3
DC ．
由已知与（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE=1．
因此，三棱锥Q-ABP 的体积为V=13×QE ×S ΔABP =13×1×12
×3×22×sin450
=1
19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3
）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1)
[0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
频数 1 3 2 4 9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3
的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 解：（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
x 1=1
50(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
x 2=1
50
(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m 3
)． 20．（12分）
设抛物线C:y 2
=2x ，点A(2,0),B(-2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：∠ABM=∠ABN ． 解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x=2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=- 1
2
x-1．
（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN ．
当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y=k(x-2)((k ≠0))，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 代y=k(x-2)入y 2=2x 消去x 得ky 2
–2y –4k=0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．
直线BM ，BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)
(x 1+2)( x 2+2)．①
将x 1=y 1k +2，x 2=y 2
k +2与y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得
x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k(y 1+y 2)k =-8+8k
=0
所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以，∠ABM=∠ABN ．
21．（12分）
已知函数f(x)=ae x
-lnx-1．
（1）设x=2是f(x)的极值点．求a ，并求f(x)的单调区间； （2）证明：当a ≥1
e
时，f(x)≥0．
解：（1）f （x ）的定义域为(0,+∞)，f ′（x ）=ae x
–1x
．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=12e
2． 从而f （x ）=
12e 2e x -lnx-1，f ′（x ）=12e 2e x - 1x
． 当0<x<2时，f ′（x ）<0；当x>2时，f ′（x ）>0．
所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e
x
e
-lnx-1．
设g （x ）=e x
e -lnx-1，则g ′（x ）=e x
e –1x
当0<x<1时，g ′（x ）<0；当x>1时，g ′（x ）>0．所以x=1是g （x ）的最小值点．
故当x>0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当a ≥1
e
时，f(x)≥0．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线C 2的极坐标方程为ρ2
+2ρcos θ-3=0. （1）求C 2的直角坐标方程；
（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程.
解：（1）C 2的直角坐标方程为(x+1)2+y 2
=4．
（2）由（1）知C 2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C 1是过点B(0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2． 由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．
当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|-k+2|k 2+1=2，故k= - 4
3或k=0．
经检验，当k=0时，l 1与C 2没有公共点；当k= - 4
3时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．
当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以
|k+2|
k 2
+1
=2，故k=0或k=- 4
3． 经检验，当k=0时，l 1与C 2没有公共点；当k= 4
3时，l 2与C 2没有公共点．
综上，所求C 1的方程为y= - 4
3
|x|+2．
23．[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
（2）若x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立，求a 的取值X 围.
解:（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)=⎩⎨⎧-2 x<-1 2x -1≤x ≤1 2 x>1
故不等式f(x)>1的解集为(1
2,+∞)．
（2）当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；
若a>0，|ax-1|<1的解集为(0,2
a
)，所以
2
a
≥1，故(0,2]．
综上，a的取值X围为(0,2]．。