辽宁省五校协作体高三数学第一次模拟考试试题 文(含解

2013年辽宁省五校协作体高考数学一模试卷（文科）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（5分）（2013•辽宁一模）复数z满足，则=（）
A．1+3i B．3﹣i C．D．
考点：复数代数形式的混合运算．
专题：计算题．
分析：根据复数的特点分子分母应同乘以“1+i”，再进行复数的运算进行化简整理．
解答：
解：由题意知，===，
故选C．
点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，当分母含有复数时，常用分子分母同乘分母的共轭复数，进行分母实数化在进行合并同类项．
2．（5分）（2013•辽宁一模）命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；特称命题．
专题：计算题．
分析：命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，等价于命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，故△=a2+16a≤0，由此得到﹣16≤a≤0；由﹣16≤a≤0，知△=a2+16a≤0，故命题“∀x∈R，使x2+ax ﹣4a≥0为真命题”，所以命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”．由此得到命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．
解答：解：∵命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，
∴命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，
∴△=a2+16a≤0，
∴﹣16≤a≤0，
即命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”⇒“﹣16≤a≤0”；
∵﹣16≤a≤0，
∴△=a2+16a≤0，
∴命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，
∴命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，
即命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”⇒“﹣16≤a≤0”．
故命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．
故选C．
点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．（5分）（2013•辽宁一模）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，）的图象关于直线对称，它的周期是π，则（）
A．
f（x）的图象过点B．
f（x）在上是减函数
C．
f（x）的一个对称中心是
D．f（x）的最大值是A
考点：正弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题．
分析：通过函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期，求出ω，利用函数图象的对称轴，求出φ，得到函数的解析式，然后判断选项的正误即可．
解答：
解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期π，所以ω==2；函数图象关于直线对称，所以，因为，所以φ=，
函数的解析式为 f（x）=Asin（2x+），f（x）的图象过点不正确；f（x）在
上是减函数，不正确，f（x）的最大值是|A|，所以D不正确；x=时，函数f（x）=0，所以f（x）的一个对称中心是，正确；
故选C
点评：本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的基本性质的应用，考查计算能力，推理判断能力．4．（5分）（2010•四川）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，
具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）
A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，6
考点：分层抽样方法．
分析：先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．
解答：
解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是=8，=16，=10，=6，
故选D．
点评：本题主要考查分层抽样方法．
5．（5分）（2013•辽宁一模）如图是一个算法的程序框图，当输入x值为﹣8时，则输出的结果是（）
A．9B．﹣6 C．﹣3 D．0
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：x=﹣8＜0，满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=1＞0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．
解答：解：x=﹣8＜0，执行循环体，x=x+3=﹣8+3=﹣5＜0，继续执行循环体，
x=﹣5+3=﹣2＜0，继续执行循环体，x=﹣2+3=1＞0，
满足条件，退出循环体，故输出y=log21=0．
故选D．
点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
6．（5分）（2013•辽宁一模）若a＞1，设函数f（x）=a x+x﹣4的零点为m，g（x）=log a x+x﹣4的零点为n，则的取值范围（）
A．B．（1，+∞）C．（4，+∞）D．
考点：函数零点的判定定理；反函数．
专题：计算题．
分析：把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．解答：解：函数f（x）=a x+x﹣4的零点是函数y=a x与函数y=4﹣x图象交点A的横坐标，函数g（x）=log a x+x﹣4的零点是函数y=log a x与函数y=4﹣x图象交点B的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数，
其图象关于直线y=x对称，
直线y=4﹣x与直线y=x垂直，
故直线y=4﹣x与直线y=x的交点（2，2）即是A，B的中点，
∴m+n=4，
∴，
当m=n=1等号成立，
故所求的取值范围是[1，+∞）．
故选B．
点评：本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．
7．（5分）（2013•辽宁一模）已知幂函数y=f（x）过点（4，2），令a n=f（n+1）+f（n），n∈N+，记数列
的前n项和为S n，则S n=10时，n的值是（）
A．110 B．120 C．130 D．140
考点：数列的求和；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：依题意，可求得幂函数y=f（x）=，从而可求得a
n=+，继而可得=﹣，于是可求得S n=10时，n的值．
解答：解：∵幂函数y=f（x）=xα过点（4，2），
∴4α=2，
∴α=．
∴a n=f（n+1）+f（n）=+，
∴==﹣，
∴数列{}的前n项和为S n=（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1，
∵S n=10，
∴﹣1=10，
∴n+1=121，
∴n=120．
故选B．
点评：本题考查数列的求和，求得a
n=+及=﹣是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
8．（5分）（2013•辽宁一模）在△ABC中，，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．正三角形
考点：三角形的形状判断；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：
利用余弦定理和已知条件可得，化为，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答：解：由余弦定理得a2+b2﹣c2=2abcosC，
又∵，
将上两式相加得，
化为=，当且仅当a=b时取等号．
∴，
∵C∈（0，π），∴．
∴=0，解得，又a=b，
∴△ABC是正三角形．
故选D．
点评：熟练掌握余弦定理、基本不等式的性质、等边三角形的判定是解题的关键．
9．（5分）（2013•渭南二模）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5] B．[2，6] C．[3，10] D．[3，11]
考点：简单线性规划的应用．
专题：计算题；数形结合．
分析：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．
解答：解：根据约束条件画出可行域，
∵设k==1+，
整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．
设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，
当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，
当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．
故选 D．
点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
10．（5分）（2013•辽宁一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=与其渐近线
交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：先通过联立方程组求出A，B坐标，根据△ABF为钝角三角形得到∠AFB＞90°，可知∠AFD＞45°，即DF＜DA，再分别求出DF与DA长度，用含a，c的式子表示，因为离心率等于，即可求出离心率
的范围．
解答：
解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x
联立方程组，解得A（，），B（，﹣），
设直线x=与x轴交于点D
∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）
∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA
∴c﹣＜，b＜a，c2﹣a2＜a2∴c2＜2a2，e2＜2，e＜又∵e＞1
∴离心率的取值范围是1＜e＜
故选D
点评：本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．
11．（5分）（2013•辽宁一模）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2012，且对于任意的x∈R满足f （x+2）﹣f （x）≤3•2x，f （x+6）﹣f（x）≥63•2x，则f （2012）等于（）
A．22009+2008 B．22010+2009 C．22011+2010 D．22012+2011
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：令f（x+2）﹣f（x）≤3×2x （1），f（x+6）﹣f（x）≥63×2x （2），（1）﹣（2）可得f（x+2）﹣f（x+6）≤﹣60×2x（3），再由（1）可得f（x+2）﹣f（x+6）≥﹣60×2x（7），由（3）和（7）得到，f（x+2）﹣f（x+6）=﹣60×2x（8），再对（1）变形联立（2）可得f（x+6）=f（x）+63×2x，与（8）联立得 f（x+2）﹣f（x）=3×2x，利用累加法及等比数列求和即可求得f（2012）．
解答：解：f（x+2）﹣f（x）≤3×2x （1），f（x+6）﹣f（x）≥63×2x （2），
由（1）﹣（2）得到，f（x+2）﹣f（x+6）≤3×2x﹣63×2x=﹣60×2x，
所以，f（x+2）﹣f（x+6）≤﹣60×2x（3），
由（1）得，f（x+6）﹣f（x+4）≤3×2x+4=48×2x（5），
f（x+4）﹣f（x+2）≤3×2x+2=12×2x（6），
由（5）+（6）得到，f（x+6）﹣f（x+2）≤60×2x，即f（x+2）﹣f（x+6）≥﹣60×2x（7），
由（3）和（7）得到，f（x+2）﹣f（x+6）=﹣60×2x（8），
由（1）得，f（x+6）≤f（x+4）+3×2x+4≤f（x+2）+3×2x+2+3×2x+4≤f（x）+3×2x+3×2x+2+2x+4=f（x）+63×2x，
又由（2）知，f（x+6）=f（x）+63×2x，与（8）联立得 f（x+2）﹣f（x）=3×2x，
所以f（x+2）=f（x）+3•2x，
所以 f（2012）=f（2010）+3×22010，
f（2010）=f（2008）+3×22008，…
f（2）=f（0）+3×20，
等式两边同时相加得到f（2012）=f（0）+3×22010+3×22008+…+3×20=2012+3×（22010+22008+…+20），
等比数列求和得f（2012）=2012+3×=2012+22012﹣1=2011+22012．
故选D
点评：本题考查不等式、等比数列求和等知识，考查学生分析解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求高．
12．（5分）（2013•辽宁一模）已知抛物线M：y2=4x，圆N：（x﹣1）2+y2=r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是（）
A．r∈（0，1] B．r∈（1，2] C．D．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：综合题；压轴题；数形结合；转化思想；综合法．
分析：本题中应用采用设出直线，将直线与圆，与抛物线联立起来，利用同一直线上的线段的长度比与两线段端点的纵坐标差的比成比例建立方程，再由根系关系将此方程转化为关于参数m的不等式，解出满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的充要条件，再依据必要条件的定义比对四个选项找出必要条件解答：解：x=1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．
设直线l：x=my+1，（1）
代入y2=4x，得y2﹣4my﹣4=0，
△=16（m2+1），
把（1）代入（x﹣1）2+y2=r2得y2=
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
|AC|=|BD|
即y1﹣y3=y2﹣y4，
即y1﹣y2=y3﹣y4，
即4=
即r=2（m2+1）＞2，
即r＞2时，l仅有三条．
考查四个选项，只有D中的区间包含了（2，+∞）
即是直线l只有三条的必要条件
故选D．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是根据题设条件解出满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的充要条件，再由必要条件的定义比对四个选项找出它的必要条件来．
二.填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．（5分）（2013•辽宁一模）.经过原点（0，0）做函数f（x）=x3+3x2的切线，则切线方程为y=0或9x+4y=0 ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：分原点（0，0）是切点与原点（0，0）不是切点讨论，利用导数得出切线的斜率，写出切线方程即可．
解答：解：∵f′（x）=3x2+6x，
①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f′（0）=0，则切线方程为y=0；
②若原点（0，0）不是切点，设切点为P（x0，y0），
则切线的斜率为，因此切线方程为
，
因为切线经过原点（0，0），∴，∵x0≠0，解得．
∴切线方程为，化为9x+4y=0．
∴切线方程为y=0或9x+4y=0．
故答案为y=0或9x+4y=0．
点评：熟练掌握导数的几何意义和切线方程是解题的关键．
14．（5分）（2013•辽宁一模）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC
上的高为h，则．
考点：类比推理．
专题：探究型．
分析：立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．
解答：解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．
由已知有：PD=，h=PO=，
∴，即．
故答案为：．
点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论．
15．（5分）（2013•辽宁一模）若多面体的三视图如图所示，此多面体的体积是
4 ．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：分割补形法．
分析：先由三视图判定几何体的形状，画出直观图，再利用分割法求体积．
解答：解：根据三视图画出几何体的直观图，
分割成两个三棱柱来求，
V1=×2×1×2=2；
V2=×2×1×2=2，
V=V1+V2=4．
故答案是4．
点评：本题考查由三视图求几何体的体积．
16．（5分）（2013•辽宁一模）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若，则m= sinθ．（用θ表示）
考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．
专题：计算题；压轴题．
分析：
根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，根据平面向量的平行四边形法则可得，代
入已知的等式中，连接OD，可得⊥，可得其数量积为0，在化简后的等式两边同时乘以，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m，利用诱导公式及三角形的内角和定理得到cosB=﹣cos（A+C），代入表示出的m式子
中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，抵消合并约分后得到最简结果，把∠A=θ代入即可用θ的三角函数表示出m．
解答：
解：取AB中点D，则有，
代入得：
，
由⊥，得•=0，
∴两边同乘，化简得：
，
即，
由正弦定理==化简得：
C，
由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=
==sinA，
又∠A=θ，
则m=sinθ．
故答案为：sinθ
点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，利用两向量的数量积判断两向量的垂直关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2013•辽宁一模）已知函数f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数
（1）求实数m的取值集合A．
（2）当m取值集合A．中的最小值时，定义数列{a n}；满足a1=3，且a n＞0，，求数列{a n}的通项公式
（3）若b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n．
考点：利用导数研究函数的单调性；数列的函数特性；数列的求和；数列递推式．
专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．
分析：（1）先求出导数f′（x），再由条件得f′（x）=﹣3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，分离出m后再求出m的范围；
（2）由（1）求出m的值，代入f′（x）后，再代入进行化简得到=3，
结论即得到证明；
（3）根据（2）求出b n，再由通项公式的特点，利用错位相减法求出S n，由表达式就可以证明结论．解答：解：（1）由题意得f′（x）=﹣3x2+m，
∵f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）=﹣3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，
即m≥3x2，得m≥3，
故所求的集合A为[3，+∞）；
（2）由（1）得，m=3，∴f′（x）=﹣3x2+3，
∵，a n＞0，
∴=3a n，即=3，
∴数列{a n}是以3为首项和公比的等比数列，
故a n=3n；
（3）由（2）得，b n=na n=n•3n，
∴S n=1•3+2•32+3•33+…+n•3n①
3S n=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1②
①﹣②得，﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1
化简得，S n=＞．
点评：本题是有关函数和数列的综合题，考查了函数单调性与导数关系，等比数列的定义应用，以及错位相减法求出S n，考查了分析问题和解决问题的能力．
18．（12分）（2013•辽宁一模）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩
记录如下：
甲 82 82 79 95 87
乙 95 75 80 90 85
（1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：
（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
考点：茎叶图；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：（1）直接由题目给出的数据画出茎叶图；
（2）求出甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数，查出甲的成绩比乙高的个数，直接利用古典概型计算公式求解；
（3）求出甲乙的平均数和方差即可得到答案．
解答：解：（1）茎叶图如图，
（2）设甲被抽到的成绩鞥即为x，乙被抽到的成绩为y，
则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25．
其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为（82，75），（82，80），（79，75），（87，75），（87，80），（87，85）（95，90），（95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个．
所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率为；
（3）派甲参赛比较合理．
理由是．
．
==31.6
．因为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲发挥稳定．
点评：本题考查了茎叶图，考查方差的求法，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题．
19．（12分）（2013•辽宁一模）如图，直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，
∠BAD=∠ADC=90°AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．
考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质．
专题：证明题；综合题；存在型；转化思想．
分析：（1）为证AC⊥平面BB1C1C，须证AC垂直面内两条相交直线：BB1和BC即可．前者易证，后者利用计算方法证明即可．
（2）设P为A1B1的中点，证明DCB1P为平行四边形，即可证明存在点P，满足题意．
解答：证明：（1）直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC．（2分）
又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴，∠CAB=45°，∴，∴BC⊥AC．（4分）
又BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C．（7分）
（2）存在点P，P为A1B1的中点．（8分）
证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1=AB．（10分）
又∵DC‖AB，DC=AB，∴DC∥PB1，且DC=PB1，
∴DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP．
又CB1⊂面ACB1，DP⊄面ACB1，∴DP‖面ACB1．（12分）
同理，DP‖面BCB1．（14分）
点评：本题考查直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力．
20．（12分）（2013•辽宁一模）已知函数f（x）=ax2﹣x（a∈R，a≠0），g（x）=lnx
（1）判断函数f（x）﹣g（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M，N，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）由题意求出y=f（x）﹣g（x）的解析式，进而求出定义域，再求出导函数并整理，对a进行分类：a＞0时和a＜0时，分别求出y′＞0和y′＜0对应的x的范围，即求出函数的单调区间；
（2）先由f（x）=g（x）分离a，即求出a的表达式，再构造函数k（x）=，再求导判断单
调性以及最值和特殊函数值的符号，可得到函数图象的大致形状，再求出满足条件的a的范围．解答：解：（1）由题意设y=f（x）﹣g（x）=ax2﹣x﹣lnx，（a≠0，x＞0），
∴y′=2ax﹣1﹣=，
①当a＞0时，令y′＞0得，2ax2﹣x﹣1＞0，解得，
令y′＜0得，2ax2﹣x﹣1＜0，解得，
②当a＜0时，令h（x）=2ax2﹣x﹣1，则对称轴x=＜0，且h（0）=﹣1，
∴x＞0时，有y′＜0，
综上所述：a＞0时，在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，
a＜0时，在（0，+∞）上递减．
（2）由f（x）=g（x）得，ax2﹣x=lnx（a≠0，x＞0），即a=
令k（x）=，则k′（x）==，
当0＜x＜1时，1﹣x﹣2lnx＞0，即k′（x）＞0，
∴k（x）在（0，1）上单调递增，且k（e﹣1）=＜0，
当x＞1时，1﹣x﹣2lnx＜0，即k′（x）＜0，
∴k（x）在（1，+∞）上单调递减，且＞0，
∴k（x）在x=1处取得最大值k（1）=1，
故要是y=a和y=的图象有两个交点，只需0＜a＜1．
点评：本题考查了导数与函数的单调性关系，以及两个函数图象的交点问题转化为求单调性和最值等综合应用，考查了分类讨论思想、转化思想和分离常数方法．
21．（12分）（2013•辽宁一模）给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的
圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点．求证：l1⊥l2．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：计算题；证明题；新定义．
分析：
（1）欲求椭圆C的方程和其“准圆”方程，只要求出半径即可，即分别求出椭圆方程中的a，b即得，这由题意不难求得；
（2）先分两种情况讨论：①当l1，l2中有一条无斜率时；②．②当l1，l2都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x﹣x0）+y0，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x的二次方程，根据根的判别式等于0得到一个方程：（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，而直线l1，l2的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得l1⊥l2．
解答：解：（1）因为，所以b=1
所以椭圆的方程为，
准圆的方程为x2+y2=4．
（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，
因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，
此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=﹣1），
即l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；
同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．
②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，
设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x﹣x0）+y0，
则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3=0，
即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0，△=[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）
2﹣3]=0，
经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，
设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，
所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，
所以t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．
22．（10分）（2013•辽宁一模）如图已知四边形ABCD内接于⊙O，DA与CB的延长线交于点E，且EF∥CD，AB的延长线与EF相交于点F，FG切⊙O于点G．
求证：EF=FG．
考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质．
专题：证明题．
分析：由切割线定理可得FG2=FB•FA．再利用平行线的性质和A，B，C，D四点共圆的性质可得∠EAF=∠BEF，进而得到△EFA∽△BFE，可得，从而证明结论．
解答：解：∵FG与⊙O相切于点G，∴FG2=FB•FA．
∵EF∥CD，∴∠BEF=∠ECD．
又A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAF，∴∠BEF=∠EAF．
∵∠EFA公用，∴△EFA∽△BFE，∴，∴EF2=FB•FA．
∴EF2=FG2，即EF=FG．
点评：熟练掌握切割线定理、平行线的性质、四点共圆的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．（10分）（2013•辽宁一模）已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为的直线，圆方程
（1）求直线l的参数方程
（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线的一般式方程；点到直线的距离公式．
专题：直线与圆．
分析：（1）根据直线经过的点的坐标和方向向量，求出直线l的参数方程．
（2）把直线l的标准的参数方程代入园的方程，得t2+（3+2）t+6+2=0，由|t1t2|=6+2，得到点P到M、N两点间的距离之积．
解答：
解：（1）∵，∴直线的倾斜角α=，
∴直线的参数方程为，（t为参数）
即（t为参数）
（2）∵ρ=2（cosθ+sinθ）=cosθ+sinθ，
∴ρ2=ρcosθ+ρsinθ，
∴x2+y2﹣x+y=0，将直线的参数方程代入得t2+（3+2）t+6+2=0，
∴|t1t2|=6+2．
点评：本题考查直线的参数方程，以及参数的几何意义，把直线的参数方程化为标准形式是解题的关键．
24．（10分）（2013•辽宁一模）选修4﹣5：不等式选讲
已知|x﹣4|+|3﹣x|＜a
（1）若不等式的解集为空集，求a的范围
（2）若不等式有解，求a的范围．
考点：绝对值不等式．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）欲使得不等式|x﹣4|+|3﹣x|＜a的解集是空集，只须a小于等于函数|x﹣3|+|x﹣4|的最小值即可，利用绝对值不等式的性质求出此函数的最小值即可．
（2）若不等式有解，则 a的范围为（1）中a的范围的补集即可．
解答：解：（1）不等式|x﹣4|+|3﹣x|＜a的解集为∅⇔|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集为∅．
又∵|x﹣3|+|x﹣4|≥|x﹣3﹣（x﹣4）|=1，
∴|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为1，
|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集为∅．
只须a小于等于|x﹣3|+|x﹣4|的最小值即可，
a≤1，
故a的范围为：（﹣∞，1]．
（2）若不等式有解，则 a的范围为（1）中a的范围的补集．
即a的范围为：a＞1．
点评：本题主要考查了绝对值不等式的解法、空集的含义及恒成立问题，属于基础题．。