高三数学《4.1 圆的方程》一课一练2

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2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习新人教A版必修2

2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习新人教A 版必修2基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D 2＋E 2－4F>0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程． 2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形．已知点M(x 0，y 0)和圆的方程x ＋y ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.则其位置关系如下表：练习1：二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆的方程？答案：A ＝C≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0练习2：圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中的系数A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．自测自评1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)，半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F解析：由题知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B )A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1.4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0．解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73，展开整理得，x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0为圆的一般方程． 5．指出下列圆的圆心和半径： (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12； (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a ，0)，半径r ＝|a |； (3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2. 基础达标1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5＝0表示的曲线是(C ) A ．两直线 B ．圆 C ．一点D ．不表示任何曲线2．x 2＋y 2－4y －1＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(2，0)，5B ．(0，－2)，5C ．(0，2)， 5D ．(2，2)，5解析：x 2＋(y －2)2＝5，圆心(0，2)，半径 5.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是(C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，故所求直线为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是(A )A ．[0，2]B ．[0，1]C.⎣⎡⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫0，12 解析：l 必过圆心(1，2)，0≤k ≤2(几何意义知)． 5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________．解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，C ＝2πr ＝213π. 答案：213π6．(1)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解析：设M (x ，y )(1)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝1，化简得3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝12，化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089，故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心，半径为4313的圆，它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089.巩固提升7．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．解析：设点P 的坐标为(x ，y )， A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上， ∴有2x 0－3y 0＋5＝0. 又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线方程得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0，化简得：2x －3y －6＝0即为所求．1．任何一个圆的方程都可写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F >0时，方程才表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D，E，F的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．。

新高考数学复习专题突破——突破4.1 圆的方程课时训练含答案解析

突破4.1 圆的方程课时训练【基础巩固】1．（福建省宁德一中2019届质检）若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2 B.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝22.（陕西工业大学附中2019届模拟）已知点A (2，－1，－3)，点A 关于x 轴的对称点为点B ，则|AB |的值为( )A ．4B ．6 C.14 D ．2103．（2020江西赣州三中高二月考）若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的圆心位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． A ．4B ．5C ．6D ．75.（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx - B ．1yx -的最小值为C ．1y x -D ．1y x -的最小值为-6．（2020浙江丽水高二期末）“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7.（云南昆明第三中学2019届模拟）已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．8.（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.【能力提升】9．（2020·浙江温岭中学高二月考）已知()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足2MA MB =，则点M 的轨迹方程是___________；又若0MA MB ⋅=，此时MAB △的面积为___________.10．（浙江省台州一中2019届期中）已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值．11．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考）设三角形ABC 的顶点坐标是A （0，a ），B （3a ，0），C 3a ，0），其中a>0，圆M 为ABC 的外接圆．（1）求圆M 的方程；（2）当a 变化时，圆M 是否过某一定点?请说明理由．M（，），AB边所在直线的方程为12．（2020全国高二课时练）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点20x y--=，点11360（，）在AD边所在直线上.T-（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.【高考真题】13．（2019·北京高考）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．14.（2019·浙江高考）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.15.（2018·天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 16.（2017·天津高考）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为____________ .17．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．18. 直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________． 19．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． 20．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．221．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 . 解析附后突破4.1 圆的方程课时训练【基础巩固】1．（福建省宁德一中2019届质检）若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2 B.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 【答案】C【解析】设线段AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1，∴r ＝|AC |＝2＝|CP |，故C (2，1)，故圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝2，故选C.2.（陕西工业大学附中2019届模拟）已知点A (2，－1，－3)，点A 关于x 轴的对称点为点B ，则|AB |的值为( )A ．4B ．6 C.14 D ．210【答案】D【解析】由题意可知点A 关于x 轴的对称点B 的坐标为(2,1,3)，所以|AB |＝0＋4＋36＝210.故选D. 3．（2020江西赣州三中高二月考）若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，所以0,0a b <>，因为圆心(,)a b ，所以圆心位于第二象限，选B.4．（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是（） A ．1yx -3 B ．1yx -的最小值为3-C ．1y x -3D ．1y x -的最小值为3-【答案】CD【解析】由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆，由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值，设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =211k =+，整理可得231k =解得33k =±，所以33[]1y x ∈-，即1y x -33-CD . 6．（2020浙江丽水高二期末）“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】方程2222530x y mx m m +---+=表示圆需满足()()22245+30,3m m m m ---->∴<-或1>2m ，所以“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.7.（云南昆明第三中学2019届模拟）已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知点P 坐标为(2x －2,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2 ＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 8.（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程． (1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6. 【解析】(1)由题意知k AB ＝2，AB 中点为(4,0)，设圆心C (a ，b )．因为圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以C (2,1)，所以r ＝|CA |＝5－22＋2－12＝10，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36， ④ 由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.【能力提升】9．（2020·浙江温岭中学高二月考）已知()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足2MA MB =，则点M 的轨迹方程是___________；又若0MA MB ⋅=，此时MAB △的面积为___________. 【答案】223320120x y x +-+=；165.【解析】()2,0A -，()2,0B ，设(),M x y ，由2MA MB ==整理得：223320120x y x +-+=；以AB 为直径的圆的方程为224x y +=，联立222233201204x y x x y ⎧+-+=⎨+=⎩，解得85y =.即M 点的纵坐标的绝对值为85. ∴此时MAB △的面积为18164255S =⨯⨯=. 10．（浙江省台州一中2019届期中）已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值．【解析】将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C (2，7)，半径r ＝2 2.(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－12m ＋b2在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n ＝b 与圆C 相切时，b 有最大或最小值．所以|2＋2×7－b |12＋22＝22，所以b ＝16＋210(b ＝16－210舍去)，所以m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)设n －3m ＋2＝k ，则k 可看作点(m ，n )与点(－2,3)所在直线的斜率，所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切时，k 有最大或最小值，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝22，解得k ＝2＋3或k ＝2－ 3.所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.11．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考）设三角形ABC 的顶点坐标是A （0，a ），B （，0），C ，0），其中a>0，圆M 为ABC 的外接圆．（1）求圆M 的方程；（2）当a 变化时，圆M 是否过某一定点?请说明理由．【解析】 (1)设圆M 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.∵圆M 过点A (0,a ),B (,0),C ,0),∴20,30,30,a aE F a F a F ⎧++=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩解得D=0,E=3-a ,F=-3a.∴圆M 的方程为x 2+y 2+(3-a )y-3a=0. (2)圆M 的方程可化为(3+y )a-(x 2+y 2+3y )=0.由2230,30,y x y y +=⎧⎨++=⎩解得x=0,y=-3.∴圆M 过定点(0,-3).12．（2020全国高二课时练）已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.【解析】 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直， ∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0． (2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩,∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |=∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【高考真题】13．（2019·北京高考）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.14.（2019·浙江高考）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】2m =-r =【解析】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===15.（2018·天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则： 01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得：200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 16.（2017·天津高考）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为____________ .【答案】22(1)(1x y ++=【解析】设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-， 1cos 21AC AFCAF AC AF⋅∠===-⋅，m =C 与y 轴得正半轴相切，则取m =，所求圆得圆心为(1,3)-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++=.17．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解析】(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.18. 直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】22【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得2201121(1)d ++==+-结合圆中的特殊三角形，可知24222AB =-=2219．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．【答案】x 2＋y 2－2x ＝0【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将已知三点的坐标代入方程可得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.20．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2【答案】A【解析】圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A ． 21．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 【答案】⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 【解析】由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)、B (0,2)、C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0，令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

人教A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程【同步训练2】答案和解析

人教A 版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程【同步训练2】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若2220x y x y k +-++= 是圆的方程，则实数k 的取值范围是（） A ．k<5B ．k<54C ．k<32D ．k>322．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（） A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝03．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，那么D ，E ，F 满足( ) A ．D ≠0，E ≠0，F ＝0 B ．D ≠0，E ＝0，F ＝0 C ．D ＝0，E ≠0，F ＝0 D ．D ＝0，E ＝0，F ≠04．圆22:40C x y mx ++-=上存在两点关于直线30x y -+=对称，则实数m 的值为（） A ．6B ．－4C ．8D ．无法确定5．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32C ．2或0D ．-2或06．圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（）A ．43-B ．34-C D ．2二、填空题7．过圆x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0的圆心，且平行于直线x ＋2y ＋11＝0的直线的方程是________________________．8．已知点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，则a 的取值范围是______________________．9．若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a ＝________.10．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________．三、解答题11．求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．12．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△P AB的面积的最大值．13．求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程．14．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．参考答案1．B 【解析】2220x y x y k +-++=是圆的方程,则有225(2)140,4k k -+-><解得故选B 2．C 【详解】圆2220x x y ++=的圆心C 为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，所以待求直线的斜率为1，设待求直线的方程为y=x+b ，将点C 的坐标代入可得b 的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故选 C 3．C 【解析】圆的标准方程为22224()()224D E D E Fx y +-+++=.∵圆与x 轴相切于原点，∴0222DE ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得000D E F =⎧⎪≠⎨⎪=⎩. 故D ，E ，F 满足的条件是0,0,0D E F =≠=。

人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1(II)卷

人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一下·西安期中) 圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（）A . r=1；（﹣2，1）B . r=2；（﹣2，1）C . r=1；（2，﹣1）D . r=2；（2，﹣1）2. （2分）要使与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有A . ,且F<0B . D<0,F>0C .D . F<0·3. （2分） (2016高二上·射洪期中) 过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A . x2+（y﹣1）2=2B . x2+（y﹣1）2=1C . （x﹣1）2+y2=4D . （x﹣1）2+y2=14. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 过点且与圆，相切的直线有几条（）A . 0条B . 1条C . 2 条D . 不确定5. （2分） (2018高二下·泸县期末) 的焦点到渐近线的距离为（）A .B . 2C . 1D .6. （2分）若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线l过点（﹣1，2）且与直线y=x垂直，则直线l的方程是（）A . 3x+2y﹣1=0B . 3x+2y+7=0C . 2x﹣3y+5=0D . 2x﹣3y+8=08. （2分）(2020·银川模拟) 已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018高二上·哈尔滨月考) 若点满足，点在圆上，则的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分）过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是（）A . 3x－y－5＝0B . 3x＋y－7＝0C . 3x－y－1＝0D . 3x＋y－5＝0二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的面积为________．12. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是________．13. （1分） (2016高二上·邗江期中) 过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为________14. （1分）(2020·随县模拟) 已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点 .若以为圆心、为半径的圆与抛物线相交于点，，则 ________.三、解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2016高二上·忻州期中) 已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y ﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．16. （10分） (2018高一上·深圳月考) 已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．17. （15分） (2019高二下·上海月考) 现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义，两点间的“直角距离”为： .（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点、的“直角距离”和为定值的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）① ，，；② ，，；③ ，， .（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.①到，两点“直角距离”相等；②到，两点“直角距离”和最小.18. （5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上；若动点M满足：|MA|=2|MO|，且M的轨迹与圆C有公共点．求圆心C的横坐标a的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分) 15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、。

高中圆的方程基础练习题及讲解

高中圆的方程基础练习题及讲解### 高中圆的方程基础练习题及讲解#### 练习题一题目：已知圆心在原点的圆的方程为 \(x^2 + y^2 = r^2\)，求半径为3的圆的方程。

解答：将 \(r = 3\) 代入圆的标准方程，我们得到：\[ x^2 + y^2 = 3^2 \]\[ x^2 + y^2 = 9 \]这就是半径为3的圆的方程。

#### 练习题二题目：圆 \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 20 = 0\) 与直线 \(x + y - 1 = 0\) 相切。

求圆的半径。

解答：首先，将圆的方程化为标准形式：\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2 \]\[ x^2 + 6x + y^2 - 8y + 20 = r^2 \]\[ x^2 + y^2 + 6x - 8y = r^2 - 20 \]由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。

圆心坐标为\((-3, 4)\)，直线方程可以写成 \(y = -x + 1\)。

使用点到直线距离公式：\[ \text{距离} = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]将距离等于半径代入：\[ r = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]\[ r = \frac{1}{\sqrt{2}} \]#### 练习题三题目：已知圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 与直线 \(y = x + b\) 相切，求\(b\) 的值。

解答：由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，即1。

圆心坐标为 \((0, 0)\)，直线方程可以写成 \(x - y + b = 0\)。

使用点到直线距离公式：\[ 1 = \frac{|0 - 0 + b|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \]\[ 1 = \frac{|b|}{\sqrt{2}} \]解得：\[ b = \pm \sqrt{2} \]#### 练习题四题目：求圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 的圆心坐标和半径。

高中数学专题4.1.2圆的一般方程课时同步试题新人教A版必修2(2021学年)

2０17-2０18学年高中数学专题4.1.2 圆的一般方程课时同步试题新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(201７－201８学年高中数学专题4．1.2 圆的一般方程课时同步试题新人教A版必修2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为２01７－2０１8学年高中数学专题４.1．2 圆的一般方程课时同步试题新人教A版必修２的全部内容。

4.1.2圆的一般方程一、选择题1.圆22480x y x y +-=+的圆心坐标是A ．(2,4)ﻩＢ.()2,4- C ．(2,4)--ﻩＤ.(2,)4-【答案】D【解析】圆的方程化为22242)0()(x y ++=-,则圆心坐标为(2,)4-,故选Ｄ。

2.若方程220x y Dx Ey F +++=+表示以(2,)4-为圆心,4为半径的圆，则D E F 、、的值分别为A ．4,84-,ﻩＢ．4,8,4- C.84,16-，ﻩﻩ D. 48,16-，【答案】B３.若方程224250x y x y m ++-+=不表示圆，则m 的取值范围是A ．(14，1) B.(—∞,1) C.(—∞,14)D ．[1,+∞）【答案】D【解析】本题考查二元二次方程表示圆的条件。

由题意知４2+(—2)2—2０m ≤0,得m ≥1,故选D ．4．若直线过圆的圆心,则实数的值为 A.B ．１C ．ﻩD ．３【答案】C【解析】因为圆心为（—1,2），且直线过圆心，所以,解得．故选C.５．过三点()1,55,)(62(5,)A B C --、、的圆的方程是A ．2242200x y x y --+=+B.2242200x y x y +--=+C.2242200x y x y ---=+ﻩD ．2244200x y x y +-+=+【答案】C6.若圆22224540x y ax ay a ++-+-=上的所有点都在第二象限，则ａ的取值范围为A.(-∞，2) ﻩB.（—∞,－1) Ｃ.(1,＋∞)D ．(2，＋∞)【答案】Ｄ【解析】由x 2+y 2+2ａx －4ａy+5a 2-４=0得（x+a )２+(y-２ａ)２=4,其圆心坐标为(—ａ,2a ),半径为2，由题意知020222a a a a -<⎧⎪>⎪⎨->⎪⎪>⎩,解得a >2，故选Ｄ. 7.动点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是Ａ.221x y +=ﻩﻩ ﻩﻩ B ．()2210x y x +=≠ C.()2211x y x +=≠±ﻩ ﻩ D.21y x =- 【答案】C【解析】设(,)P x y ，则01PA y k x -=+,01PB y k x -=-,动点P 与定点(1,0),(1,0)A B -的连线的斜率之积为1-,1PA PB k k ∴⨯=-，2211y x ∴=--，即221x y +=，又1x =±时,必有一个斜率不存在，故1x ≠±。

高中数学4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程课时作业新人教A版必修2

第四章 4.1 4.1.2 圆的一般方程A 级基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( D )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)．2．(2016～2017·曲靖高一检测)方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为( A )A ．－2,4,4B ．－2，－4,4C ．2，－4,4D ．2，－4，－4 [解析] 配方得(x ＋a )2＋(y －b 2)2＝a 2＋b24－c ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝2，b 2＝2，a2＋b24－c ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝4.3．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知，圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上，又在直线y ＝x －2上，∴圆心C (3,1)，半径r ＝|MC |＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0.故选A ．4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( B )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定[解析] 将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a －1)2，∵0<a <1，∴(a －1)2>0，∴原点在圆外．5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( C ) A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或0[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a|2＝22，∴a ＝2或0.6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2，圆心(0,1)关于直线y＝x 对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题__.0＝48－y 8－x 6＋2y ＋2x __的圆的一般方程为)(5,1M ，经过点3,4)－(．圆心是7[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0__.[解析] 设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D2＋E2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|. 10．求过点A (－1,0)、B (3,0)和C (0,1)的圆的方程.[解析] 解法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0。

【优质文档】4.1圆的方程第2课时课堂练习及答案

参考答案
1． B 2.D 3．B 4．B
5． (0，－ 1)
6．－ 2 7．解设所求轨迹上任一点 M (x， y)，圆的方程可化为 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2
＝4.圆心 C(3,3)．
∵ CM ⊥ AM，
∴ kCM ·kAM＝－ 1，
即
y－ x－
3 y＋ 3·x＋
5＝－ 3
1，
即 x2＋ (y＋ 1)2＝25.
F ＝－ 12
F＝ 4
故所求方程为： x2＋ y2－ 2x－12＝ 0 或 x2＋y2－10x－ 8y＋ 4＝ 0.
第3页
() ()
A．1
B. 2
C. 3
D．2
3． M (3,0)是圆 x2＋y2－8x－ 2y＋ 10＝ 0 内一点，过 M 点最长的弦所在的直线方程是 (
)
A ． x＋y－ 3＝ 0
B． x－ y－3＝ 0
C． 2x－y－ 6＝ 0
D ． 2x＋y－ 6＝ 0
4．已知圆 x2＋ y2－ 2ax－2y＋ (a－ 1)2＝ 0(0< a<1)，则原点 O 在
由题设，得 x1＋ x2＋ y1＋ y2＝－ (D ＋E)＝ 2，所以 D＋ E＝－ 2.①
又 A(4,2) 、 B( －1,3)两点在圆上，
所以 16＋ 4＋ 4D＋ 2E＋F ＝ 0，②
1＋ 9－ D＋ 3E＋ F ＝ 0， ③ 由 ①②③ 可得 D＝－ 2， E＝ 0，F ＝－ 12，故所求圆的方程为 x2＋ y2－2x－ 12＝ 0.
点 M 的轨迹方程．
8．求经过两点 A(4,2)、 B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为二、能力提升
2 的圆的方程．

圆的方程一课一练2

4.1 圆的方程一、选择题1、过点A(1,－1),B(－1,1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程。

A 、()223(1)4x y -++=、B 、()223(1)4x y ++-=C 、()221(1)4x y -+-=D 、()221(1)4x y +++=2、圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（）A 、x 2+y 2=25B 、x 2+y 2=5C 、(x-3)2+(y-4)2=25D 、(x+3)2+(y+4)2=253、设M 是圆(x －5)2+(y －3)2=9上的点，则M 到直线3x+4y-2=0的小距离是（）A 、9B 、8C 、5D 、24、若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 为（）A 、0或2B 、2CD 、无解5、过点P （2，3）且与圆x 2+y 2=4相切的直线方程是（）A 、2x+3y=4B 、x=2C 、5x-12y+26=0D 、5x-12y+26=0x=26、已知一圆的圆心为(2,－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是() A 、()222(3)13x y -++=B 、()222(3)13x y ++-=C 、()222(3)52x y -++=D 、()222(3)52x y ++-=7、平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，在圆x 2+y 2=16内所有整点中，到原点距离最远的整点可以在( )A 、直线y －1=0上B 、直线y=x 上C 、直线x+1=0上D 、直线y+3=0上80y +-=截圆x 2+y 2=4得劣弧所对的圆心角为（）A 、300B 、450C 、600D 、900二、填空题9、圆心为（2，-3），一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程为、10、已知两点P 1（4，9）和P 2（6，3），则以P 1P 2为直径的圆的方程是11、在x 轴下方，与x 轴相切于（8，0）点，半径等于1、5的圆的方程是12、若实数x,y 满足x 2+y 2=1，则21y x --的最小值为。

圆的方程一课一练1

圆的方程一课一练1一、选择题1、x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程是（）A 、x+y+3=0B 、2x-y-5=0C 、3x-y-9=0D 、4x-3y+7=02、已知圆的方程是x 2+y 2－2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程为( )A .2x －y+1=0 B.2x+y+1=0C.2x －y －1=0D.2x+y －1=03、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（）A 、ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0B 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0C 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－25＝0 D 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－25＝04、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范畴是（）A 、ａ＜－2或ａ＞32 B 、－32＜ａ＜2 C 、－2＜ａ＜0 D 、－2＜ａ＜325、圆x 2+y 2+4x+26y+b 2=0与某坐标相切，那么b 能够取得值是( )A 、±2或±13B 、1和2C 、-1和-2D 、-1和16、假如方程22220(40)x y Dx Ey f D E F ++++=+->所表示的曲线关于y=x 对称，则必有（）A 、D=EB 、D=FC 、E=FD 、D=E=FA 、[0，2]B 、[0，1]C 、1[0]2， D 、1[0]3，二、填空题8、已知方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0，当k ∈ 时，它表示圆；当k 时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。

9、圆x 2+y 2－4x+2y －5=0，与直线x+2y －5=0相交于P 1,P 2两点，则12PP =____。

10、若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____11、圆的方程为22680x y x y +--=，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为。

新高考数学复习专题突破——突破4.1 圆的方程课时训练附答案解析

突破4.1 圆的方程课时训练【基础巩固】1．（福建省宁德一中2019届质检）若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋)2＋(y ＋1)2＝2B.(x ＋1)2＋(y ＋)2＝2 22C ．(x －)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －)2＝2222.（陕西工业大学附中2019届模拟）已知点A (2，－1，－3)，点A 关于x 轴的对称点为点B ，则|AB |的值为( )A ．4B ．6 C. D ．214103．（2020江西赣州三中高二月考）若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的圆心位于(　)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． (3,4)A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数，满足，则下列关于的判断正确x y 2220x y x ++=1y x -的是（）A ．B ．的最小值为1y x -1y x -C ．D ．的最小值为1y x -1y x -6．（2020浙江丽水高二期末）“”是“为圆方程”的（） 12m >2222530x y mx m m +---+=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7.（云南昆明第三中学2019届模拟）已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．8.（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.【能力提升】9．（2020·浙江温岭中学高二月考）已知，，动点满足，则点的轨()2,0A -()2,0B M 2MA MB =M 迹方程是___________；又若，此时的面积为___________.0MA MB ⋅= MAB △10．（浙江省台州一中2019届期中）已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值；(2)求的最大值和最小值． n －3m ＋211．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考）设三角形的顶点坐标是A （0，a ），B （，0），C （ABC，0），其中a>0，圆M 为的外接圆． ABC （1）求圆M 的方程；（2）当a 变化时，圆M 是否过某一定点?请说明理由．12．（2020全国高二课时练）已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为20M （，），点在AD 边所在直线上. 360x y --=11T -（，）（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.【高考真题】13．（2019·北京高考）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．14.（2019·浙江高考）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点C (0,)m r 230x y -+=，则_____，______.(2,1)A --m =r =15.（2018·天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．16.（2017·天津高考）设抛物线的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴24y x =的正半轴相切于点A .若，则圆的方程为____________ .120FAC ∠=︒17．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．18. 直线与圆交于两点，则________．1y x =+22230x y y ++-=A B ，AB =19．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．20．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－B ．－ 4334C ． D ．2321．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方x 216y 24程为2＋y 2＝　. (x －32)254解析附后突破4.1 圆的方程课时训练【基础巩固】1．【答案】C 【解析】设线段AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1，∴r ＝|AC |＝＝|CP |，故C (，1)，故圆C 的标准方22程是(x －)2＋(y －1)2＝2，故选C.22.【答案】D 【解析】由题意可知点A 关于x 轴的对称点B 的坐标为(2,1,3)，所以|AB |＝＝2.故选D. 0＋4＋36103．【答案】B【解析】因为直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，所以，因为圆心，所以圆心位于0,0a b <>(,)a b 第二象限，选B.4．【答案】A【解析】设圆心，化简得， (),C x y 1=()()22341x y -+-=所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，C (3,4)M所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故||1||OC OM +≥5==||514OC ≥-=C OM 选：A.5.【答案】CD 【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，由为圆上的点与定点2220x y x ++=(1,0)C -1y x -的斜率的值，设过点的直线为，即，(1,0)P (1,0)P (1)y k x =+0kx y k -+=圆心到到直线的距离，整理可得解得， d r =1=231k =k =所以，即，最小值为. [1y x ∈-1y x -CD 6．【答案】A【解析】方程表示圆需满足或2222530x y mx m m +---+=()()22245+30,3m m m m ---->∴<-，所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，故选：A. 1>2m 12m >2222530x y mx m m +---+=7.【解析】(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知点P 坐标为(2x －2,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2 ＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.8.【解析】(1)由题意知k AB ＝2，AB 中点为(4,0)，设圆心C (a ，b )．因为圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，则Error!解得Error!所以C (2,1)，所以r ＝|CA |＝＝，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.5－2 2＋ 2－1 210(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将P ，Q 两点的坐标分别代入得Error!又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36， ④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.【能力提升】9．【答案】； . 223320120x y x +-+=165【解析】，，设，由，得， ()2,0A -()2,0B (),M x y 2MA MB ==整理得：；以为直径的圆的方程为，223320120x y x +-+=AB 224x y +=联立，解得.即点的纵坐标的绝对值为. 222233201204x y x x y ⎧+-+=⎨+=⎩85y =M 85此时的面积为. ∴MAB △18164255S =⨯⨯=10．【解析】将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C (2，7)，半径r ＝2. 2(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－m ＋在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n ＝b 与圆C 相切12b 2时，b 有最大或最小值．所以＝2，所以b ＝16＋2(b ＝16－2舍去)，所以m ＋2n 的最|2＋2×7－b |12＋2221010大值为16＋2.10(2)设＝k ，则k 可看作点(m ，n )与点(－2,3)所在直线的斜率，所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切n －3m ＋2时，k 有最大或最小值，所以＝2，解得k ＝2＋或k ＝2－.所以的最大值为2＋|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2233n －3m ＋23，最小值为2－.311．【解析】(1)设圆M 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.∵圆M 过点A (0,a ),B (,0),C ,0),∴解得D=0,E=3-a ,F=-3a.∴圆M 的方程为x 2+y 2+(3-a )y-3a=0.20,30,30,a aE F a F a F ⎧++=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩(2)圆M 的方程可化为(3+y )a-(x 2+y 2+3y )=0.由 2230,30,y x y y +=⎧⎨++=⎩解得x=0,y=-3.∴圆M 过定点(0,-3).12．【解析】 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．(2)由,得, 360320x y x y --=⎧⎨++=⎩02x y =⎧⎨=-⎩∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM | =∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【高考真题】13．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.14.【答案】 2m =-r =【解析】可知，把代入得，此时11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+(0,)m 2m =-.||r AC ===15.【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：220x y Dx Ey F ++++=，解得：，则圆的方程为.01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2220x y x +-=16.【答案】22(1)(1x y ++=【解析】设圆心坐标为，则，焦点，，(1,)C m -(0,)A m (1,0)F (1,0),(1,)AC AF m =-=-，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅m =Cy m =求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为.(-22(1)(1x y ++=17．【解析】(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝. 2k 2＋4k2所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝. 4k 2＋4k2由题设知＝8， 4k 2＋4k2解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则Error!解得Error!或Error!因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.18.【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为，22(1)4x y ++=所以圆的圆心为，且半径是，(0,1)-2根据点到直线的距离公式可以求得，d ==结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.AB ==19．【答案】x 2＋y 2－2x ＝0【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将已知三点的坐标代入方程可得Error!解得Error!所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.20．【答案】A【解析】圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为＝1，解得a ＝－，故选A ． |a ＋4－1|a 2＋14321．【答案】2＋y 2＝. (x －32)254【解析】由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)、B (0,2)、C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0，令y ＝0，得x ＝，所以圆心坐标为，则半径r ＝4－＝，所以该圆的标准方程32(32，0)3252为2＋y 2＝. (x －32)254如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

圆的标准方程练习题

第四章 4.1 4.1.1A 级基础巩固一、选择题1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是 ( ) A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 2．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足 ( ) A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外3．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为 ( ) A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，44．(2016·锦州高一检测)若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝15．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝ ( ) A ．－43B ．－34C ．3D ．26．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A ) A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0二、填空题7．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是 .8．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是三、解答题9．圆过点A (1，－2)、B (－1,4)，求 (1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．10．已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0). (1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值；(2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．B 级素养提升一、选择题1．(2016～2017·宁波高一检测)点⎝⎛⎭⎫12，32与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是 ( )A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，1]B ．(－1,1)C ．(2,5)D ．(1，＋∞)3．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 ( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝04．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为 ( ) A ．9 B ．8C ．5D ．2二、填空题5．已知圆C 经过A (5,1)、B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__ __.6．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__ __.C 级能力拔高1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．求AD 边所在直线的方程.2．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.第四章 4.1 4.1.2A 级基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 ( ) A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)2．(2016～2017·曲靖高一检测)方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为 ( )A ．－2,4,4B ．－2，－4,4C ．2，－4,4D ．2，－4，－43．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为 ( ) A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝04．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是 ( ) A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为 ( ) A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或06．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是 ( ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为__ __.8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是_ 三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10．求过点A (－1,0)、B (3,0)和C (0,1)的圆的方程.B 级素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为 ( ) A ．52B ．102C ．152D ．20 23．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞)4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 ( ) 二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a 6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是__ _.C 级能力拔高1．设圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.2．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆. (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程．第四章 4.2 4.2.1A 级基础巩固一、选择题1．若直线3x ＋y ＋a ＝0平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则a 的值为 ( ) A ．－1B ．1C ．3D ．－32．(2016·高台高一检测)已知直线ax ＋by ＋c ＝0(a 、b 、c 都是正数)与圆x 2＋y 2＝1相切，则以a 、b 、c 为三边长的三角形是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在3．(2016·北京文)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为 ( ) A ．1B ．2C ．2D ．2 2[4．(2016·铜仁高一检测)直线x ＋y ＝m 与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m ＝ ( ) A ．12B ．22C ．2D ．25．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x －y －1＝0上截得的弦长为22，那么这个圆的方程为 ( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝166．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有 ( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．(2016·天津文)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为__ __. 8．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__ __. 三、解答题9．当m 为何值时，直线x －y －m ＝0与圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0有两个公共点？有一个公共点？无公共点10．(2016·潍坊高一检测)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝17时，求m 的值．B 级素养提升一、选择题1．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的弦最长的直线的方程是 ( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0C ．3x －y －1＝0D ．3x ＋y －5＝02．(2016·泰安二中高一检测)已知2a 2＋2b 2＝c 2，则直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是 ( ) A ．相交但不过圆心 B ．相交且过圆心 C ．相切D ．相离3．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A ．(－3，3) B ．[－3，3]C ．(－33，33) D ．[－33，33] 4．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 ( )A ．3<r <5B ．4<r <6C ．r >4D ．r >5二、填空题5．(2016～2017·宜昌高一检测)过点P (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为__ __.6．(2016～2017·福州高一检测)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__ __.C 级能力拔高1．求满足下列条件的圆x 2＋y 2＝4的切线方程： (1)经过点P (3，1)； (2)斜率为－1； (3)过点Q (3,0)．2．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程.第四章 4.2 4.2.2A级基础巩固一、选择题1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝252．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为() A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝03．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是() A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝04．(2016～2017·太原高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝255．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝A．5B．4C．3D．2 26．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36二、填空题7．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__ __.8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝__ __.三、解答题9．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程.10．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0.B级素养提升一、选择题1．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为() A．4B．42－1 C．22－2D．22．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()A．4x－y－4＝0B．4x＋y－4＝0 C．4x＋y＋4＝0D．4x－y＋4＝03．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是() A．－1B．2 C．3D．04．(2016·山东文)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x －1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离[二、填空题5．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是__ __.6．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是____.C级能力拔高1．已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆心M的轨迹方程.2．(2016～2017·金华高一检测)已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|P A|成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．第四章 4.2 4.2.3A 级基础巩固一、选择题1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 ( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m2．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ( ) A ．30－105B ．5－5C ．5D ．253．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是 ( )4．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是 ( )A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π5．方程1－x 2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是 ( ) A ．k ＝－2 B ．k ∈(－2，2) C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <16．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于 ( )A ．24B ．16C ．8D ．4二、填空题7．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ __8．已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是__ ]__. 三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)1．(2016·葫芦岛高一检测)已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为 ( ) A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 52．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为 ( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ( )A ．106B ．206C ．306D ．40 64．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为 ( )A ．4π5B ．3π4C ．(6－25)πD ．5π4二、填空题5．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 __ __.6．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是__ _.C 级能力拔高1.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)。

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4.1 圆的方程
一、选择题
1、过点A(1,－1),B(－1,1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程。

A 、()223(1)4x y -++=、
B 、()223(1)4x y ++-=
C 、()221(1)4x y -+-=
D 、()221(1)4x y +++=
2、圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（）
A 、x 2+y 2=25
B 、x 2+y 2=5
C 、(x-3)2+(y-4)2=25
D 、(x+3)2+(y+4)2=25
3、设M 是圆(x －5)2+(y －3)2=9上的点，则M 到直线3x+4y-2=0的小距离是（）
A 、9
B 、8
C 、5
D 、2
4、若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 为（）
A 、0或2
B 、2
C
D 、无解
5、过点P （2，3）且与圆x 2+y 2=4相切的直线方程是（）
A 、2x+3y=4
B 、x=2
C 、5x-12y+26=0
D 、5x-12y+26=0x=2
6、已知一圆的圆心为(2,－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是(
) A 、()222(3)13x y -++=
B 、()222(3)13x y ++-=
C 、()222(3)52x y -++=
D 、()222(3)52x y ++-=
7、平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，在圆x 2+y 2=16内所有整点中，到原点距离最远的整点可以在( )
A 、直线y －1=0上
B 、直线y=x 上
C 、直线x+1=0上
D 、直线y+3=0上
80y +-=截圆x 2+y 2=4得劣弧所对的圆心角为（）
A 、300
B 、450
C 、600
D 、900
二、填空题
9、圆心为（2，-3），一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程为、
10、已知两点P 1（4，9）和P 2（6，3），则以P 1P 2为直径的圆的方程是
11、在x 轴下方，与x 轴相切于（8，0）点，半径等于1、5的圆的方程是
12、若实数x,y 满足x 2+y 2=1，则
21
y x --的最小值为。

三、解答题
13、求经过点A （－1，4）、B （3，2）且圆心在y 轴上的圆的方程
14、已知曲线是与两个定点A （－4，0），B （2，0）距离比为2的点的轨迹，求此曲线的方程
15、已知两点P 1（4，9）和P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程，并判断M （6，9），Q （5，3）是在圆上？圆外？圆内？
参考答案
选择题
1、C ；
2、C ；
3、D ；
4、B ；
5、D ；
6、A ；
7、D ；
8、C
填空题
9、(x －2)2+(y+3)2=52
10、(x －5)2+(y －6)2=10
11、(x －8)2+(y+1、5)2=2、25
12、34
解答题
13、解：设圆的方程为x 2+(y －b)2=r 2
∵圆经过A 、B 两点，
∴ 222
222(1)(4)3(2)b r b r
⎧-+-=⎨+-=⎩ 解得2110
b r =⎧⎨=⎩ 所以所求圆的方程为x 2+(y －1)2=10
14、解：设M （x,y ）是曲线上任意点，点M 在曲线上的条件是MA
MB =2
则=2 整理得(x －4)2+y 2=16
所求曲线是圆心为(4,0)，半径为4的圆
15、解：由已知条件可得圆心坐标为C （5，6），半径为r=12|P 1P 2|=12
=所以以P 1P 2为直径的圆的方程为22(5)(6)10x y -+-=
因为==r
3=<∴判断出点M 在圆上，点Q 在圆内。

思维启示：点与圆的位置关系
对于点P （x 0,y 0）和圆222()()x a y b r -+-=,有： 22200()()x a y b r -+->⇔点在圆外； 22200()()x a y b r -+-=⇔点在圆上 22200()()x a y b r -+-<⇔点在圆内。