探究式导学案2：2.2.2等差数列（二）

2.2.2 等差数列之（二）
等差数列的基本性质
【学习目标】
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；
2．理解等差数列的性质
3．掌握等差数列的性质及其应用．
【重、难点】
重点：等差数列的性质及证明.
难点：运用等差数列定义及性质解题．
【知识链接】
（1）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有a n＋1－a n＝________.
（2）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有2a n＋1－a n＝________.
【答案】（1）d；（2）a n+2
【新知探究】
探究一.等差数列通项公式的推广
问题1. 若已知等差数列{a n}中的第m项a m和公差d，如何表示通项a n？
【解析】设等差数列的首项为a1，则a m＝a1＋(m－1)d，得a1＝a m－(m－1)d，∴a n＝a1＋(n－1)d＝a m－(m－1)d＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.
【获取新知】（1）广义的等差数列通项公式：a n＝a m＋(n－m)d；
（2）由任意两项a m和a n求公差：d=a n−a m
n−m
.
例1.若数列{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
【解析】由题意，该数列的公差d=a60−a15
60−15=20−8
45
=4
15
∴a75=a60+(75−60)d=20+15×4
15
=24
变式1. 等差数列{a n}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于()
A．2 B．20 C．100 D．不确定
【答案】A
探究二.等差数列与一次函数的关系
问题2.（1）等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d与一次函数有什么关系？
（2）若数列{a n}的通项公式是一次函数a n＝pn＋q，其中p、q为常数，那么这个数
列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
【解析】：（1）∵数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：a n＝dn＋(a1－d).
显然，当d≠0时，a n是关于序号n的一次函数，其图象是直线f(x)＝dx＋(a1－d)上一系列孤立的点，d为该直线的斜率，a1－d是该直线在y轴上的截距.
（2）取数列{a n}中任意两项a n和a n－1(n>1)，则a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝p．显然，这是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列．
将一次函数变形为等差数列通项公式的形式为：a n＝pn＋q＝(q＋p)＋(n－1)p，所以该数列的首项a1＝p＋q，公差d＝p.
【获取新知】
（1）当公差d＝0时，等差数列是常函数，不是一次函数；
（2）当公差d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，且其斜率即为公差d，在y轴上的截距为a1－d．
探究三. 等差数列的单调性
问题3. 根据等差数列与一次函数的关系，你能根据等差数列的通项公式a n＝a1＋
(n－1)d判断它的单调性吗？
答：当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
例2. 已知递增数列{a n}满足a1=1，a3=a22−4，则a n=__________
【答案】2n−1
【解析】由a1=1，a3=a22−4 得1+2d=(1+d)2−4，即d2=4，解得d=±2又{a n}是递增数列，所以d=2，所以a n=1+2(n−1)=2n−1
变式2.若a n=n2−kn(n∈N∗)是递增数列，则k的取值范围____________.
【答案】k<3
【解析】由k
2<3
2
得k<3.
探究四. 等差数列的性质
（一）等差数列的项与序号的关系问题4. 已知数列{a n}是等差数列
（1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？为什么？
（2）2a n=a n−1+a n+1(n>1)是否成立？据此你能得到什么结论？
2a n=a n−k+a n+k(n>1)是否成立？你又能得到什么结论？
【获取新知】在等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m＋a n＝a p＋a q .
特别地，若m+n=2p，则a m＋a n＝2a p .
【解题反思】（1）由a m＋a n＝a p＋a q能推出m+n=p+q吗？
（2）由m+n=p能推出a m＋a n＝a p 吗？
答：（1）当等差数列{a n}是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m+n=p+q；
当等差数列{a n}不是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q一定能推出m+n=p+q.
（2）由m+n=p 不能推出a m＋a n＝a p.
例3. 已知数列{a n}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝_______.
【答案】234
【解析】∵a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13 ∴a9＝117 ∴a3＋a15＝a9＋a9＝234.
变式3.已知等差数列{a n}中，a2＋a6＋a10＝1，则a3＋a9＝______.
【答案】2
3
【解析】由等差数列的性质，知a2＋a10＝2a6，又a2＋a6＋a10＝1.
∴3a6＝1，a6＝1
3∴a3＋a9＝2a6＝2
3
.
（二）等差数列的子列的性质
问题5. 已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.
（1）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
（2）如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？
（3）你能根据得到的结论做出一个猜想吗？
答：（1）组成的新数列是等差数列，它的首项是a1，公差为2d；
（2）组成的新数列仍然是等差数列，它的首项是a1+6d= a7，公差为7d；
（3）若数列{a n}和{k n}都是等差数列，其公差分别为d1，d2，则{a k
n
}也是等差数列，且公差为d1∙d2.
（三）等差数列的其他性质
问题6.设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，判断{pa n+qb n}(p，q 为常数)是否为等差数列？如果是，给出证明，并写出首项和公差；如果不是，请说明理由.
答：{pa n+qb n}是等差数列
证明：令c n=pa n+qb n，则 c n+1−c n=(pa n+1+qb n+1)−(pa n+qb n)
=p(a n+1−a n)+q(b n+1−b n)=pd1+qd2.
∴{pa n+qb n}是等差数列，且首项为pa1+qb1，公差为pd1+qd2.
【解题反思】（1）当p=q=1时，你能得到什么结论？（2）当p=k，q=0时呢？
答：（1）当p=q=1时，得{a n+b n}是首项为a1+b1，公差为d1+d2的等差数列.
（2）当p=k，q=0时，{ka n}也是等差数列，且公差为kd1.
例4. 设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= _______.
【答案】35
【解析】两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{c n}，则{c n}为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.。